Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Beweis.(i) Für alle b ∈ A ist La b = ‖ab‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖, woraus La ≤ ‖a‖ folgt. Andererseits hat man in C ∗ -Algebren La a ∗ = aa ∗ = ‖a‖ 2 = ‖a‖ a∗ ,was die Ungleichung La ≥ ‖a‖ nach sich zieht. Hat A schließlich eine Eins e so ist Le der identische Operatorund demzufolge 1 = Le = ‖e‖.(ii) Wir zeigen zuerst, dass durch (1.3.7) eine Norm definiert wird. Sei ‖(a, λ)‖ = 0, d.h. L(a,λ) = 0 bzw. ab+λb = 0für alle b ∈ A. Ist λ = 0, wählen wir b = a ∗ und erhalten aa ∗ = 0, woraus mit dem C ∗ -Axiom a = 0 folgt. Fallsλ ≠ 0, setzen wir ã := −λ −1 a und erhalten ãb = b für alle b ∈ A. Durch Adjungieren folgt bã ∗ = b für alleb ∈ A und mithinã = ãã ∗ = ã ∗ .Das Element e := ã ist also selbstadjungiert, und aus dem bisher gezeigten folgt, dass e Einselement in A imWiderspruch zu den Voraussetzung ist. Folglich ist(a, λ) = 0. Die übrigen Normeigenschaften überprüft manleicht.Für die Elemente (a, 0) ∈ à 0 gilt nach Aussage (i) insbesondere‖(a, 0)‖ = La,0 = La = ‖a‖ .Der Raum à 0 ist also zu A wieder isometrisch isomorph und mithin vollständig. Als vollständiger Raum istà 0 aber ein abgeschlossener Teilraum von Ã. Das lineare Funktional l : à → , (a, λ) → λ hat also einenabgeschlossenen Kern und ist demzufolge stetig (↗ Funktionalanalysis). Mit l ist dann auch die ProjektionP : à → à 0 , x → x − l(x)(0, 1) bzw. (a, λ) → (a, 0)stetig. Nunmehr ist klar, dass es eine Konstante C so gibt, dassfür alle (a, λ) ∈ Ã. Mit dieser Konstanten haben wir|λ| ≤ C ‖(a, λ)‖ und ‖a‖ = ‖(a, 0)‖ ≤ C ‖(a, λ)‖‖a‖ + |λ| ≤ 2C ‖(a, λ)‖ ≤ 2C(‖a‖ + |λ|),d.h. die in (1.3.7) bzw. in Satz 1.3.2 eingeführten Normen auf à sind äquivalent. Aus Satz 1.3.2 folgt daher auchdie Vollständigkeit von à bzgl. der Norm (1.3.7). Wir zeigen noch, dass à bzgl. dieser Norm eine C ∗ -Algebraist. Sei (a, λ) ∈ Ã. Für jedes ɛ > 0 findet man ein b ∈ A mit ‖b‖ = 1 so, dass‖(a, λ)‖ 2 = L(a,λ) 2≤ ɛ +L(a,λ)b 2 = ɛ + ‖ab + λb‖ 2= ɛ + (ab + λb) ∗ (ab + λb) (vgl. 2. Übung)= ɛ + b ∗ (a ∗ ab + λa ∗ b + λab + λλb) ≤ ɛ + L (a ∗ a+λa ∗ +λa,λλ) b L(a ≤ ɛ + ∗ a+λa ∗ +λa,λλ) .Da dies für beliebiges ɛ > 0 gilt, folgt‖(a, λ)‖ 2 ≤ L (a ∗ a+λa ∗ +λa,λλ) = (a ∗ a + λa ∗ + λa, λλ) = (a ∗ , λ)(a, λ) = (a, λ) ∗ (a, λ) wieder mit Aufgabe 4 aus Übung 2 folgt die Behauptung.9