Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

1.4 Elementare SpektraltheorieDefinition 1.4.1. Sei A eine Banachalgebra mit Einselement e. Ein Element a ∈ A heißt invertierbar, wenn es einElement b ∈ A gibt, so dass ab = ba = e. Das Element b ist dann eindeutig bestimmt und heißt das Inverse zu a undwird mit a −1 bezeichnet. Für a ∈ A heißtσ(a) := {λ ∈ : a − λe ist nicht invertierbar}das Spektrum und ϱ(a) := \ σ(a) die Resolventenmenge von a.Beispiel 1.4.2. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und a ∈ C(X ). Ist a in C(X ) invertierbar, so gibt es eine Funktionb ∈ C(X ), so dass ab das Einselement, d.h.a(x)b(x) = 1 für alle x ∈ X (1.4.8)Dann ist insbesondere a(x) ≠ 0 für alle x ∈ X . Ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt, so ist b(x) := a(x) −1 eine stetigeFunktion auf X , für die (1.4.8) gilt. Damit ist eine Funktion a ∈ C(X ) genau dann in C(X ) invertierbar, wenn sie keineNullstellen in X besitzt. Hieraus folgt sofort, dassσ(a) = a(X ) (= {a(x) : x ∈ X })Beispiel 1.4.3. Sei nun X Banachraum und A ∈ L(X ). Invertierbarkeit von A in L(X ) heißt: es gibt einen Operator B,so dassAB = I und BA = I (1.4.9)Die erste Identität in (1.4.9) zeigt, dass Im A = X und die zweite, dass ker A = {0}. Also ist A eine Bijektion. Umgekehrtwissen wir aus dem Satz von Banach, dass es für jede Bijektion A ∈ L(X ) einen Operator B ∈ L(X ) gibt, so dass (1.4.9)gilt. Invertierbarkeit von A in L(X ) bedeutet heißt also gerade Im A = X und ker A = {0}.Beispiel 1.4.4. Sei wieder X Banachraum undπ : L(X ) → L(X )/K(X ), A → A + K(X )der kanonische Homomorphismus von L(X ) auf die Calkinalgebra. Wir wollen uns überlegen, was Invertierbarkeit vonπ(A) in L(X )/K(X ) für einen Operator A bedeutet. Genauer wollen wir folgenden Satz zeigen:Satz 1.4.5. Sei X ein Banachraum und A ∈ L(X ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:(i) π(A) ist in L(X )/K(X ) invertierbar(ii) Im A ist abgeschlossen und ker A sowie X /Im A sind endlichdimensional.Operatoren mit der Eigenschaft (ii) heißen auch Fredholmoperatoren. Diese sind ”beinahe invertierbar” in dem Sinn,dass sich alles, was die Invertierbarkeit verhindern kann auf einem endlich-dimensionalen Raum abspielt.Für den Beweis wiederholen wir einige Begriffe aus der Funktionalanalysis. Sind M, N abgeschlossene lineare Teilräumevon X , so schreiben wir X = M ˙+N, falls M ∩ N = {0} und M + N = X . In diesem Fall heißt X die direkte Summe vonM und N und N heißt ein direktes Komplement von M. Falls X nicht zu einem Hilbertraum isomorph ist, gibt esimmer einen abgeschlossenen Teilraum von X , der kein direktes Komplement besitzt [Satz von Lindenstrauß/Tzafriri].Es gilt jedoch:• Jeder endlich-dimensionale Teilraum besitzt ein direktes Komplement.• Sind M,N abgeschlossene Teilräume von X und ist einer dieser Räume endlich dimensional, so ist M + Nabgeschlossen.10