Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis.(i) ⇒ (ii): Invertierbarkeit von π(A) in L(X )/K(X ) heißt: Es gibt Operatoren B ∈ L(X ) und K 1 , K 2 ∈ K(X ) so dassBA = I + K 1 , AB = I + K 2 (1.4.10)Aus (1.4.10) und der Fredholmschen Alternative für Operatoren der Form I+kompakt folgtdim ker A ≤ dim ker BA = dim ker(I + K 1 ) < ∞dim(X /Im A) ≤ dim(X /Im AB) = dim(X /Im(I + K 2 )) = dim(X / Im(I + K 2 )) < ∞Wir zeigen noch, dass Im A abgeschlossen ist. Sei y n = Ax n und y n → y. Wir zerlegen X in eine direkte SummeX = X 1 ˙+ ker A (beachte: dim ker A < ∞) und setzen o.E.d.A. x n ∈ X 1 voraus.Wir überlegen uns die Beschränktheit der Folge (x n ). Wäre diese Folge unbeschränkt, so gäbe es eine Teilfolge(x n ) n∈1 mit xn → ∞. Für x′n := x n/ xn (mit n ∈ 1 ) gilt dann Ax ′ n = y n/ xn → 0. Da die Folge (x′n ) n∈ 1beschränkt ist, finden wir weiter eine Teilfolge (x ′ n ) n∈ 2, für die die Folge (K 1 x ′ n ) n∈ 2konvergiert. Aus BA = I +K 1folgt dann, dass (x ′ n ) n∈ 2eine konvergente Folge mit einem Grenzwert x ∈ X 1 mit ‖x‖ = 1 ist. Andererseits giltAx = 0 wegen Ax ′ n → 0. Also ist x ∈ X 1 ∩ ker A = {0} im Widerspruch zu ‖x‖=1. Der Widerspruch zeigt, dassdie Folge (x n ) beschränkt ist.Dann können wir aber eine konvergente Teilfolge (K 1 x n ) n∈3 aus (K 1 x n ) n∈ auswählen. Da auch (Ax n ) n∈ konvergiert(gegen y), erhalten wir wieder aus BA = I + K 1 die Konvergenz von (x n ) n∈3 gegen ein x ∈ X 1 . Ausx n → x und Ax n → y folgt schließlich y = Ax, d.h. y ∈ Im A.(ii) ⇒ (i): Ist A ein Fredholmoperator, so gibt es abgeschlossene Teilräume X 1 , X 2 von X , so dassX = X 1 ˙+ ker A und X = X 2 ˙+ Im A = X 2 ˙+Im ADie Einschränkung von A auf X 1 ist eine Bijektion von X 1 auf Im A, und da Im A abgeschlossen ist, gibt es einenOperator B ∈ L(Im A, X 1 ) mit BA| X1 = I| X1 und AB = I| X2 . Wir setzen B durch 0 zu einem Operator C fort, derauf ganz X definiert ist. Mit diesem Operator rechnet man leicht nach:• I − CA ist der Projektor von X auf ker A parallel zu X 1 ,• I − AC ist der Projektor von X auf X 2 parallel zu Im ADa ker A und X 2 endlich-dimensional sind, sind beide Projektoren von endlichem Rang und insbesondere kompakt.Nach diesen Beispielen kommen wir zurück zur Spektraltheorie in Banachalgebren und vermerken zunächst ein Resultat,welches aus der Funktionalanalysis wohlbekannt ist und in diesem neuen Kontext genauso wie früher bewiesenwird.Satz 1.4.6. (Neumann-Reihe) Sei A eine Banachalgebra mit Einselement e und a ∈ A sei ein Element mit ‖a‖ < 1.∞∑Dann ist e − a invertierbar, die Inverse wird durch die Neumann-Reihe (e − a) −1 = a n dargestellt, und es gilt (e − a)−1 ≤11 − ‖a‖ sowie (e − a) −1 − e ≤‖a‖1 − ‖a‖Satz 1.4.7. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e. Dann ist die Menge GA der invertierbaren Elemente von A offen,und GA ist eine topologische Gruppe, d.h. Multiplikation und Inversion sind stetige Abbildungen.Beweis. Sei a ∈ GA und ‖x‖ < a−1 −1 . Dann ist a − x = a(e − a −1 x) und a −1 x ≤ a −1 ‖x‖ < 1. Nach Satz 1.4.6ist e − a −1 x und folglich auch a − x invertierbar. Also ist GA offen. Die Stetigkeit der Multiplikation GA × GA → GAfolgt sofort aus Lemma 1.1.3. Für den Beweis der Stetigkeit der Inversion GA → GA sei a ∈ GA und ‖x‖ < a−1 −1 .Dann ist a − x invertierbar und(a − x) −1 = (e − a −1 x) −1 a −1Um die Stetigkeit der Inversion in genügt es daher, die Stetigkeit der Inversion im Punkt e zu zeigen. Diese folgt sofortaus der letzen Abschätzung in Satz 1.4.6.n=011