Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Weiter: für jedes λ ∈ und n ≥ 1 giltλ n e − a n = (a n−1 + λa n−2 + · · · + λ n−1 e)(λe − a)Ist also λ ∈ σ(a), so ist λ n ∈ σ(a n ). Mit (1.4.12) folgt daher|λ n | ≤ ‖a n ‖ bzw |λ| ≤ n ‖a n ‖für alle λ ∈ σ(a) und n ∈ . Dann ist aber auch |λ| ≤ lim inf n ‖a n ‖, und da dies für alle λ ∈ σ(a) gilt, folgtZusammen mit (1.4.14) liefert (1.4.15) die Behauptung.r(a) ≤ lim inf n ‖a n ‖ (1.4.15)Formel (1.4.13) ist bemerkenswert, da sie algebraische Größen (Spektralradien) mit metrischen Größen (Normen derElemente a n ) verknüpft. Als erste Folgerung aus (1.4.13) vermerken wir einen Zusammenhang zwischen Norm undSpektralradius normaler Elemente.Definition 1.4.12. Ein Element a einer involutorischen Algebra A heißt• selbstadjungiert, wenn a = a ∗• normal. wenn aa ∗ = a ∗ aSatz 1.4.13. Ist A eine C ∗ -Algebra mit Eins und a ∈ A normal, so istBeweis. Da a normal ist, haben wir mit dem C ∗ -Axiomr(a) = ‖a‖ (1.4.16) a2 2 = a 2 (a 2 ) ∗ = aa ∗ aa ∗ = (aa ∗ )(aa ∗ ) ∗ = aa ∗ 2 = ‖a‖ 4Es ist also a2 = ‖a‖ 2 . Da mit a auch alle Potenzen von a normal sind, erhalten wir mit vollständiger Induktion a2 n = ‖a‖2 nfür alle n ≥ 0. Mit der Formel für den Spektralradius folg schließlichr(a) = limn→∞2 n a 2 n = ‖a‖EinfacheBeispielezeigen, dass für nichtnormale Elemente die Beziehung (1.4.16) drastisch verletzt sein kann. So ist0 1für A = ∈ 0 02×2 gerade ‖A‖ = 1, aber r(A) = 0.Wir illustrieren die Stärke und Nützlichkeit der Aussagen der Spektraltheorie durch einige zum Teil recht erstaunlicheFolgerungen.Satz 1.4.14 (Satz von Gelfand/Mazur). Sei A eine Banachalgebra mit Eins e ≠ 0, in der jedes von 0 verschiedeneElement invertierbar ist. Dann ist A ∼ = Beweis. Sei a ∈ A. Nach Satz 1.4.8 ist σ(a) ≠ . Sei λ ∈ σ(a). Da a − λe nicht invertierbar ist, muss a − λe = 0 bzw.a = λe sein.Die nächsten Folgerungen bereiten wir durch ein einfaches Lemma vor, welches in der Übung bewiesen wird.Lemma 1.4.15. Seien A, B Banachalgebren mit Eins und W : A → B ein unitaler Homomorphismus. Dann giltσ(W (a)) ⊆ σ(a)für jedes a ∈ AWir zeigen nun, dass gewisse Homomorphismen automatisch stetig sind. Eine Gesamtdarstellung des Problems findetman in G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. - Clarendon Press, Oxford 2001Satz 1.4.16. Sei A eine Banach- ∗ -Algebra, B eine C ∗ -Algebra und W : A → B ein ∗ -Homomorphismus. Dann ist Weine Kontraktion, d.h. ‖W (a)‖ ≤ ‖a‖ ∀a ∈ A. Insbesondere ist W stetig.13