Banach- und C -Algebren - Fachbereich Mathematik - Technische ...

Banach- und C ∗ -AlgebrenProf. Steffen RochSommersemester 2008

Inhaltsverzeichnis1 Grundlagen 31.1 Definitionen und Beispiele für Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Homomorphismen, Ideale, Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Einselement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Elementare Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Inverse Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Maximale Ideale und Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Die Gelfandsche Darstellungstheorie 212.1 Kommutative Banachalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Kommutative C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Stetiger Funktionalkalkül für normale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Darstellungstheorie für C ∗ -Algebren 373.1 Positive Elemente und Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Homomorphismen, Ideale und Quotienten von C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Positive Funktionale und Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Die GNS-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 Irreduzible Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 GNS, irreduzible Darstellungen, reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8 Primitive Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9 Irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Nichtkommutative Gelfandtheorien und ihre Anwendungen 624.1 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktionen . . . . . . . . 624.2 Singuläre Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Banachalgebren mit polynomialer Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

EinleitungIn dieser Vorlesung soll eine Einführung in die Theorie der Banach- und C ∗ -Algebren gegeben werden. Diese Algebrenwerden seit ca. 60 Jahren intensiv untersucht. Mittlerweile verfügt man über eine tiefgehende und komplexe Theorie derC ∗ -Algebren, die ihre Stärke in zahlreichen und vielfältigen Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik(Operatortheorie, Maßtheorie, Topologie, Gruppentheorie, Geometrie, Zahlentheorie, etc.) unter Beweis gestellt hat.Meinen persönlichen Interessen entsprechend werde ich versuchen, den Anwendungsaspekt stärker zu betonen.Es gibt eine Reihe ausgezeichneter Bücher über Banach- und C ∗ -Algebren wie z.B.• Arveson: An Invitation to C ∗ -Algebras, Springer 1976 (recht knapp)• Bonsall, Duncan: Complete Normed Algebras, Springer 1973• Bratteli, Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, I, Springer 1979 (leicht zu lesen,anwendungsorientiert)• Davidson: C ∗ -Algebras by Example, AMS 19996 (zahlreiche konkrete Algebren und Anwedungen)• Dixmier: C ∗ -Algebras, North Holland 1982 (ein Klassiker)• Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Academic Press 1972 (angenehm zu lesen, Anwendungenin Operatortheorie)• Kadison, Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I-IV, Academic Press, AMS, Birkhäuser(umfassende Darstellung, zahlreiche Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen)• Murphey: C ∗ -Algebras and Operator Theory, Academic Press (gut lesbare Einführung)• Pedersen: C ∗ -Algebras and their Automorphism Groups, Academic Press 1979 (knapp geschrieben, anspruchsvoll,vielleicht DAS Buch über C ∗ -Algebren)• Rickart: General Theory of Banach Algebras, van Nostraud 1960 (klassische Darstellung)• Connes: Non-commutative Geometry, Academic Press 1994 (kein Lehrbuch, keine Monographie - eher wohl eineVision und eines der aufsehenerregensden Bücher der letzten Jahre)2

1 Grundlagen1.1 Definitionen und Beispiele für AlgebrenDefinition 1.1.1 (Algebra). Ein komplexer Vektorraum A mit einer bilinearen AbbildungA × A → A, (a, b) → ab (1.1.1)heißt Algebra, wenn(ab)c = a(bc)für alle a, b, c ∈ A• Wir nennen die Abbildung (1.1.1) Multiplikation und ab das Produkt der Elemente a, b ∈ A.• Eine Teilmenge einer Algebra A heißt Unteralgebra von A, wenn sie bezüglich der in A erklärten Operationenebenfalls eine Algebra ist.• Eine Algebra A heißt kommutativ, wenn ab = ba für alle a, b ∈ A.• Eine Algebra heißt unital (oder Algebra mit Einselement), wenn es ein Element e ∈ A gibt, mit ae = ea = afür alle a ∈ A. Wenn es ein solches Element gibt, so ist es eindeutig bestimmt und heißt Einselement von A.Definition 1.1.2 (Banachalgebra). Eine Algebra A heißt normiert, wenn auf dem unterliegenden Vektorraum eine Normgegeben ist, die folgende Eigenschaft erfüllt:‖ab‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖für alle a, b ∈ AIst A bezüglich dieser Norm vollständig, heißt A Banachalgebra.Lemma 1.1.3. In einer normierten Algebra ist die Multiplikation stetig.Beweis. Aus a n → a und b n → b folgt an b n − ab = an b n − ab n + ab n − ab ≤ an − a bn + ‖a‖ bn − b Da die Folge bn beschränkt ist, folgt die Behauptung.Definition 1.1.4. Eine Algebra A heißt Algebra mit Involution, wenn sie mit einer Abbildung A → A, a → a ∗ versehenist, so dass gilt:• (a ∗ ) ∗ = a• (λa + µb) ∗ = λa ∗ + µb ∗• (ab) ∗ = b ∗ a ∗für alle a ∈ Afür alle a, b ∈ A und λ, µ ∈ für alle a, b ∈ AIn einer involutiven Algebra gilt 0 ∗ = 0, in einer involutiven Algebra mit Eins e gilt e = e ∗ .Eine Banachalgebra A mit Involution heißt Banach-∗-Algebra, wenn a∗ = ‖a‖ für alle a ∈ A (1.1.2)Gilt in einer Banachalgebra mit Involution sogar aa∗ = ‖a‖2für alle a ∈ Aso heißt A C ∗ -Algebra. Das C ∗ -Axiom impliziert die Aussage (1.1.2).3

Beispiel 1.1.5. Ist X ein normierter linearer Raum über , so ist die Menge L(X ) der linearen beschränkten Operatorenauf X eine normierte Algebra bzgl. der üblichen Operationen und der durch die Norm auf X induzierten Operatornorm.Das Einselement von L(X ) ist die identische Abbildung I. Ist X ein Banachraum, so ist L(X ) eine Banachalgebra.Im Falle X = H eines Hilbertraums ist auf L(H) eine Involution A → A ∗ durch〈Ax, y〉 = 〈x, A ∗ y〉für alle x, y ∈ Hdefiniert, die L(H) zu einer Banach-∗-Algebra macht. Wir überlegen uns, dass L(H) sogar eine C ∗ -Algebra ist. Fürbeliebiges A ∈ L(H) gilt:‖A‖ 2 = sup {〈Ax, Ax〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1}= sup 〈x, A ∗ Ax〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1 ≤sup A ∗ Ax : x ∈ H, ‖x‖ = 1= A ∗ A und die umgekehrte Ungleichung ‖A ∗ A‖ ≤ ‖A ∗ ‖ ‖A‖ = ‖A‖ 2 gilt offenbar ebenso. Aus ‖A‖ = ‖A ∗ ‖ folgt somit dasC ∗ -Axiom.Ist X ein Banachraum, so ist mit L(X ) auch jede abgeschlossene Unteralgebra von L(X ) eine Banachalgebra. Ist H einHilbertraum, so ist mit L(H) auch jede abgeschlossene und symmetrische Unteralgebra B von L(H) eine C ∗ -Algebra(symmetrisch heißt: b ∈ B ⇒ b ∗ ∈ B). Wir werden später einen zentralen Satz beweisen, der besagt, dass auch dieUmkehrung dieser Aussage richtig ist:Jede C ∗ -Algebra ist im wesentlichen von dieser Gestalt.Insbesondere bildet die Menge K(X ) der kompakten Operatoren auf einem Banach- bzw- Hilbertraum X eine Banachbzw.C ∗ -Algebra. Falls X unendlich-dimensional ist, besitzt K(X ) kein Einselement.Beispiel 1.1.6. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum (zur Erinnerung: ein topologischer Raum X heißt kompakt,wenn sich aus jeder Überdeckung von X durch offene Mengen eine endliche überdeckung auswählen lässt. X heißtHausdorffsch (oder T 2 -Raum), wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ X offene Umgebungen U x , U y vonx bzw. y mit U x ∩ U y = gibt). Jede stetige komplexwertige Funktion f auf X ist beschränkt (und die Funktionx → f (x) nimmt sogar ihr Supremum auf X an). Die Menge C(X ) aller stetigen komplexwertigen Funktionen,versehen mit punktweisen Operationen, der Supremumsnorm (Maximumsnorm) und der Involutionf ∗ (x) := f (x), x ∈ X (1.1.3)bildet eine kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement x → 1.Ist X ein lokal-kompakter (d.h. jeder Punkt besitzt eine Umgebung, deren Abschließung kompakt ist) Hausdorff-Raum,so bildet die Menge C 0 (x) der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X , die im unendlichen verschwinden, bezüglichpunktweiser Operationen und der Norm (1.1.3) ebenfalls eine C ∗ -Algebra. Diese besitzt kein Einselement, falls X nichtkompakt ist. (Man sagt, dass eine Funktion f : X → im Unendlichen verschwindet, wenn es zu jedem ɛ > 0 einekompakte Menge K ⊆ X so gibt, dass f (x) < ɛ für alle x ∈ X \ K).Wir werden später sehen, dass jede kommutative C ∗ -Algebra von der Gestalt C 0 (X ) mit einem lokal-kompaktenHausdorff Raum X und jede kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement von der Gestalt C(X ) mit einem kompaktenHausdorff-Raum X ist.Beispiel 1.1.7. Sei l 1 () die Menge aller Funktionen f : → mit f1:=∑ f (n) < ∞n∈Aus der Funktionalanalysis ist bekannt, dass l 1 (), versehen mit punktweise Addition und skalarer Multiplikation,sowie mit der Norm ‖·‖ 1 einen Banachraum bildet. Man kann l 1 () auf eine weniger offensichtliche Weise sogarzu einer Banachalgebra machen. Dazu ordnen wir zwei Funktionen f , g ∈ l 1 () ihr Produkt zu, welches in diesemZusammenhang die Faltung von f auf g heißt und mit f ∗ g bezeichnet wird:(f ∗ g)(n) :=∞∑k=−∞f (n − k)g(k)4

Wir überlegen uns zunächst, dass diese Reihe für jedes n konvergiert und dass die resultierende Funktion f ∗ g wiederin l 1 () liegt. Dies folgt aus∞∑ ∞∑ (f ∗ g)(n) ∞∑=f (n − k)g(k)n=−∞≤=n=−∞∞∑k=−∞∞∑n=−∞ k=−∞∞∑k=−∞ g(k) = f1∞∑k=−∞= f1 g1 f (n − k) g(k) ∞∑n=−∞ g(k) f (n − k) Also ist f ∗ g ∈ l 1 () und es gilt f ∗ g1≤ f1 g1. Um zu sehen, dass die Faltung l 1 () zu einer Algebramacht, überprüfen wir beispielsweise das Assoziativgesetz. Die übrigen Algebra-Axiome folgen ebenfalls leicht. Füra, b, c ∈ l 1 () und n ∈ ist((a ∗ b) ∗ c) (n) =∞∑(a ∗ b)(n − k)c(k) =k=−∞Eine Variablenverschiebung l ′ = l + k in der inneren Summe führt zu∞∑∞∑k=−∞ l ′ =−∞∞∑∞∑k=−∞ l=−∞a(n − l ′ )b(l ′ − k)c(k),a(n − k − l)b(l)c(k)und eine Vertauschung der Summationsreihenfolge (die wegen der absoluten Konvergenz der Reihe erlaubt ist) zeigt,dass ((a ∗ b) ∗ c)(n) übereinstimmt mit(a ∗ (b ∗ c))(n) =∞∑l=−∞a(n − l)(b ∗ c)(l) =∞∑∞∑l=−∞ k=−∞a(n − l)b(l − k)c(k)Also ist l 1 () eine Banachalgebra, die sogenannte Wiener-Algebra. Diese ist sogar kommutativ(a ∗ b)(n) =∞∑k=−∞a(n − k)b(k) =∞∑k ′ =−∞a(k ′ )b(n − k ′ ) = (b ∗ a)(n)und durch a ∗ (n) = a(−n) wird eine Involution auf l 1 () erklärt, die l 1 () zu einer kommutativen Banach-∗-Algebramit Einselement macht (↗ Übung)Ganz ähnlich lassen sich auch entsprechende Algebren von Funktionen einführen. Dazu definieren wir auf dem RaumC C ( n ) der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger das Faltungsprodukt durch∫(f ∗ g)(x) := nf (x − y)g(y)d yund eine Involution durch f ∗ (x) := f (−x). Diese Operationen machen C C ( n ) zu einer kommutativen und involutivenAlgebra. Weiter wird durch∫ f 1:=f (y) d y neine Norm auf dem linearen Raum C C ( n ) erklärt, für die gilt f∗ 1= f 1und f ∗ g1 ≤ f 1 g1 (1.1.4)Sei L 1 ( n ) die Vervollständigung des normierten Raums C C ( n ) bezüglich ‖·‖ 1 . Wegen (1.1.4) lassen sich Involutionund Faltung stetig auf L 1 ( n ) fortsetzen und wir erhalten wieder eine kommutative Banach-∗-Algebra.5

1.2 Homomorphismen, Ideale, QuotientenDefinition 1.2.1. Seien A, B Algebren. Eine lineare Abbildung W : A → B heißt Homomorphismus, wennW (ab) = W (a)W (b) ∀a, b ∈ A.Haben A und B Einselemente e A bzw. e B , so heißt ein Homomorphismus W : A → B unital, wenn W (e A ) = e B .Sind A, B involutiv, so heißt W : A → B symmetrisch oder ∗-Homomorphismus, wenn W (a ∗ ) = W (a) ∗ für alle a ∈ A.Bijektive Homomorphismen heißen Isomorphismen. Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation in der Menge der Algebren.Im Falle normierter Algebren interessiert man sich besonders für stetige Homomorphismen, d.h. für solche mit‖W (a)‖ ≤ C‖a‖∀a ∈ Amit einer gewissen Konstanten C. Gibt es einen stetigen Isomorphismus einer Banachalgebra A auf eine BanachalgebraB, so nennen wir A und B topologisch isomorph und schreiben A ∼ = B. Nach dem Satz von Banach ist die Inverse einesstetigen Isomorphismus wieder ein stetiger Isomorphismus. Topologische Isomorphie ist also eine Äquivalenzrelationin der Menge der Banachalgebren.Definition 1.2.2. Ein linearer Teilraum J einer Algebra A heißt Linksideal, wenna j ∈ J für alle a ∈ A, j ∈ J.Analog erklärt man Rechtsideal, und ein Teilraum, der sowohl Links- als auch Rechtsideal ist, heißt Ideal. Die AlgebraA selbst sowie der Nullraum sind stets Ideale von A. Diese heißen die trivialen Ideale. Besitzt A nur triviale Ideale, soheißt A einfach.Beispielsweise ist die Algebra n×n der n × n-Matrizen mit komplexen Einträgen einfach (↗ Übung).Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Idealen und den Kernenvon Homomorphismen.ker W := {a ∈ A : W (a) = 0}Lemma 1.2.3. Der Kern jedes Homomorphismus ist ein Ideal, und jedes Ideal ist Kern eines gewissen Homomorphismus.Beweis. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass der Kern jeder linearen Abbildung ein linearer Raum ist. Ist nunW : A → B ein Homomorphismus, und sind a ∈ A, j ∈ ker W , so istW (a j) = W (a)W (j) = 0 = W (j)W (a) = W (ja),d.h. a j und ja liegen in ker W .Für die zweite Aussage betrachten wir den Faktorraum A/J für ein Ideal J von A. Dieser lineare Raum kann zu einerAlgebra (die sog. Faktorialalgebra von A nach J) gemacht werden durch die DefinitionMan rechnet leicht nach, dass die Abbildung(a + J) · (b + J) = ab + J.W : A → A/J, a → a + Jein Homomorphismus von A auf A/J ist (der sog. kanonische Homomorphismus) und dass ker W = J.Ist A eine Banachalgebra und J ein abgeschlossenes Ideal von A, so wird in der Faktoralgebra A/J durch‖a + J‖ := inf{‖a + j‖ : j ∈ J}eine Norm definiert, welche A/J zu einer Banachalgebra macht (↗ Übung). Offensichtlich gilt dann ‖a + J‖ ≤ ‖a‖ füralle a ∈ A, d.h. der kanonische Homomorphismus von A auf A/J ist stetig und hat eine Norm nicht größer als 1. Mitdiesen Aussagen erhält man sofort:6

Lemma 1.2.4. Der Kern eines stetigen Homomorphismus ist abgeschlossenes Ideal, und jedes abgeschlossene Ideal istder Kern eines stetigen Homomorphismus.Für C ∗ -Algebren A und abgeschlossene Ideale J von A entsteht die Frage, ob man A/J wieder zu einer C ∗ -Algebramachen kann. Diese werden wir erst später beantworten.Beispiel 1.2.5. Für jeden Banachraum X ist die Menge K(X ) der linearen kompakten Operatoren auf X ein abgeschlossenesIdeal von L(X ). Falls X unendlichdimensional ist, ist dieses Ideal nicht trivial. Im Falle eines separablen unendlichdimensionalenHilbertraums (wie l 2 ) kan man sogar zeigen, dass K(H) das einzige nichttriviale abgeschlossene Idealvon L(H) ist (während es sehr viele nichtabgeschlossene Ideale gibt wie z.B. das Ideal der Hilbert-Schmidt-Operatorenoder das der Operatoren mit endlichdimensionalem Bild). Für jeden unendlich-dimensionalen Banachraum X heißtL(X )/K(X ) die Calkinalgebra von X .Beispiel 1.2.6. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Unser Ziel ist es, alle abgeschlossenen Ideale von C(X ) zubeschreiben. Man überlegt sich sofort, dass für jede kompakte Teilmenge K von X die MengeJ(K) := {f ∈ C(X ) : f | K = 0} (1.2.5)ein abgeschlossenes Ideal von C(X ) bildet. Bemerkenswerterweise gilt auch die Umkehrung:Satz 1.2.7. Sei X kompakter Hausdorff-Raum und J abgeschlossenes Ideal von C(X ). Dann gibt es eine kompakte MengeK ⊆ X , so dassJ(K) := {f ∈ C(X ) : f | K = 0} (1.2.6)Beweis. Wir zeigen, dass die Menge K := ⋂ f ∈J f (−1) (0) den Bedingungen des Satzes genügt. Als Durchschnitt kompakterMengen ist K wieder kompakt und die Inklusion J ⊆ {f ∈ C(X ) : f | K = 0} ist offensichtlich. Für den Beweisder umgekehrten Inklusion sei f ∈ C(X ) eine Funktion, die auf K verschwindet. Wir müssen zeigen, dass f ∈ J.Sei ɛ > 0. Dann gibt es eine offene Umgebung U K von K so, dass f (x) < ɛ für alle x ∈ UK . Weiter wählen wirfür jeden Punkt x ∈ X \ K eine Funktion g x ∈ J mit g x (x) = 1. Diese Funktion können wir als reellwertig undnichtnegativ annehmen (nötigenfalls ersetzen wir sie durch die Funktion g x g x ). Sei U x := {y ∈ X : g x (y) > 1 }. Die2offenen Mengen U x , x ∈ X \ K, überdecken zusammen mit der offenen Menge U K den Kompakt X . Es gibt folglich eineendliche Überdeckung durch solche Mengen, etwaX = U K ∪ U x1 ∪ · · · ∪ U xkSei 1 = f K + f 1 + · · · + f n eine Zerlegung der Eins bzgl. dieser Überdeckung, d.h. f K und alle f i sind nichtnegativestetige Funktionen mit supp f K ⊂ U K sowie supp f i ⊆ U xi für alle i. Auf der Abschließung U xi von U xi ist g xi ≥ 1 . Die 2Einschränkung von g xi auf U xi ist also invertierbar, und die inverse Funktion ist wieder stetig auf U xi . Nach einemSatz von Uryson kann (g xi | Uxi) −1 zu einer auf ganz X stetigen Funktion h i fortgesetzt werden. Mit dieser giltf i = f i g xi h i (i = 1, . . . , n)(punktweise nachrechnen!), und wegen g xi ∈ J folgt f i ∈ J für alle i. Nun ist wegen f = f · 1 = f f K + f f 1 + · · · + f f nklar, dass f − f f1 − · · · − f f n∞= f fK∞≤ f |UK ∞ < ɛ.Die Funktion f kann also beliebig genau durch Funktionen aus J approximiert werden. Da J abgeschlossen ist folgtf ∈ J und damit die Behauptung.Wir haben also eine Bijektion zwischen den abgschlossenen Teilmengen von X und den abgeschlossenen Idealen vonC(X ).7

1.3 EinselementIn einer Banachalgebra mit Eins e lässt sich bequemer arbeiten, wenn ‖e‖ = 1. Wir zeigen, dass dies immer erreichtwerden kann.Satz 1.3.1. Ist A eine Banachalgebra mit Eins e, so existiert auf A eine zu ‖˙‖ äquivalente Norm ‖˙‖ 0 mit‖e‖ 0 = 1 und ‖ab‖ 0 ≤ ‖a‖ 0 ‖b‖ 0 .Beweis. Jedem a ∈ A ordnen wir den Operator L a : A → A, b → ab der Linksmultiplikation mit a zu und setzen‖a‖ 0 := La = sup{‖ab‖ : ‖b‖ ≤ 1} ≤ ‖a‖ .Aus ‖a‖ 0 = 0 folgt, L a = 0 und damit wegen L a e = a, dass a = 0. Damit ist klar, dass ‖˙‖ 0 eine Norm auf A wird.Außerdem gilt ‖e‖ 0 = 1 (da L e die identische Abbildung ist) und‖ab‖ 0 = Lab = La L b ≤ La Lb = ‖a‖0 ‖b‖ 0 .Schließlich folgt die Äquivalenz der Normen ‖˙‖ und ‖˙‖ 0 aus‖a‖ = La e ≤ La ‖e‖ = ‖a‖0 ‖e‖ ≤ ‖a‖ ‖e‖ .Von nun an nehmen wir für Banachalgebren mit Eins immer ‖e‖ = 1 an. Hat eine Banachalgebra kein Einselement,so lässt sie sich in eine größere Banachalgebra mit Einselement einbetten:Satz 1.3.2. Sei A eine Banachalgebra, und à sei der lineare Raum A × , versehen mit der Norm ‖(a, λ)‖ := ‖a‖ + |λ|und dem Produkt(a, λ) · (b, µ) := (ab + λb + µa, λµ).Dann ist à Banachalgebra mit Eins (0, 1), die Menge à 0 aller Paare mit (a, 0) mit a ∈ A ist eine abgeschlosseneUnteralgebra von Ã, und die Algebren A und à 0 sind isometrisch isomorph.Beweis. Einfaches Nachrechnen (↗ Übung) zeigt, dass à Banachalgebra mit Eins (0, 1) ist und à 0 eine abgeschlosseneUnteralgebra (sogar ein Ideal) von à ist. Beispielsweise folgt die Submultiplikativität der Norm aus (a, λ)(b, µ) = ab + λb + µa, λµ = ab + λb + µa + λµ ≤ ‖a‖ ‖b‖ + |λ| ‖b‖ + |λ| ‖a‖ + |λ| µ = (‖a‖ + |λ|)(‖b‖ + |λ|) = ‖(a, λ)‖ (b, µ) .Schließlich überprüft man schnell, dassW : A → à 0 , a → (a, 0)ein Homomorphismus und wegen ‖a‖ = ‖(a, 0)‖ sogar eine Isometrie ist.Wesentlich mehr Mühe macht es, eine C ∗ -Algebra mit einem Einselement zu versehen.Satz 1.3.3. Sei A eine C ∗ -Algebra(i) Für den Operator L a : A → A, b → ab der Linksmultiplikation mit a gilt: La = ‖a‖Hat insbesondere A ein Einselement e, so ist ‖e‖ = 1.(ii) Hat A kein Einselement, so ist die in Satz 1.3.2 eingeführte Algebra à eine C ∗ -Algebra bezüglich der Involution(a, λ) ∗ := (a ∗ , λ) und der Norm‖(a, λ)‖ := L(a,λ) , (1.3.7)wobei L (a,λ) : A → A, b → ab + λb der entsprechende Multiplikationsoperator ist. Die Algebra à 0 ist ein abgeschlossenesIdeal in Ã, welches zu A isometrisch isomorph ist.8

Beweis.(i) Für alle b ∈ A ist La b = ‖ab‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖, woraus La ≤ ‖a‖ folgt. Andererseits hat man in C ∗ -Algebren La a ∗ = aa ∗ = ‖a‖ 2 = ‖a‖ a∗ ,was die Ungleichung La ≥ ‖a‖ nach sich zieht. Hat A schließlich eine Eins e so ist Le der identische Operatorund demzufolge 1 = Le = ‖e‖.(ii) Wir zeigen zuerst, dass durch (1.3.7) eine Norm definiert wird. Sei ‖(a, λ)‖ = 0, d.h. L(a,λ) = 0 bzw. ab+λb = 0für alle b ∈ A. Ist λ = 0, wählen wir b = a ∗ und erhalten aa ∗ = 0, woraus mit dem C ∗ -Axiom a = 0 folgt. Fallsλ ≠ 0, setzen wir ã := −λ −1 a und erhalten ãb = b für alle b ∈ A. Durch Adjungieren folgt bã ∗ = b für alleb ∈ A und mithinã = ãã ∗ = ã ∗ .Das Element e := ã ist also selbstadjungiert, und aus dem bisher gezeigten folgt, dass e Einselement in A imWiderspruch zu den Voraussetzung ist. Folglich ist(a, λ) = 0. Die übrigen Normeigenschaften überprüft manleicht.Für die Elemente (a, 0) ∈ à 0 gilt nach Aussage (i) insbesondere‖(a, 0)‖ = La,0 = La = ‖a‖ .Der Raum à 0 ist also zu A wieder isometrisch isomorph und mithin vollständig. Als vollständiger Raum istà 0 aber ein abgeschlossener Teilraum von Ã. Das lineare Funktional l : à → , (a, λ) → λ hat also einenabgeschlossenen Kern und ist demzufolge stetig (↗ Funktionalanalysis). Mit l ist dann auch die ProjektionP : à → à 0 , x → x − l(x)(0, 1) bzw. (a, λ) → (a, 0)stetig. Nunmehr ist klar, dass es eine Konstante C so gibt, dassfür alle (a, λ) ∈ Ã. Mit dieser Konstanten haben wir|λ| ≤ C ‖(a, λ)‖ und ‖a‖ = ‖(a, 0)‖ ≤ C ‖(a, λ)‖‖a‖ + |λ| ≤ 2C ‖(a, λ)‖ ≤ 2C(‖a‖ + |λ|),d.h. die in (1.3.7) bzw. in Satz 1.3.2 eingeführten Normen auf à sind äquivalent. Aus Satz 1.3.2 folgt daher auchdie Vollständigkeit von à bzgl. der Norm (1.3.7). Wir zeigen noch, dass à bzgl. dieser Norm eine C ∗ -Algebraist. Sei (a, λ) ∈ Ã. Für jedes ɛ > 0 findet man ein b ∈ A mit ‖b‖ = 1 so, dass‖(a, λ)‖ 2 = L(a,λ) 2≤ ɛ +L(a,λ)b 2 = ɛ + ‖ab + λb‖ 2= ɛ + (ab + λb) ∗ (ab + λb) (vgl. 2. Übung)= ɛ + b ∗ (a ∗ ab + λa ∗ b + λab + λλb) ≤ ɛ + L (a ∗ a+λa ∗ +λa,λλ) b L(a ≤ ɛ + ∗ a+λa ∗ +λa,λλ) .Da dies für beliebiges ɛ > 0 gilt, folgt‖(a, λ)‖ 2 ≤ L (a ∗ a+λa ∗ +λa,λλ) = (a ∗ a + λa ∗ + λa, λλ) = (a ∗ , λ)(a, λ) = (a, λ) ∗ (a, λ) wieder mit Aufgabe 4 aus Übung 2 folgt die Behauptung.9

1.4 Elementare SpektraltheorieDefinition 1.4.1. Sei A eine Banachalgebra mit Einselement e. Ein Element a ∈ A heißt invertierbar, wenn es einElement b ∈ A gibt, so dass ab = ba = e. Das Element b ist dann eindeutig bestimmt und heißt das Inverse zu a undwird mit a −1 bezeichnet. Für a ∈ A heißtσ(a) := {λ ∈ : a − λe ist nicht invertierbar}das Spektrum und ϱ(a) := \ σ(a) die Resolventenmenge von a.Beispiel 1.4.2. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und a ∈ C(X ). Ist a in C(X ) invertierbar, so gibt es eine Funktionb ∈ C(X ), so dass ab das Einselement, d.h.a(x)b(x) = 1 für alle x ∈ X (1.4.8)Dann ist insbesondere a(x) ≠ 0 für alle x ∈ X . Ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt, so ist b(x) := a(x) −1 eine stetigeFunktion auf X , für die (1.4.8) gilt. Damit ist eine Funktion a ∈ C(X ) genau dann in C(X ) invertierbar, wenn sie keineNullstellen in X besitzt. Hieraus folgt sofort, dassσ(a) = a(X ) (= {a(x) : x ∈ X })Beispiel 1.4.3. Sei nun X Banachraum und A ∈ L(X ). Invertierbarkeit von A in L(X ) heißt: es gibt einen Operator B,so dassAB = I und BA = I (1.4.9)Die erste Identität in (1.4.9) zeigt, dass Im A = X und die zweite, dass ker A = {0}. Also ist A eine Bijektion. Umgekehrtwissen wir aus dem Satz von Banach, dass es für jede Bijektion A ∈ L(X ) einen Operator B ∈ L(X ) gibt, so dass (1.4.9)gilt. Invertierbarkeit von A in L(X ) bedeutet heißt also gerade Im A = X und ker A = {0}.Beispiel 1.4.4. Sei wieder X Banachraum undπ : L(X ) → L(X )/K(X ), A → A + K(X )der kanonische Homomorphismus von L(X ) auf die Calkinalgebra. Wir wollen uns überlegen, was Invertierbarkeit vonπ(A) in L(X )/K(X ) für einen Operator A bedeutet. Genauer wollen wir folgenden Satz zeigen:Satz 1.4.5. Sei X ein Banachraum und A ∈ L(X ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:(i) π(A) ist in L(X )/K(X ) invertierbar(ii) Im A ist abgeschlossen und ker A sowie X /Im A sind endlichdimensional.Operatoren mit der Eigenschaft (ii) heißen auch Fredholmoperatoren. Diese sind ”beinahe invertierbar” in dem Sinn,dass sich alles, was die Invertierbarkeit verhindern kann auf einem endlich-dimensionalen Raum abspielt.Für den Beweis wiederholen wir einige Begriffe aus der Funktionalanalysis. Sind M, N abgeschlossene lineare Teilräumevon X , so schreiben wir X = M ˙+N, falls M ∩ N = {0} und M + N = X . In diesem Fall heißt X die direkte Summe vonM und N und N heißt ein direktes Komplement von M. Falls X nicht zu einem Hilbertraum isomorph ist, gibt esimmer einen abgeschlossenen Teilraum von X , der kein direktes Komplement besitzt [Satz von Lindenstrauß/Tzafriri].Es gilt jedoch:• Jeder endlich-dimensionale Teilraum besitzt ein direktes Komplement.• Sind M,N abgeschlossene Teilräume von X und ist einer dieser Räume endlich dimensional, so ist M + Nabgeschlossen.10

Beweis.(i) ⇒ (ii): Invertierbarkeit von π(A) in L(X )/K(X ) heißt: Es gibt Operatoren B ∈ L(X ) und K 1 , K 2 ∈ K(X ) so dassBA = I + K 1 , AB = I + K 2 (1.4.10)Aus (1.4.10) und der Fredholmschen Alternative für Operatoren der Form I+kompakt folgtdim ker A ≤ dim ker BA = dim ker(I + K 1 ) < ∞dim(X /Im A) ≤ dim(X /Im AB) = dim(X /Im(I + K 2 )) = dim(X / Im(I + K 2 )) < ∞Wir zeigen noch, dass Im A abgeschlossen ist. Sei y n = Ax n und y n → y. Wir zerlegen X in eine direkte SummeX = X 1 ˙+ ker A (beachte: dim ker A < ∞) und setzen o.E.d.A. x n ∈ X 1 voraus.Wir überlegen uns die Beschränktheit der Folge (x n ). Wäre diese Folge unbeschränkt, so gäbe es eine Teilfolge(x n ) n∈1 mit xn → ∞. Für x′n := x n/ xn (mit n ∈ 1 ) gilt dann Ax ′ n = y n/ xn → 0. Da die Folge (x′n ) n∈ 1beschränkt ist, finden wir weiter eine Teilfolge (x ′ n ) n∈ 2, für die die Folge (K 1 x ′ n ) n∈ 2konvergiert. Aus BA = I +K 1folgt dann, dass (x ′ n ) n∈ 2eine konvergente Folge mit einem Grenzwert x ∈ X 1 mit ‖x‖ = 1 ist. Andererseits giltAx = 0 wegen Ax ′ n → 0. Also ist x ∈ X 1 ∩ ker A = {0} im Widerspruch zu ‖x‖=1. Der Widerspruch zeigt, dassdie Folge (x n ) beschränkt ist.Dann können wir aber eine konvergente Teilfolge (K 1 x n ) n∈3 aus (K 1 x n ) n∈ auswählen. Da auch (Ax n ) n∈ konvergiert(gegen y), erhalten wir wieder aus BA = I + K 1 die Konvergenz von (x n ) n∈3 gegen ein x ∈ X 1 . Ausx n → x und Ax n → y folgt schließlich y = Ax, d.h. y ∈ Im A.(ii) ⇒ (i): Ist A ein Fredholmoperator, so gibt es abgeschlossene Teilräume X 1 , X 2 von X , so dassX = X 1 ˙+ ker A und X = X 2 ˙+ Im A = X 2 ˙+Im ADie Einschränkung von A auf X 1 ist eine Bijektion von X 1 auf Im A, und da Im A abgeschlossen ist, gibt es einenOperator B ∈ L(Im A, X 1 ) mit BA| X1 = I| X1 und AB = I| X2 . Wir setzen B durch 0 zu einem Operator C fort, derauf ganz X definiert ist. Mit diesem Operator rechnet man leicht nach:• I − CA ist der Projektor von X auf ker A parallel zu X 1 ,• I − AC ist der Projektor von X auf X 2 parallel zu Im ADa ker A und X 2 endlich-dimensional sind, sind beide Projektoren von endlichem Rang und insbesondere kompakt.Nach diesen Beispielen kommen wir zurück zur Spektraltheorie in Banachalgebren und vermerken zunächst ein Resultat,welches aus der Funktionalanalysis wohlbekannt ist und in diesem neuen Kontext genauso wie früher bewiesenwird.Satz 1.4.6. (Neumann-Reihe) Sei A eine Banachalgebra mit Einselement e und a ∈ A sei ein Element mit ‖a‖ < 1.∞∑Dann ist e − a invertierbar, die Inverse wird durch die Neumann-Reihe (e − a) −1 = a n dargestellt, und es gilt (e − a)−1 ≤11 − ‖a‖ sowie (e − a) −1 − e ≤‖a‖1 − ‖a‖Satz 1.4.7. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e. Dann ist die Menge GA der invertierbaren Elemente von A offen,und GA ist eine topologische Gruppe, d.h. Multiplikation und Inversion sind stetige Abbildungen.Beweis. Sei a ∈ GA und ‖x‖ < a−1 −1 . Dann ist a − x = a(e − a −1 x) und a −1 x ≤ a −1 ‖x‖ < 1. Nach Satz 1.4.6ist e − a −1 x und folglich auch a − x invertierbar. Also ist GA offen. Die Stetigkeit der Multiplikation GA × GA → GAfolgt sofort aus Lemma 1.1.3. Für den Beweis der Stetigkeit der Inversion GA → GA sei a ∈ GA und ‖x‖ < a−1 −1 .Dann ist a − x invertierbar und(a − x) −1 = (e − a −1 x) −1 a −1Um die Stetigkeit der Inversion in genügt es daher, die Stetigkeit der Inversion im Punkt e zu zeigen. Diese folgt sofortaus der letzen Abschätzung in Satz 1.4.6.n=011

Weiter: für jedes λ ∈ und n ≥ 1 giltλ n e − a n = (a n−1 + λa n−2 + · · · + λ n−1 e)(λe − a)Ist also λ ∈ σ(a), so ist λ n ∈ σ(a n ). Mit (1.4.12) folgt daher|λ n | ≤ ‖a n ‖ bzw |λ| ≤ n ‖a n ‖für alle λ ∈ σ(a) und n ∈ . Dann ist aber auch |λ| ≤ lim inf n ‖a n ‖, und da dies für alle λ ∈ σ(a) gilt, folgtZusammen mit (1.4.14) liefert (1.4.15) die Behauptung.r(a) ≤ lim inf n ‖a n ‖ (1.4.15)Formel (1.4.13) ist bemerkenswert, da sie algebraische Größen (Spektralradien) mit metrischen Größen (Normen derElemente a n ) verknüpft. Als erste Folgerung aus (1.4.13) vermerken wir einen Zusammenhang zwischen Norm undSpektralradius normaler Elemente.Definition 1.4.12. Ein Element a einer involutorischen Algebra A heißt• selbstadjungiert, wenn a = a ∗• normal. wenn aa ∗ = a ∗ aSatz 1.4.13. Ist A eine C ∗ -Algebra mit Eins und a ∈ A normal, so istBeweis. Da a normal ist, haben wir mit dem C ∗ -Axiomr(a) = ‖a‖ (1.4.16) a2 2 = a 2 (a 2 ) ∗ = aa ∗ aa ∗ = (aa ∗ )(aa ∗ ) ∗ = aa ∗ 2 = ‖a‖ 4Es ist also a2 = ‖a‖ 2 . Da mit a auch alle Potenzen von a normal sind, erhalten wir mit vollständiger Induktion a2 n = ‖a‖2 nfür alle n ≥ 0. Mit der Formel für den Spektralradius folg schließlichr(a) = limn→∞2 n a 2 n = ‖a‖EinfacheBeispielezeigen, dass für nichtnormale Elemente die Beziehung (1.4.16) drastisch verletzt sein kann. So ist0 1für A = ∈ 0 02×2 gerade ‖A‖ = 1, aber r(A) = 0.Wir illustrieren die Stärke und Nützlichkeit der Aussagen der Spektraltheorie durch einige zum Teil recht erstaunlicheFolgerungen.Satz 1.4.14 (Satz von Gelfand/Mazur). Sei A eine Banachalgebra mit Eins e ≠ 0, in der jedes von 0 verschiedeneElement invertierbar ist. Dann ist A ∼ = Beweis. Sei a ∈ A. Nach Satz 1.4.8 ist σ(a) ≠ . Sei λ ∈ σ(a). Da a − λe nicht invertierbar ist, muss a − λe = 0 bzw.a = λe sein.Die nächsten Folgerungen bereiten wir durch ein einfaches Lemma vor, welches in der Übung bewiesen wird.Lemma 1.4.15. Seien A, B Banachalgebren mit Eins und W : A → B ein unitaler Homomorphismus. Dann giltσ(W (a)) ⊆ σ(a)für jedes a ∈ AWir zeigen nun, dass gewisse Homomorphismen automatisch stetig sind. Eine Gesamtdarstellung des Problems findetman in G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. - Clarendon Press, Oxford 2001Satz 1.4.16. Sei A eine Banach- ∗ -Algebra, B eine C ∗ -Algebra und W : A → B ein ∗ -Homomorphismus. Dann ist Weine Kontraktion, d.h. ‖W (a)‖ ≤ ‖a‖ ∀a ∈ A. Insbesondere ist W stetig.13

Beweis. Wir überlegen zunächst, dass man alles auf den Fall zurückführen kann, wo A und B Einselemente besitzenund W unital ist. Besitzt A ein Einselement, so ersetzen wir B durch die C ∗ -Algebra clos W (A). Ist e ∈ A Einselement,so giltW (e)W (a) = W (a) = W (a)W (e)∀a ∈ Aund damitW (e)b = b = bW (e)∀b ∈ clos W (A)Also ist W (e) Einselement in W (A) und W : A → W (A) ist unital. Besitzt A kein Einselement, so bezeichnen wirmit à die Erweiterung von A zu einer Algebra mit Eins (Satz 1.3.2) und wir setzen ˜B := B, falls B ein Einselementbesitzt und bezeichnen mit ˜B die Erweiterung von B zu einer C ∗ -Algebra mit Eins gemäß Satz 1.3.3, falls B keinEinselement besitzt.Durch einfaches Nachrechnen bestätigt man, dass durch˜W : à → ˜B, (a, λ) → w(a) + λe ˜B (1.4.17)ein unitaler ∗ -Homomorphismus definiert wird.Seien also nun A, B und W unital und sei zunächst a ∈ A selbstadjungiert. Da W symmetrisch ist, ist auch W (a)selbstadjungiert und mit Lemma 1.4.15 und Satz 1.4.13 folgt‖W (a)‖ 2 = r(W (a)) ≤ r(a) ≤ ‖a‖ (1.4.18)für beliebiges a ∈ A ist nun‖W (a)‖ = W (a) ∗ W (a) = W (a ∗ a) (1.4.18)≤ a ∗ a ≤ a ∗ ‖a‖ = ‖a‖2woraus die Behauptung folgt. (Man beachte, dass man für ˜W in (1.4.17) zunächst ˜W (a, λ) ≤ ‖(a, λ)‖ erhält, worausfür λ = 0 ‖W (a)‖ ≤ ‖a‖ folgt).Für Homomorphismen A → lässt sich sogar eine noch stärkere Stetigkeitsausage bewiesen.Satz 1.4.17. Sei A eine Banachalgebra und W : A → Homomorphismus. Dann ist W stetig und ‖W ‖ ≤ 1. Hat AEinselement e und ist W ≠ 0, so ist W (e) = 1 und ‖W ‖ = 1.Beweis. Angenommen, ‖W ‖ > 1. Dann gibt es ein a ∈ A mit ‖a‖ < 1 und W (a) = 1. Die Reihe b :=und für b gilt: a + ab = b. Wenden wir dies auf die Identität W an, so folgtW (b) = W (a) + W (a)W (b) = 1 + W (b)∞∑a n konvergiertn=1ein Widerspruch. Also ist ‖W ‖ ≤ 1.Hat A ein Einselement e und ist W ≠ 0, so ist W (e) ≠ 0 (aus W (e) = 0 würde nämlich W (a) = W (ea) = W (e)W (a)für alle a ∈ A, d.h. W = 0 folgen). Aus W (e) 2 = W (e) folgt W (e) = 1. Wegen ‖e‖ = 1 folgt ‖W ‖ ≥ 1.1.5 Inverse AbgeschlossenheitIn diesem Abschnitt sei A eine Banachalgebra mit Eins e und B eine abgeschlossene Unteralgebra von A welche eenthält. Offenbar (bzw. wegen Lemma 1.4.15, angewandt auf den Einbettungshomomorphismus von B in A) gilt dannσ A (b) ⊆ σ B (b) für alle b ∈ B. (1.5.19)Das folgende Beispiel zeigt, dass diese Spektren in der Regel nicht übereinstimmen.14

Beispiel 1.5.1. Für n ∈ sei χ n die durch χ n (t) := t n definierte stetige Funktion auf der Einheitskreislinie . DieFunktionen inN∑P := a n χ n : N ∈ , a n ∈ n=−Nheißen trigonometrische Polynome. P ist eine symmetrische Unteralgebra von C() und die Abschließung von P inC() ist ganz C() (Satz von Stone/Weierstrass). Auch die Menge N∑P + := a n χ n : N ∈ , a n ∈ n=0der analytischen trigonometrischen Polynome ist eine Unteralgebra von C(). Ihre Abschließung in C() ist diesog. Diskalgebra. Es ist an dieser Stelle nicht offensichtlich, dass ≠ C(). Dies wird aber im Verlaufe dieses Beispielsgezeigt. Dazu benötigen wirLemma 1.5.2. IstN∑a n χ n ∈ P + und w ∈ mit |w| < 1, so giltn=0N∑n=0a n w n = 12π∫2π0 N∑n=0ea n χ 1itn d t. (1.5.20)1 − we−it Beweis. Die Reihe11 − we −it =∞∑ ∞∑we−itk= w k e −iktk=0k=0konvergiert gleichmäßig bzgl. t ∈ [0, 2π]. Wir können daher auf der rechten Seite von (1.5.20) Summation undIntegration vertauschen.Nun ist∫2π012π∫2π0 N∑ ea n χ ∑ ∞itn w k e −ikt d t = 12πn=0k=0N∑∞∑a nn=0 k=0∫2πw k0e i(n−k)t d t.e i(n−k)t d t = 2π für k = n und = 0 für k ≠ n. Hieraus folgt sofort die Behauptung.Für jedes w ∈ mit |w| < 1 definieren wirF w : P + → ,N∑N∑a n χ n → a n w n .n=0n=0Diese Abbildung ist ein Homomorphismus, und aus Lemma 1.5.2 folgt, dass F w sogar stetig ist: N∑ F N∑ w a n χ n =a n w nn=0n=0 ∫2π 1 N∑ e=a n χ 1itn2π1 − we d t −it n=0≤ 12π0N∑n=0 ∞ ∫2πa n χ n01 1 − we−it d t.(Man beachte, dass die Stetigkeit von F w nicht aus Satz 1.4.17 folgt, da P + keine vollständige Algebra ist.) Auf Grunddieser Stetigeit können wir F w zu einem stetigen Homomorphismus von auf fortsetzen. Diesen bezeichnen wirwieder mit F w . Offenbar ist F w unital.15

Wir betrachten die Funktion χ 1 , welche sowohl in C() als auch in der Diskalgebra liegt. Betrachtet als Element vonC() ist offenbarσ C() (χ 1 ) = , (1.5.21)dagegen werden wir uns überlegen, dassσ (χ 1 ) = , (1.5.22)wobei = {z ∈ : |z| < 1}. Wegen χ1∞= 1 ist zunächst klar, dass σ (χ 1 ) ⊆ . Außerdem folgt aus (1.5.19) und(1.5.21), dass ⊆ σ (χ 1 ). Ist schließlich w ∈ , so ist F w (χ 1 ) = w, und aus σ (w) = {w} und Lemma 1.4.15 folgtw ∈ σ (χ 1 ). Damit ist auch ⊆ σ (χ 1 ).Dies zeigt also, dass das -Spektrum von χ 1 wesentlich größer als das C()-Spektrum dieser Funktion ist. Es zeigtaber auch, dass das -Spektrum ”durch Ausfüllen der Löcher im C()-Spektrum” entsteht.σ C(T) (χ 1 ) σ A (χ 1 )Die am Ende des Beispiels gemachte Beobachtung ist kein Zufall, sondern gilt allgemein, wie wir mit Hilfe des folgendenResultats von Shilov zeigen werden.Satz 1.5.3. Sei A eine Banachalgebra mit e und B abgeschlossene Unteralgebra von A mit e ∈ B. Für jedes Elementb ∈ B ist dannwobei ∂ M für den Rand der Menge M steht.Beweis. Wegen σ A (b) ⊆ σ B (b) genügt es zu zeigen, dassDenn gilt dies, so ist∂ σ B (b) ⊆ ∂ σ A (b) ,∂ σ B (b) ⊆ σ A (b) für alle b ∈ B.∂ σ B (b) ⊆ σ A (b) = int σ A (b) ∪ ∂ σ A (b) ⊆ int σ B (b) ∪ ∂ σ A (b) .Wegen ∂ σ B (b) ∩ int σ B (b) = muss dann ∂ σ B (b) ⊆ ∂ σ A (b) gelten. Sei also λ ∗ ∈ ∂ σ B (b) . Dann gibt eseine Folge (λ n ) ⊆ ϱ B (b) mit λ n → λ ∗ . Angenommen, für ein n ∈ wäre (b − λn e) −1 1 < . λ ∗ − λ nDann wäre wegen λn − λ ∗ = (b − λ ∗ e) − (b − λ n e) 1< (b − λn e) −1 das Element b − λ ∗ e invertierbar (Neumann-Reihe), was Unsinn ist. Also ist (b − λn e) −1 ≥1damit insbesondere|λ ∗ −λ n|für alle n undlim (b − λn e) −1 = ∞. (1.5.23)n→∞Wäre nun λ ∗ ∉ σ A (b), so wäre wegen Satz 1.4.7 (b − λe)−1 beschränkt für alle λ aus einer Umgebung von λ ∗ , was(1.5.23) widerspricht.Satz 1.5.4. Sei A eine Banachalgebra mit e, B abgeschlossene Unteralgebra von A mit e ∈ B, und sei b ∈ B. Dann istσ B (b) die Vereinigung aus σ A (b) mit einer gewissen Anzahl beschränkter zusammenhängender (offener) Komponentenvon \ σ A (b).16

Hat beispielsweise σ A (b) folgende Form:so kann σ B (b) nur so aussehen:oderDieser Satz folgt sofort aus dem vorangegangenen Resultat und einfachen topologischen Überlegungen.Folgerung 1.5.5. Seien A, B, b wie in Satz 1.5.3. Besitzt σ B (b) keine (bzgl. ) inneren Punkte, so istσ A (b) = σ B (b)Besitzt σ B (b) keine inneren Punkte, so ist es nicht durch Vereinigung von σ A (b) mit offenen Mengen entstanden,fällt also mit σ A (b) zusammen.Definition 1.5.6. Die Unteralgebra B heißt invers abgeschlossen in A, fallsσ B (b) = σ A (b) für alle b ∈ B.So ist die Diskalgebra nicht invers abgeschlossen in C(). Wir werden nun zeigen, dass C ∗ -Unteralgebren von C ∗ -Algebren stets invers abgeschlossen sind. Dazu verschaffen wir uns zunächst Informationen über Spektren gewisserElemente.Definition 1.5.7. Ein Element a einer unitalen Algebra mit Involution heißt• isometrisch, wenn a ∗ a = e,• selbstadjungiert, wenn a ∗ = a,• unitär, wenn a ∗ a = aa ∗ = e.Satz 1.5.8. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins. Dann gilt:(i) ist a ∈ A isometrisch, so ist r(a) = 1.(ii) ist a ∈ A unitär, so ist σ(a) ⊆ .(iii) ist a ∈ A selbstadjungiert, so ist σ(a) ⊆ .Beweis.(i) Wir haben ‖a n ‖ 2 = (a n ) ∗ a n = an−1∗}{{} a ∗ a a n−1 = a n−1 ∗an−1 ,eund durch Wiederholung dieser Überlegungen folgt ‖a n ‖ = 1 für alle n. Die Formel für den Spektralradius liefertdie Behauptung.(ii) Nach (i) ist σ(a) ⊆ . Da a −1 ebenfalls unitär ist, gilt auch σ a −1 ⊆ . Nun gilt aber (↗ Übung) für beliebigeinvertierbare Elemente in Banachalgebrenσ(a) −1 = σ a −1 ,woraus σ(a) ⊆ (und σ a −1 ⊆ ) folgt.17

(iii) Da selbstadjungierte Elemente normal sind, ist r(a) = ‖a‖. Zu zeigen ist, dass a − λe für alle λ ∈ \ mit|λ| ≤ ‖a‖ invertierbar ist. Wählen eine reelle Zahl µ mit 1 > ‖a‖. Dann ist e + iµa invertierbar, und wirµdefinierenu := (e − iµa)(e + iµa) −1 .Dieses Element ist unitär. Wegen (1 − iµλ)(1 + iµλ)−1 ≠ 1 ist nach (ii) das Element u−(1− iµλ)(1+ iµλ) −1 einvertierbar. Da aberist auch λe − a invertierbar.u − (1 − iµλ)(1 + iµλ) −1 e = (e − iµa)(e + iµa) −1 − (1 − iµλ)(1 + iµλ) −1 e=(1 + iµλ) −1 (1 + iµλ)(e − iµa) − (1 − iµλ)(e + iµa) (e + iµa) −1=(1 + iµλ) −1 2µi(λe − a) (e + iµa) −1 ,Satz 1.5.9. Sei A eine C ∗ -Algebra mit e und B symmetrische und abgeschlossene Unteralgebra von A mit e ∈ B. Dannist B invers abgeschlossen in A.Dies ist einer der Sätze, die das Arbeiten mit C ∗ -Algebren so angenehm machen. Will man die Invertierbarkeit einesElementes a ∈ A untersuchen, so genügt es, diese Invertierbarkeit in irgendeiner C ∗ -Unteralgebra von A, die e unda (und damit auch a ∗ ) enthält, zu untersuchen, z.B. in der kleinsten abgeschlossenen Unteralgebra von, A, welchee, a, a ∗ enthält.Beweis von Satz 1.5.9. Ist b ∈ B in A invertierbar, so ist auch b ∗ b in A invertierbar. Nach Satz 1.5.8(iii) ist σ B (b ∗ b) ⊆, und nach Folgerung 1.5.5 ist dann σ A (b ∗ b) = σ B (b ∗ b). Also ist b ∗ b auch in B invertierbar. Analog sieht man,dass auch bb ∗ in B invertierbar ist. Dann ist aber b in B invertierbar.Wir kommen noch einmal auf das Problem zurück wie sich das Spektrum σ B (a) eines Elementes a ∈ B in Abhängigkeitvon der Unteralgebra B ⊆ A verhält. Klar ist: je ”kleiner” B ist, desto größer wird σ B (a) werden, wobei wegen Satz1.5.4 sich σ A (a) und σ B (a) nur um beschränkte zusammenhängende Komponenten von \σ A (a) unterscheiden. Waspassiert, wenn man B minimal wählt?Sei A eine Banachalgebra mit Eins e und a ∈ A. Die kleinste Algebra, die a und das Einselement enthält, bestehtoffenbar aus allen Polynomen p(a), wobei für p(t) := α 0 +α 1 t +· · ·+α n t n definiert wird: p(a) = α 0 e +α 1 a +· · ·+α n a n .Die kleinste abgeschlossene Unteralgebra A(a) von A, welche a und e enthält, ist dann alsoOffenbar ist A(a) stets kommutativ.A(a) := clos p(a) : p Polynom .Definition 1.5.10. Allgemein nennt man eine Banachalgebra A mit Einselement e einfach erzeugt (singly generated),wenn es ein Element a in A gibt, so dass A = A(a).Insbesondere ist A(a) stets einfach erzeugt.Satz 1.5.11. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e und a ∈ A. Dann ist \ σ A(a) (a) zusammenhängend.σ A(a) (a) entsteht also aus σ A (a) durch Hinzunahme aller beschränkter zusammenhängender Komponenten von \σ A (a) (d.h. durch ”Ausfüllen aller Löcher in σ A (a)”). Sehen wir uns in diesem Lichte noch einmal die Diskalgebra an. Diese ist einfach erzeugt durch die Funktion χ 1 . Also ist \ σ (χ 1 ) zusammenhängend. Außerdem wissen wir,dass σ C() (χ 1 ) = χ 1 () = . Nach Satz 1.5.4 ist also σ (χ 1 ) gleich oder . Da \ σ (χ 1 ) zusammenhängend seinmuss, bleibt nurσ (χ 1 ) = .Beweis von Satz 1.5.11. Angenommen, die offene Menge \σ A (a) besitzt eine nichtleere beschränkte zusammenhängendeKomponente G. Sei z 0 ∈ G, und sei A 0 (a) die kleinste (nicht-abgeschlossene) Unteralgebra von A(a), welche eund a enthält. Weiter sei p ein Polynom. Dieses können wir als holomorphe Funktion auf ganz auffassen. Dann gilt p(z0 ) ≤ max p(z) : z ∈ ∂ G(Maximumprinzip)≤ max p(z) : z ∈ σA(a) (a) (da ∂ G ⊆ σ A(a) (a))= max |λ| : λ ∈ σ A(a) (p(a)) (Aufg: 3(b), 2. Übung)=r(p(a)) ≤ p(a) .18

Sei nun b ∈ A 0 (a). Dann gibt es ein Polynom p so, dass b = p(a). Dieses ist nicht unbedingt eindeutig bestimmt.Gibt es aber zwei Polynome p 1 , p 2 mit b = p 1 (a) = p 2 (a), so ist wegen der Abschätzung p(z0 ) ≤ p(a) auchp 1 (z 0 ) = p 2 (z 0 ). Wir können daher eine AbbildungW 0 : A 0 → , b → p(z 0 )definieren, wobei p irgendein Polynom mit p(a) = b ist. Offenbar ist W 0 ein Homomorphismus. Wegen W0 (b) = p(z0 ) ≤ p(a) = ‖b‖ ist dieser stetig und kann daher zu einem stetigen Homomorphismus W : A(a) → fortgesetztwerden. Für diesen giltNach Lemma 1.4.15 ist z 0 ∈ σ A(a) (a); ein Widerspruch.W (a) = W 0 (a) = p(z 0 ) = z 0 mit p(z) = z.Bemerkung 1.5.12. Durch Satz 1.5.11 wird das Spektrum der Erzeugerelemente in einfach erzeugten Banachalgebrenkomplett charakterisiert. Genauer:Sei K ⊆ kompakt, nicht leer, und \ K zusammenhängend. Dann gibt es eine einfach erzeugte Banachalgebra A mitEinselement und ein Erzeugerelement a ∈ A (d.h. A = A(a)) so, dass σ A(a) (a) = K.1.6 Maximale Ideale und RadikalDefinition 1.6.1. Ein linkes, rechtes oder zweiseitiges Ideal J einer Algebra A heißt echt, wenn es nicht mit ganz Aübereinstimmt. Ein echtes linkes, rechtes oder zweiseitiges Ideal J einer Algebra A heißt maximal, wenn es kein echteslinkes, rechtes bzw. zweiseitiges Ideal in A gibt, welches streng größer ist als J.Satz 1.6.2 (Krull’s Lemma). Jedes echte linke (rechte, zweiseitige) Ideal J einer Algebra A mit Einselement ist enthaltenin einem maximalen linken (rechten, zweiseitigen) Ideal von A.Beweis. Sei J echtes Linksideal von A, und Λ sei die Menge aller echten Linksideale von A, welche J enthalten. DieseMenge ist bzgl. ⊆ partiell geordnet, das heißt:• A ⊆ B, B ⊆ C ⇒ A ⊆ C• A ⊆ A• A ⊆ B, B ⊆ A ⇒ A = Bund Λ ≠ (da J ∈ Λ).Weiter sei Λ ′ ⊆ Λ eine linear geordnete Teilmenge, das heißt:A, B ∈ Λ ′ ⇒ A ⊆ B oder B ⊆ A.Dann ist J ′ := ⋃K wieder ein Linksideal von A, welches J enthält, und J ′ ist ein echtes Ideal, da e nicht in J ′ liegt.K∈Λ ′Also ist J ′ ∈ Λ.Nach dem Zornschen Lemma enthält dann Λ ein maximales Element J max (d.h. J max enthält jedes mit J max vergleichbareIdeal). J max ist offenbar ein maximales Linksideal, welches J enthält.Nach diesem rein algebraischen Resultat gehen wir über zur Betrachtung maximaler Ideale in Banachalgebren.Satz 1.6.3. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e, und sei J ein echtes linkes (rechtes, zweiseitiges) Ideal von A. Dannist die Abschließung von J ebenfalls ein echtes linkes (rechtes, zweiseitiges) Ideal von A.Beweis. Sei J ein echtes Linksideal. Dann ist offenbar clos J ebenfalls ein Linksideal, und wir müssen zeigen, dass clos Jein echtes Ideal ist. Dazu betrachten wir die Menge B := {e − k : ‖k‖ < 1}. Diese ist offen und enthält nur invertierbareElemente (Neumann-Reihe). Keines der Elemente von B kann also in J liegen. B liegt also im Komplement von J, undda B offen ist, liegt B auch im Komplement von clos J. Also ist clos J ≠ A.Folgerung 1.6.4. Maximale linke (rechte, zweiseitige) Ideale unitaler Banachalgebren sind abgeschlossen.Definition 1.6.5. Sei A eine Algebra mit Eins. Unter dem Radikal von A (Bezeichnung: Rad A) versteht man denDurchschnitt aller maximalen Linksideale von A. Die Algebra A heißt halbeinfach, wenn Rad A = {0}.19

Offenbar ist Rad A wieder ein Linkideal von A. Der folgende Satz liefert äquivalente Beschreibungen von Rad A undzeigt, warum Rad A z.B. im Zusammenhang mit Invertierbarkeitsproblemen von Interesse ist.Satz 1.6.6. Sei A eine Algebra mit Eins e. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für ein Element r ∈ A:(i) r ∈ Rad A(ii) e − ar ist von links invertierbar für jedes a ∈ A(iii) e − ar b ist invertierbar für alle a, b ∈ A(iv) e − r b ist von rechts invertierbar für jedes b ∈ A(v) r liegt im Durchschnitt der maximalen Rechtsideale von A.Beweis.(i) ⇒ (ii): Sei r ∈ Rad A. Angenommen, es gibt ein a ∈ A so, dass e − ar nicht von links invertierbar ist. Dann istA(e−ar) ein echtes (da e nicht enthalten ist) Linksideal von A, und nach dem Lemma von Krull ist A(e−ar) ineinem maximalen Linksideal J von A enthalten. Wegen e ∈ A ist insbesondere e − ar ∈ J. Außerdem ist ar ∈ J,da r ∈ Rad A. Folglich muss auch e ∈ J sein, woraus J = A folgen würde.(ii) ⇒ (i): Sei e − ar von links invertierbar für alle a ∈ A. Angenommen, r ∉ Rad A. Dann gibt es ein maximalesLinksideal J von A, welches r nicht enthält. Die Menge := {l + ar : l ∈ J, a ∈ A} ist dann ein Linksideal vonA, welches J echt enthält (da r ∈ \ J). Da J maximal ist, muss = A sein. Es gibt also Elemente l ∈ J, a ∈ Aso, dass l + ar = e. Hieraus folgt, dass l = e − ar von links invertierbar ist. Dies widerspricht schließlich derTatsache, dass l im echten Linksideal J liegt.(ii) ⇒ (iii): Sei r ∈ Rad A, a ∈ A. dann ist e − ar von links invertierbar, und wir zeigen zuerst, dass dieses Elementauch von rechts (und damit im üblichen Sinn) invertierbar ist. Sei e + b eine Linksinverse von e − ar:(e + b)(e − ar) = e bzw. b = ar + bar. (1.6.24)Da r ∈ Rad A und Rad A ein Linksideal ist, ist auch b ∈ Rad A. Insbesondere ist e + b = e − (−e)b von linksinvertierbar, während aus (1.6.24) die Invertierbarkeit von e + b von rechts folgt. Also ist e + b (zweiseitig)invertierbar, und wieder wegen (1.6.24) folgt die zweiseitige Invertierbarkeit von e − ar. Nunmehr ist klar, dassfür beliebige a, b ∈ A das Element e− bar invertierbar ist. Aus Aufgabe 2 der 2. Übung folgt die Invertierbarkeitvon e − ar b.Die Implikation (iii) ⇒ (ii) ist offensichtlich. Die restlichen Implikationen folgen auf Grund der Links-Rechts-Symmetrievon (iii) wie zuvor.Folgerung 1.6.7.(i) Das Radikal einer Algebra mit Eins ist ein zweiseitiges Ideal dieser Algebra.(ii) Das Radikal einer Banachalgebra mit Eins ist ein abgeschlossenes Ideal dieser Algebra.Folgerung 1.6.8. Sei A eine Banachalgebra mit Eins und r ∈ Rad A. Dann ist σ(r) = {0}.Man beachte, dass die Umkehrung dieser Aussage i.a. nicht gilt. Sie gilt jedoch in kommutativen Banachalgebren (vgl.Übung 3, Aufgabe 3, und machen Sie sich klar, dass die dort gegebene Definition des Radikals im Falle kommutativerBanachalgebren mit der hier formulierten allgemeinen Definition übereinstimmen).Im Falle von C ∗ -Algebren wird die Situation wieder besonders einfach.Satz 1.6.9. C ∗ -Algebren mit Einselement sind halbeinfach.Beweis. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins e, und sei r ∈ Rad A. Dann ist nach Satz 1.6.6(iii) e − 1 λ r∗ r für alle λ ≠ 0invertierbar, d.h. λe − r ∗ r ist für alle λ ≠ 0 invertierbar. Dies heißt aber, dass der Spektralradius von r ∗ r gleich 0 ist.Da das Element r ∗ r selbstadjungiert ist, ist nach Satz 1.4.13 auch ‖r ∗ r‖ = 0. Das C ∗ -Axiom liefert nun ‖r‖ = 0, d.h.r = 0.20

2 Die Gelfandsche DarstellungstheorieIn diesem Abschnitt werden wir einen besonders schönen und nützlichen Teil der Spektraltheorie kennenlernen. Wirhaben schon mehrfach die Algebra C(X ) der stetigen Funktion auf einem kompakten Hausdorff-Raum als Beispielbetrachtet. Eines der Hauptergebnisse dieses Abschnittes wird sein, dass jede kommutative C ∗ -Algebra mit Eins zueiner Algebra der Gestalt C(X ) isometrisch isomorph ist.2.1 Kommutative BanachalgebrenDie Grundidee der Gelfandschen Darstellungstheorie für kommutative Banachalgebren ist die folgende. Sei X Banachraumund X ′ sei dualer Raum. Jedem Element x ∈ X ordnen wir auf natürliche Weise eine Funktion x auf derEinheitskugel B(X ′ ) := { f ∈ X ′ : f ≤ 1} zu:x : B(X ′ ) → , f → f (x) (2.1.1)Aus Hahn-Banach folgt für jedes x ∈ X die Existenz eines f ∈ B(X ′ ) mit f (x) = ‖x‖. Daher ist‖x‖ ∞ := sup{ f (x) : f ∈ B(X ′ )} = ‖x‖ (2.1.2)Wir versehen nun B X ′ mit der schwächsten Topologie, welche alle Funktionen (2.1.1) mit x ∈ X stetig macht. Dies istdie sogenannte ∗ -schwache Topologie, und aus dem Satz von Alaoglu weiß man, dass B(X ′ ) bezüglich dieser Topologieein kompakter Hausdorff-Raum ist. Wegen (2.1.2) wird also durchX → C(B(X ′ ))x → xeine isometrische Einbettung des Banachraumes X in die Algebra C(B(X ′ )) der (bzgl. der ∗ -schwachen Topologie)stetigen komplexwertigen Funktionen auf B(X ′ ) gegeben.Einschub zur ∗ -schwachen TopologieEine Umgebungsbasis für f ∈ B(X ′ ) bzgl. der ∗ -schwachen Topologie wird durch die MengenU x1 ,...x k ,ɛ(f ) := {g ∈ B(X ′ ) : |g(x i ) − f (x i )| < ɛ für alle i = 1, ..., k}mit k ∈ , x 1 , ..., x k ∈ X und ɛ > 0 geliefert. Diese Topologie ist Hausdorffsch:Sind f , g ∈ B(X ′ ) mit f ≠ g, so gibt es ein x mit f (x) ≠ g(x). Für ɛ := 1 3 f (x) − g(x) sind die MengenU x,ɛ (f ) := {h ∈ B(X ′ ) : f (x) − h(x) < ɛ} und Ux,ɛ (g) := {h ∈ B(X ′ ) : g(x) − h(x) < ɛ}offen und disjunkt. Eine weitere äquivalente Beschreibung der ∗ -schwachen Topologie ist die Folgende:Ein Net (f t ) t∈T konvergiert genau dann ∗ -schwach gegen f ∈ B(X ′ ), wenn f t (x) → f (x) für alle x ∈ XIst nun der Banachraum X sogar eine Banachalgebra A, so hätte man gern eine homomorphe Einbettung von A alseine Unteralgebra von C(B(X ′ )). Den Elementen a, b und ab von A entsprechen die Funktionena : f → f (a) b : f → f (b) ab : f → f (ab)Um den gewünschten Einbettungshomomorphismus zu bekommen, muss wenigstensa b = ab bzw. f (ab) = f (a)f (b) für alle a, b, ∈ Asein. Wir sollten also nicht mehr alle Elemente aus B(A ′ ) betrachten, sondern nur die Homomorphismen von Anach . Die erweist sich in der Regel jedoch als wenig hilfreich. Z.B. gibt es im Fall N > 1 für die Algebra N×Nnur einen Homomorphismus N×N → , die Nullabbildung. Für A ∈ N×N ist also A eine Funktion, die auf einereinelementigen Menge definiert und dort 0 ist. Wir werden aber sehen, dass kommutative Banachalgebren stets (ineinem gewissen Sinn) hinreichend viele Homomorphismen in besitzen. Nach diesen Vorüberlegungen beginnen wirmit einer genaueren Betrachtung kommutativer Banachalgebren.21

Definition 2.1.1 (Charakter). Sei A eine Banachalgebra. Ein Charakter von A ist ein nichttrivialer Homomorphismusvon A in . Die Menge aller Charakter von A bezeichnen wir mit M(A) und versehen diese Menge mit der ∗ -schwachenTopologieMan beachte, dass M(A) = sein kann.Satz 2.1.2.(i) Sei A eine Banachalgebra mit Einselement. Dann ist M(A) kompakt und die Abbildung G : A → C(M(A)), x → xmit x(f ) = f (x) ist ein kontraktiver Homomorphismus.(ii) Ist A eine Banachalgebra ohne Einselement, so ist M(A) lokalkompakt und G : A → C 0 (M(A)), x → x ist einkontraktiver HomomorphismusBeweis.(i) Aus Satz 1.4.17 wissen wir, dassM(A) ⊆ B(A ′ ) := { f ∈ A ′ : f ≤ 1}Da B(A ′ ) nach Alaoglu kompakt ist, haben wir für die Kompaktheit von M(A) nur die Abgeschlossenheit vonM(A) in B(A ′ ) zu zeigen. Seien dazu a, b ∈ A. Dann ist die MengeM a,b := { f ∈ B(A ′ ) : f (ab) = f (a)f (b)} = {f ∈ B(A ′ ) : ab(f ) = a(f ) b(f )}abgeschlossen in B(A ′ ), da a, b und ab dort stetige Funktionen sind. Aus dem gleichen Grund ist auchabgeschlossen. Damit ist aber auchM e := {f ∈ B(A ′ ) : f (e) = e(f ) = 1}M(A) :=⋂(a,b)∈A×AM a,b ∩ M eabgeschlossen und mithin kompakt. Der Rest der Behauptung folgt ausfür alle a ∈ A (vgl. (2.1.2)).‖a‖ ∞ = sup{ a(f ) : f ∈ M(A)} ≤ sup{ a(f ) : f ∈ B(A ′ )} = ‖a‖(ii) Hat A kein Einselement, so definieren wir à := A × wie in Satz 1.3.2. Jeder Homomorphismus f : A → lässt sich eindeutig zu einem unitalen Homomorphismus ˜f : à → fortsetzen, indem man ˜f (a, λ) := f (a) + λsetzt (Nachrechnen!). Der einzige Charakter von Ã, für den die Einschränkung auf A trivial ist, ist geradeϕ : à → , (a, λ) → λ. Wir haben daher M(Ã) = M(A) ∪ {ϕ}. Wegena(f ) + λ f ∈ M(A)(a, λ)(f ) =λ f = ϕstimmt die ∗ -schwache Topologie bzgl. A auf M(A) mit der Teilraumtopologie bzgl. M(Ã) überein. M(A) istdaher ein lokalkompakter Raum.Die nächsten Schritte bereiten wir vor, indem wir einen Zusammenhang herstellen zwischen maximalen Idealen undden Kernen von Charakteren.Lemma 2.1.3. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Eins. Dann ist der Kern jedes Charakters von A ein maximalesIdeal von A. Umgekehrt ist für jedes maximale Ideal J von A gerade A/J ≅ , d.h. J ist Kern eines Charaktersvon A.Beweis. Sei f ∈ M(A). Dann ist wegen A/ ker f ≅ Im f = die Kodimension des Unterraumes ker f von A gleich 1.Es kann also kein Ideal geben, welches echt zwischen ker f und A liegt.Sei umgekehrt J ein maximales Ideal von A. Dann ist A/J eine kommutative Banachalgebra mit Einselement. Wirzeigen, dass A/J sogar ein Körper ist. Sei a /∈ J. Dann ist die Menge A · a + J ein Ideal in A, welches J umfaßt,aber echt größer ist als J. Da J maximal ist, folgt A · a + J = A. Dann gibt es aber Elemente b ∈ A, j ∈ J so, dassab + j = e. Folglich ist a + J in A/J invertierbar, d.h. A/J ist ein Körper. Nach dem Satz von Gelfand-Mazur 1.4.14ist A/J ≅ . Ist π der kanonische Homomorphismus von A auf A/J und ξ ein Isomorphismus von A/J auf , so istξ ◦ π ein Charakter von A, dessen Kern J ist.22

Schreibweise 2.1.4. Man nennt M(A) für kommutative Banachalgebren daher auch den Raum der maximalen Ideale.Weiter nennen wir für x ∈ A die Funktion x ∈ C(M(A)) die Gelfandtransformierte von x, und die AbbildungG : A → C(M(A)),x → xdie Gelfandtransformation auf A. Wir formulieren nun eine der zentralen Aussagen der Gelfandtheorie.Satz 2.1.5. Sei A eine kommutative Banachalgebra mit Einselement. Dann ist M(A) nicht leer. Für jedes a ∈ A ista(M(A)) = σ(a) und ‖a‖ ∞ = r(a),und die Gelfandtransformation G : A → C(M(A)) ist ein kontraktiver Homomorphismus. Der Kern von G ist dasRadikal von A. Insbesondere ist G genau dann injektiv, wenn A halbeinfach ist.Beweis. M(A) ist nicht leer. Die Algebra A besitzt nämlich wenigstens ein echtes Ideal (z.B.{0}). Dieses ist nach demKrull’schen Lemma (Satz 1.6.2) in einem maximalen Ideal enthalten. Dieses maximale Ideal ist wegen Lemma 2.1.3der Kern eines Charakters von A.Wir zeigen als nächstes, dass a(M(A)) = σ(a). Sei zunächst λ ∈ σ(a). Dann ist a − λe nicht invertierbar, undA(a − λe) ist ein echtes Ideal von A, da es das Einselement nicht enthält. Aus dem Krull’schen Lemma wissen wir,dass A(a − λe) in einem maximalen Ideal von A enthalten ist, welches Kern eines Charakters f von A ist. Da A einEinselement besitzt, liegt a − λe im Ideal A(a − λe) und folglich im Kern von f . Es ist also 0 = f (a − λe) = f (a) − λund daher λ = f (a) = a(f ) ∈ a(M(A)).Sei umgekehrt λ ∈ a(M(A)), d.h. λ = f (a) für ein f ∈ M(A). Dann kann a − λe nicht invertierbar sein: gäbe es einInverses b zu a−λe, so würde die Anwendung von f auf die Gleichung (a−λe)b = e gerade f (a−λe) ≠ 0 bzw. f (a) ≠ λliefern, ein Widerspruch. Also ist λ ∈ σ(a). Hieraus folgt a(M(A)) = σ(a), und die Beziehung ‖a‖ ∞ = r(a) ist eineoffensichtliche Konsequenz hieraus. Insbesondere ist ‖a‖ ∞ ≤ ‖a‖, d.h. die Gelfandtransformation ist eine Kontraktion.Schließlich sind die folgenden Aussagen äquivalent• a ∈ ker G• f (a) = 0 für alle f ∈ M(A)• a liegt in jedem maximalen Ideal von A• a ∈ Rad ABemerkung 2.1.6. Die Aussage M(A) ≠ gilt i.a. nicht mehr, wenn A eine kommutative Banachalgebra ohne Einselementist. Ein einfaches Beispiel ist die Unteralgebra 2×2 , welche aus allen Matrizen der Gestalt mit α ∈ 0 α0 0besteht (↗ Übung). Unter der Annahme M(A) ≠ kann man jedoch auch im nicht-unitalen Fall ein zu Satz 2.1.5analoges Resultat beweisen. Zunächst definieren wir für jede kommutative Banachalgebra A ohne Einselement undfür jedes a ∈ A :σ A (a) := σÃ(a),wobei à die in Abschnitt 1.3 diskutierte Erweiterung von A zu einer Banachalgebra mit Eins ist. Wir haben bereitsim Beweis von Satz 2.1.2 bemerkt, dass M(Ã) = M(A) ∪ {ϕ} mit ϕ : à → , (a, λ) → λ ist. Folglich istσ A (a) = σÃ(a) = a(M(Ã)) = a(M(A)) ∪ {0}und‖a‖ ∞ :=sup a(f ) = r(a)f ∈M(A)Bemerkung 2.1.7. Aus Satz 2.1.5 folgt, dass für jede kommutative Banachalgebra mit Eins die Abbildung a → r(a)eine semimultiplikative Halbnorm ist und sogar eine Norm, falls die Algebra halbeinfach ist.23

Beispiel 2.1.8. Sei X kompakter Hausdorff-Raum und A = C(X ). Wir kennen bereits die abgeschlossenen Ideale vonC(X ) (Satz 1.2.7). Sie sind alle von der Gestalt {f ∈ C(X ) : f |K = 0} mit einer kompakten Menge K ⊆ X . Da sich dieseIdeale vergrößern, wenn K kleiner wird, sind die maximalen Ideale von C(X ) gerade durch die einelementigen Mengen{x}, x ∈ X , gegeben. Für jedes x ∈ X ist also {f ∈ C(X ) : f (x) = 0} ein maximales Ideal, und jedes maximale Idealist von dieser Gestalt. Mit Lemma 2.1.3 folgt hieraus: Für jedes x ∈ X ist die Punktauswertung σ x (f ) := f (x) einCharakter von C(X ), und jeder Charakter ist von dieser Gestalt. Wir haben also eine BijektionX → M(C(X )), x → σ x (2.1.3)zwischen den Mengen X und M(C(X )), und wir überlegen uns noch, dass (2.1.3) sogar ein Homöomorphismus zwischenden topologischen Räumen X und M(C(X )) ist. Aus der Definition der Topologie auf M(C(X )) folgt, dass die Abbildung(2.1.3) stetig ist, denn alle Abbildungen x → f (σ x ) = f (x) sind auf X (per Definition) stetig. Außerdem ist - wiebereits bemerkt - (2.1.3) eine Bijektion und X kompakt und somit (2.1.3) ein Homöomorphismus. Halten wir fest:Satz 2.1.9. Sei X Hausdorffscher Kompakt und A = C(X ). Dann ist M(C(X )) homöomorph zu X , und ein Homöomorphismusvon X auf M(C(X )) ist durch x → σ x gegeben.Wenn wir also M(C(X )) und X identifizieren, so ist die Gelfandtransformation G : C(X ) → C(X ) gerade die identischeAbbildung.Beispiel 2.1.10. Hier bestimmen wir den Raum der maximalen Ideale der Disk-Algebra aus Abschnitt 1.5. Wir wissennoch, dass ⊆ C(). Für jedes z ∈ wird durch σ z : → , f → f (z) ein Charakter von definiert. Außerdemwissen wir aus Lemma 1.5.2, dass sich für jedes w ∈ das durch σ w : P + → , p → p(w) definierte Funktional stetigzu einem Charakter von fortsetzen lässt, den wir wieder mit σ w bezeichnen. Wir zeigenSatz 2.1.11. Die Abbildungϕ : → M(), z → σ z (2.1.4)ist ein Homöomorphismus von auf M().Beweis. Nach obigen Bemerkungen ist ϕ korrekt definiert. Sind z 1 , z 2 ∈ Punkte mit ϕ(z 1 ) = ϕ(z 2 ), so istz 1 = σ z1 (χ 1 ) = σ z2 (χ 1 ) = z 2 ,d.h. ϕ ist injektiv. Wir zeigen nun, dass ϕ auch surjektiv ist. Sei f ∈ M() und z := f (χ 1 ). Wegen f = 1 ist |z| ≤ 1,d.h. z ∈ . Die Identität N∑ N∑N∑f a n χ n = a n f (χ 1 ) n =a n χ nn=0n=0n=0a n z n = σ z N∑n=0zeigt dann, dass f und σ z auf der dichten Teilmenge P + von übereinstimmen. Da f und σ z auf stetig sind,stimmen sie auf ganz überein, d.h. ϕ ist surjektiv.Da kompakt ist und ϕ eine Bijektion, genügt es für die Homöomorphie von ϕ zu zeigen, dass ϕ stetig ist. Da ein metrischer Raum ist, reicht es Folgen zu betrachten. Sei (z n ) n∈ eine Folge in mit lim n→∞ z n = z ∈ . Für jedesanalytische trigonometrische Polynom gilt dann N∑ N∑N∑N∑lim σ zn→∞ na k χ k = lim a k z kn→∞ n = a k z k = σ z a k χ kk=0k=0 k=0 k=0Da P + in dicht liegt und sup n∈ σzn = 1 ist, folgtlim σ zn→∞ n(f ) = σ z (f )für alle f ∈ d.h. die Folge (σ zn ) n∈ konvergiert ∗-schwach gegen σ z . Das ist aber die Stetigkeit von ϕ.Im Weiteren werden wir M() mit vermöge der Abbildung (2.1.4) identifizieren. Für jedes Polynom p ∈ P + istdann die Gelfand-Transformierte p analytisch auf und stetig auf . Nach dem Maximumprinzip gilt also p(z) = sup p(z) = sup p(z) ,z∈∂ ()z∈Tsupz∈d.h. ‖a‖ ∞ = ‖a‖ ∞ für alle a ∈ P + und folglich für alle a ∈ . In diesem Fall ist die Gelfandtransformation G : →C(M()) = C() also eine Isometrie, jedoch nicht surjektiv.24

Beispiel 2.1.12. Wir betrachten nun eine Algebra, für die die Gelfandtransformation nicht surjektiv ist: Die bereits inAbschnitt 1.1 eingeführte Algebra l 1 () mit der Faltung als Multiplikation.Für jedes z ∈ definieren wir eine Abbildungϕ z : l 1 () → ,∑f →n∈f (n)z n (2.1.5)Man macht sich sofort klar, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und einen Charakter von l 1 () liefert.Satz 2.1.13. Die Abbildungψ : → M(l 1 ()), z → ϕ z (2.1.6)ist ein Homöomorphismus von auf M(l 1 ()).Beweis. Seien z 1 , z 2 ∈ und ϕ z1 = ϕ z2 . Dann istwobei wir im weiteren mit e n (n ∈ ) die Funktionz 1 = ϕ z1 (e 1 ) = ϕ z2 (e 1 ) = z 2 ,e n (m) =1 f alls m = n0 f alls m ≠ nbezeichnen. Die Abbildung ψ ist also injektiv, und wir zeigen als nächstes die Surjektivität. Sei ϕ ∈ M(l 1 ()) undz := ϕ(e 1 ). Dann ist1 = e1 ≥ ϕ(e1 ) 1= |z| = z−1 = 1 ϕ(e−1 ) ≥ 1 = 1, e−1 d.h. |z| = 1 bzw. z ∈ . Weiter folgt ausϕ(e n ) = (ϕ(e 1 )) n = z n = ϕ z (e n ),für n ∈ dass die Charaktere ϕ und ϕ z auf einer in l 1 () dichten Teilmenge und folglich auf ganz l 1 () übereinstimmen. Esist also ϕ = ϕ z , d.h. ψ ist surjektiv.Wie in den vorangegangen Beispielen ist nun noch die Stetigkeit von ψ zu zeigen.Wieder reicht es, Folgen zu betrachten. Sei (z n ) n∈ eine Folge in mit lim n→∞ z n = z ∈ . Dann ist für jedes f ∈ l 1 () : ϕzn (f ) − ϕ z (f ) ∑≤|m|≤N f (m) z mn − zm +∑|m|>N≤ f l 1 max∑() zmn − zm + 2|m|≤NZu vorgegebenem ɛ > 0 wählen wir nun N so, dass ∑ |m|>Nsup zmn − zm N f (m) f (m) n 0Für alle n > n 0 ist dann ϕzn (f ) − ϕ z (f ) < ɛ, d.h. limn→∞ ϕ zn (f ) = ϕ z (f ). Dies gilt für jedes f ∈ l 1 (); also ist ψstetig.Wir identifizieren im weiteren wieder M(l 1 ()) und unter der Abbildung (2.1.6). Dann können wir die Gelfandtransformationfür l 1 () auffassen als Abbildung von l 1 () in C(), die jeder Funktion f ∈ l 1 () die durch(G f )(z) :=∞∑n=−∞f (n)z ndefinierte Funktion G f auf zuordnet (die Reihe konvergiert absolut). Umgekehrt kann man die Werte der Funktionf auf aus denen der Funktion G f auf ”zurückbestimmen”, da erstere gerade mit den Fourierkoeffizienten von G fübereinstimmen. Genauer gilt für jedes f ∈ l 1 () und n ∈ 25

12π∫ 2π0(G f ) e it e −int d t = 12π= 12π∫ 2π0∞∑m=−∞∞∑m=−∞f (m)f (m)e i(m−n)t d t∫ 2π0e i(m−n)t d t = f (n),wobei die Vertauschung von Integration und Summation wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe gerechtfertigtist. Dies zeigt insbesondere, dass eine Funktion ϕ ∈ C() genau dann im Bild der Gelfandtransformation von l 1 ()liegt, wenn die Folge ihrer Fourierkoeffizienten absolut konvergiert, d.h. wenn∞∑n=−∞1 2π∫ 2π0ϕ(e it )e −i·nt < ∞Nun besitzt aber nicht jede stetige Funktion eine absolut konvergente Fourierreihe. Das folgende Resultat, welchesauf Wiener zurückgeht, ist daher keineswegs offensichtlich:Satz 2.1.14. Die Funktion ϕ ∈ C() besitze eine absolut konvergente Fourierreihe, und es sei außerdem ϕ(t) ≠ 0 füralle t ∈ . Dann besitzt auch 1 eine absolut konvergente Fourierreihe.ϕDer Wiener’sche Beweis für diesen Satz ist höchst technisch und aufwendig. Es war einer der ersten Triumphe derGelfandschen Darstellungstheorie, für Satz 2.1.14 einen eleganten und durchsichtigen Beweis zu liefern, den wir unsnun ansehen.Beweis des Satzes von Wiener nach Gelfand. Nach Voraussetzung gibt es eine Funktion f ∈ l 1 () mit G f = ϕ. Wegen = M(l 1 ()) impliziert die Voraussetzung ϕ(t) ≠ 0 für alle t ∈ , dass f invertierbar in l 1 () ist (Satz 2.1.5). Seig := f −1 ∈ l 1 (). Dann ist1 = Ge 0 = G(g ∗ f ) = G(g) · G(f ) = G(g) · ϕ bzw.1ϕ = G(g)Folglich besitzt 1 ϕeine absolut konvergente Fourierreihe.Wir vermerken noch, dass sich analoge Resultate auch im ”kontinuierlichen Fall”, d.h. für die Algebra L 1 (), ableitenlassen. Genauer: für jedes t ∈ wird durchϕ t (f ) :=∫ ∞−∞f (x)e ix t d xein Charakter von L 1 () definiert, und umgekehrt ist jeder Charakter von L 1 () von dieser Gestalt mit einem gewissent ∈ . Hieraus lässt sich ableiten, dass der Raum der maximalen Ideale von L 1 () homöomorph zu ist und dass dieGelfandtransformation von L 1 () nichts anderes als die bekannte Fouriertransformation ist:(G f )(t) =∫ ∞−∞f (x)e it x d xBekanntlich bildet die Fouriertransformation L 1 () in C 0 () ab, was die Tatsache widerspiegelt, dass L 1 () kein Einselementbesitzt. Als Ergänzung überlegen wir uns, wie man den Raum der maximalen Ideale einer einfach erzeugtenBanachalgebra beschreiben kannSatz 2.1.15. Sei A eine einfach erzeugte Banachalgebra mit Eins, und a sei ein Erzeuger von A. Dann ist die Abbildungein Homöomorphismus von M(A) auf σ(a).T : M(A) → σ(a), f → f (a)26

Beweis. Aus Satz 2.1.5 wissen wir, dass die Abbildung T korrekt definiert sowie surjektiv ist. Nach der Definition der∗ -schwachen Topologie auf M(A) ist auch die Stetigkeit von T sofort klar. Ist (f t ) ⊆ M(A) ein Netz, welches gegenf ∈ M(A) ∗ -schwach konvergiert, so konvergiert natürlich (T f t ) = (f t (a)) gegen f (a) = T(f ).Für den Beweis der Injektivität von T seien f 1 , f 2 ∈ M(A) mit T(f 1 ) = T(f 2 ). Dann ist f 1 (a) = f 2 (a), und da f 1 , f 2Charaktere sind, folgtf 1 (p(a)) = f 2 (p(a)) für jedes Polynom p.Da die Polynome p(a) dicht in A liegen und f 1 , f 2 stetig sind, stimmen f 1 und f 2 auf ganz A überein, d.h. es istf 1 = f 2 . Die Behauptung folgt nun wie in den vorausgegangenen Sätzen.Identifiziert man M(A) mit σ(a) vermöge der Abbildung T, so überführt die Gelfandtransformation das Element agerade in die identische Abbildung auf σ(a).Der Satz 2.1.15 liefert auch einen alternativen Zugang zu den Resultaten aus Beispiel 2.1.10 (beachte, dass singlygenerated und χ 1 ein Erzeuger ist).Abschließend zeigen wir ein weiteres Resultat über ”automatische Stetigkeit”.Satz 2.1.16. A und B seien kommutative Banachalgebren mit Eins, B sei darüber hinaus halbeinfach, und W : A → Bsei ein unitaler Homomorphismus. Dann ist W stetig.Im Spezialfall B = ist das gerade die Aussage von Satz 1.4.17.Beweis. Sei a n → a in A und W (a n ) → b in B. Wir zeigen, dass b = W (a). Dann folgt die Behauptung aus dem Satzvom abgeschlossenen Graphen.Sei f ∈ M(B) beliebig gewählt. Dann ist g := f ◦ W ein Charakter von A, und nach Satz 1.4.17 sind f und g stetig.Daher istf (b) = lim f (W (a n )) = lim g(a n ) = g(a) = f (W (a)).Da diese Beziehung für jedes f ∈ M(B) gilt, muss b − W (a) im Radikal von B liegen, welches nach Voraussetzungnur aus der 0 besteht. Also ist in der Tat b = W (a).Folgerung 2.1.17. Jeder Isomorphismus zwischen halbeinfachen kommutativen Banachalgebren mit Eins ist ein Homöomorphismus.2.2 Kommutative C ∗ -AlgebrenWir kommen nun zur bereits mehrfach angekündigten Beschreibung kommutativer C ∗ -Algebren.Satz 2.2.1 (Gelfand, 1941). Sei A eine kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement. Dann ist die Gelfandtransformationein isometrischer ∗ -Isomorphismus von A auf C(M(A)), es gilt also insbesondere‖ a‖ ∞ = ‖a‖ ∞ und (a ∗ ) = a für alle a ∈ A.Für den Beweis der Surjektivität benötigen wir eine Verallgemeinerung des klasssischen Weierstraßschen Resultates,dass sich jede stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren lässt.Dazu nennen wir eine Teilmenge A von C(X ) symmetrisch, wenn für jedes f ∈ A auch die konjugiert komplexeFunktion f in A liegt, und wir sagen, dass A die Punkte von X trennt, wenn es für beliebige Punkte x, y ∈ X ein f ∈ Amit f (x) ≠ f (y) gibt.Satz 2.2.2 (Stone/Weierstraß). Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum, und A sei eine abgeschlossene und symmetrischeUnteralgebra von C(X ), welche die Punkte von X trennt und die konstante Funktion x → 1 enthält. Dann ist A = C(X ).Beweis. Wir bezeichnen mit A r die Menge der reellwertigen Funktionen aus A und definieren C r (X ) analog. Manmacht sich leicht klar, dass A r eine abgeschlossene Unteralgebra von C r (X ) ist, welche ebenfalls die Punkte von Xtrennt und die Einsfunktion enthält. Wir zeigen A r = C r (X ), woraus die Behauptung folgt. Ist nämlich f ∈ C(X ) sosind Re f := 1 (f + f ) und Im f := 1 (f − f ) reellwertige Funktionen aus C(X ), also in C 2 2i r(X ). Aus A r = C r (X ) folgtdann Re f , Im f ∈ A r , und hieraus schließlich f = Re f + i Im f ∈ A.Im ersten Schritt zeigen wir, dass aus f ∈ A r auch f ∈ Ar folgt. Dazu erinnern wir daran, dass die Reihe ∞∑1a n t n mit a n = (−1) n 2nn=027

auf [0, 1 − δ] mit δ > 0 gleichmäßig gegen die Funktion h(t) = 1 − t konvergiert. (Diese Reihe konvergiert sogargleichmäßig auf [−1, 1], was wir hier nicht benötigen.) Sei nun f ∈ A r und f ∞≤ 1 (dies zusätzliche Voraussetzungist keine wesentliche Einschränkung). Für jedes δ ∈ (0, 1] sei g δ := δ + (1 − δ)f 2 . Dann ist sicher 0 ≤ 1 − g δ ≤ 1 − δ.Wir fixieren nun ein δ und setzen k N := ∑ Nn=0 a n(1 − g δ ) n . Dann liegt k N in A r , und wegen g δ = h(1 − g δ ) ist kN − g ∞ N∑δ = supax∈X n (1 − g δ (x)) n − h(1 − g δ (x))n=0N∑≤ supa n t n − h(t)→ 0 für N → ∞.t∈[0,1−δ]n=0Da A r abgeschlossen ist, muss also g δ in A r liegen. Nun ist die Wurzelfunktion gleichmäßig stetig auf [0, 1], und dadie Funktionen g δ für δ ↘ 0 offenbar gleichmäßig gegen f 2 streben, hat manlim f − gδ∞ = 0.δ↘0Da die Funktionen g δ in A r liegen und A r abgeschlossen ist, folgt f ∈ Ar .Im nächsten Schritt zeigen wir, dass mit zwei Funktionen f und g aus A r auch die Funktionen max{f , g} und min{ f , g}in A r liegen. Dies folgt sofort aus dem soeben Bewiesenen und aus den Indentitätenmax{f , g} = 1 2 (f + g + f − g ), min{ f , g} =12 (f + g − f − g )die man leicht punktweise nachrechnet.Schließlich überlegen wir uns, dass es für beliebige verschiedene Punkte x, y ∈ X und Zahlen a, b ∈ stets eineFunktion g ∈ A r mit g(x) = a und g(y) = b gibt. In der Tat, da A r die Punkte trennt, gibt es ein f ∈ A r mitf (x) ≠ f (y). Dann leistet die Funktionf (z) − f (x)g(z) := a + (b − a)f (y) − f (x)das Gewünschte.Nach diesen Vorüberlegungen nun zum eigentlichen Beweis. Es sei f ∈ C r (X ) und ɛ > 0. Wir fixieren ein x 0 ∈ X . Fürjedes x ∈ X finden wir ein g x ∈ A r so, dass g x (x 0 ) = f (x 0 ) und g x (x) = f (x). Da f , g x stetig sind, finden wir eineoffene Umgebung U x von x so, dassg x (y) ≤ f (y) + ɛ für alle y ∈ U x .Die offenen Mengen {U x } x∈X überdecken X . Da X kompakt ist, lässt sich aus ihnen eine endliche Überdeckung von Xauswählen, etwa X = U x1 ∪ · · · ∪ U xn .Seih x0 := min{g x1 , g x2 , . . . , g xn }.Dann liegt h x0 in A r , und es ist h x0 (y) ≤ f (y) + ɛ für alle y ∈ X . Wir finden auf diese Weise also für jeden Punktx 0 ∈ X eine Funktion h x0 in A r mit h x0 (x 0 ) = f (x 0 ) und h x0 (y) ≤ f (y) + ɛ für alle y ∈ X .Weiter: da h x0 und f stetig sind, gibt es eine offene Umgebung V x0 von x 0 , so dassh x0 (y) ≥ f (y) − ɛ für alle y ∈ V x0 .Da {V x0 } x0 ∈X eine offene Überdeckung von X ist, lässt sich daraus wieder eine endliche Überdeckung von X , etwaX = V x1 ∪ · · · ∪ V xn (mit möglicherweise anderen Punkten x i als oben) auswählen. Es seik := max{h x1 , h x2 , . . . , h xn }.Dann liegt k in A r , und es istf (y) − ɛ ≤ k(y) ≤ f (y) + ɛ für alle y ∈ X .Das heißt aber, dass f − k∞< ɛ. Für jedes ɛ > 0 findet man also ein k ∈ A r mit f − k∞< ɛ. Aus der Abgeschlossenheitvon A r folgt nun die Behauptung.28

Beweis des Satzes von Gelfand. Wir zeigen zuerst, dass ein ∗ -Homomorphismus ist. Sei a ∈ A. Dann sind m :=12 (a + a∗ ) und n := 1 2i (a − a∗ ) selbstadjungierte Elemente aus A, und es gilt a = m + in und a ∗ = m − in.Aus der Selbstadjungiertheit von m und n folgt, dass σ(m) und σ(n) in enthalten sind (Satz 1.5.8). Nach Satz 2.1.5müssen daher m und n reellwertige Funktionen sein (beachte: ( m)(M(A)) = σ(m)). Folglich ist a = m + i n = m − i n = (m − in) = (a ∗ ).Man sieht auch leicht, dass eine Isometrie ist. Da für a ∈ A das Element a ∗ a selbstadjungiert ist, folgt‖a‖ 2 = a ∗ a = r(a ∗ a) (∗)= (a ∗ a) ∞= ( a) ∗ a ∞= ‖ a‖ 2 ∞ ,wobei (∗) wieder aus Satz 2.1.5 folgt.Da eine Isometrie ist, ist A eine abgeschlossene Unteralgebra von C(M(A)), und aus der Tatsache, dass ein∗ -Homomorphismus ist, folgt die Symmetrie von A. Das Einselement von A wird durch auf die Funktion x → 1abgebildet (Satz 1.4.17), es ist also 1 ∈ A. Schließlich trennt A offensichtlich die Punkte von M(A). Sind nämlichf , g zwei verschiedene Funktionale auf A, so müssen diese sich wenigstens in einem Punkt a ∈ A unterscheiden, d.h.f (a) ≠ g(a) bzw. ( a)(f ) ≠ ( a)(g). Der Satz von Stone-Weierstraß liefert nun A = C(M(A)).Hat A kein Einselement, so kann man ähnlich beweisen, dass A isometrisch ∗ -isomorph zu C 0 (M(A)) ist.Bemerkung 2.2.3. Wir können jedem kompakten Hausdorff-Raum X die C ∗ -Algebra C(X ) zuordnen und jeder kommutativenC ∗ -Algebra A mit Eins den kompakten Hausdorff-Raum M(A). Man kann C also betrachten als Funktorvon der Kategorie der kompakten Hausdorffräume (mit den Homöomorphismen als Abbildungen) in die Kategorieder kommutativen C ∗ -Algebren mit Eins (mit den ∗ -Isomorphismen als zugehörige Abbildungen), und man kann Mauffassen als Funktor, der zwischen diesen Kategorien in umgekehrter Richtung wirkt. Die Sätze 2.1.2 sowie 2.1.9lassen sich so zusammenfassen:C(M(A)) ∼ = A und M(C(X )) ∼ = X ,M und C sind also ”invers” zueinander. Ein kompakter Hausdorff-Raum wird also vollständig durch die zugehörigeC ∗ -Algebra bestimmt und umgekehrt. Fassen wir das ganze noch etwas weiter, lässt sich folgendes ”Wörterbuch”aufmachen:Topologielokalkompakter Hausdorff-RaumKompaktheitHomöomorphismusstetige Abbildungabgeschlossene Teilmengenicht zusammenhängend.C ∗ -Algebrenkommutative C ∗ -AlgebraEinselement∗ -Isomorphismus∗ -Homomorphismusabgeschlossenes Ideal∃ Projektoren.Diese und weitere Entsprechungen bilden den Ausgangspunkt für zahlreiche fruchtbare Verallgemeinerungen vom”Kommutativen” auf den ”nichtkommutativen” Fall. vgl. hierzu A. Connes, Non-commutative Geometry.Bemerkung 2.2.4. Ist X ein topologischer Raum und BC(X ) die C ∗ -Algebra der beschränkten stetigen Funktionen aufX , so gibt es nach Satz 2.2.1 einen kompakten Hausdorff-Raum ˜X so, dassBC(X ) ∼ = C( ˜X ).Man kann zeigen, dass X auf natürliche Weise stetig und dicht in ˜X abgebildet werden kann (”eingebettet” ist) (d.h.die Abbildung T : X → ˜X , x → δ x ist stetig und clos(T X ) = ˜X ). Der Raum ˜X heißt Stone-Cech-Kompaktifizierung vonX .Wir überlegen uns abschließend, wie sich die Aussage von Satz 2.2.1 präzisieren lässt, wenn A von einem Elementerzeugt wird.Satz 2.2.5. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement e, a ∈ A sei normal, und C ∗ (a) sei die kleinste abgeschlossene undsymmetrische Unteralgebra von A, die e und a enthält. Dann ist C ∗ (a) kommutative C ∗ -Algebra, undC ∗ (a) ∼ = C(σ(a)).29

Wir können uns hier nicht unmittelbar auf die Resultate für einfach erzeugte Banachalgebren berufen. Als Banachalgebrawird C ∗ (a) natürlich durch e und die beiden Elemente a und a ∗ erzeugt.Beweis. Aus aa ∗ = a ∗ a folgt, dass C ∗ (a) eine kommutative C ∗ -Algebra ist. Wegen Satz 2.2.1 ist alsoC ∗ (a) ∼ = C(X )mit X := M(C ∗ (a)).Da a die Algebra C ∗ (a) erzeugt, erzeugt die Gelfandtransformierte â von a die Algebra C(X ) (im Sinne von C ∗ -Algebren). Wir zeigen, dassâ : X → â(X ) = σ C ∗ (a)(a) (2.2.7)ein Homöomorphismus ist. Da C(X ) die Punkte von X trennt und â diese Algebra erzeugt, muss bereits â die Punktevon X trennen. â ist also injektiv, und die Stetigkeit und Surjektivität von â wie in (2.2.7) sind klar. Da X kompaktist, folgt bereits die Behauptung.Schließlich verwenden wir noch, dass σ C ∗ (a)(a) = σ A (a) (Inverse Abgeschlossenheit von C ∗ -Algebren).2.3 Stetiger Funktionalkalkül für normale ElementeWir haben in der Übung bereits eine rudimentäre Fassung des Funktionalkalküls kennengelernt: Ist p(t) = a 0 t 0 +a 1 t 1 + · · · + a n t n ein Polynom und A eine Banachalgebra mit Einselement e, so wird für jedes a ∈ A durch p(a) =a 0 e + a 1 a + · · · + a n a n ein Element aus A definiert. Dabei giltσ(p(a)) = p(σ(a)) = {p(λ) : λ ∈ σ(a)},und die Abbildung p → p(a) ist ein Homomorphismus von der Algebra der Polynome in A.Man ist nun bestrebt, f (a) auch für größere Klassen von Funktionen zu erklären. Es ist leicht einzusehen, dass manfür jede ganze Funktion f (z) = ∑ ∞n=0 a nz n das Element f (a) durch f (a) := ∑ ∞n=0 a na n mit a 0 := e definieren kann. Daf eine ganze Funktion ist, konvergiert nämlich für jedes a ∈ A die Reihe ∑ a n a n absolut. Man kann auf diese Weisez.B. Elemente wie exp a oder sin a einführen und auch der Spektralsatzσ(f (a)) = f (σ(a)) = { f (λ) : λ ∈ σ(a)} (2.3.8)gilt für beliebige ganze Funktionen.Dieses Resultat lässt sich weiter verallgemeinern, wobei hier nur überblicksartig die wesentlichen Defninitionen undResultate angegeben werden. In Kurzfassung lautet die Verallgemeinerung: Man kann f (a) für jede Funktion erklären,welche in einer Umgebung von σ(a) holomorph ist. Für f (a) gilt dann der Spektralsatz (2.3.8).Satz 2.3.1. Sei a ∈ A, G eine offene Umgebung von σ(a), und f : G → holomorph. Dann existiert eine offene MengeW mitσ(a) ⊂ W ⊂ W ⊂ G,deren Rand aus endlich vielen paarweise disjunkten einfachen geschlossenen Wegen besteht. Unabhängig von W wirddurchf (a) := 1 ∫f (z)(ze − a) −1 dz2πi∂ Wein Element von A definiert.Der Beweis der Unabhängigkeit dieser Definition von W erfolgt mit dem Cauchyschen Integralsatz.Sind G 1 , G 2 Umgebungen von σ(a) und f 1 : G 1 → , f 2 : G 2 → holomorphe Funktionen, so sind f 1 + f 2 , f 1 · f 2 :G 1 ∩ G 2 → holomorphe Funktionen, und es giltSchließlich gilt wieder der Spektralsatz(f 1 + f 2 )(a) = f 1 (a) + f 2 (a), (f 1 f 2 )(a) = f 1 (a)f 2 (a).Satz 2.3.2. Sei f in einer Umgebung G von σ(a) holomorph. Dann giltσ(f (a)) = f (σ(a)) = { f (λ) : λ ∈ σ(a)}.30

Beweis. Für λ ∈ σ(a) definieren wir g : G → durchg(z) := f (z)−f (λ)falls z ≠ λz−λf ′ (λ) falls z = λ .Die Funktion g ist holomorph auf G. Wäre nun f (λ) /∈ σ(f (a)), so würde ausg(a)(a − λe) = f (a) − f (λ)edie Invertierbarkeit von a − λe folgen. Dieser Widerspruch zeigt, dass f (σ(a)) ⊆ σ(f (a)).Ist umgekehrt µ /∈ f (σ(a)), so ist die Funktion g(z) := 1f (z)−µ holomorph in einer Umgebung ˜G von σ(a), und g(a)ist erklärt. Wir haben dann g(a)(f (a) − µe) = e, d.h. µ /∈ σ(f (a)).Mit Satz 2.3.1 kann man beispielsweise a 1 2 definieren, falls σ(a) ⊆ [1, ∞) ist, nicht jedoch im Falle σ(a) = [0, 1].Wir schließen die Betrachtung des allgemeinen Falles mit folgender Beobachtung ab:Satz 2.3.3 (Shilov). Sei a ∈ A und σ(a) = σ 1 ∪ σ 2 mit abgeschlossenen nichtleeren und disjunkten Mengen σ 1 , σ 2 .Dann existiert ein Projektor p in A (d.h. ein Element mit p 2 = p) so, dass(i) ab = ba ⇒ bp = pb.(ii) Für a 1 := ap, a 2 := a(e − p) gilt a = a 1 + a 2 und a 1 a 2 = a 2 a 1 = 0.(iii) σ(a i ) = σ i ∪ {0}.Für den Beweis sucht man sich offene Umgebungen G 1 von σ 1 bzw. G 2 von σ 2 mit G 1 ∩ G 2 = und wählt fürf : G 1 ∪ G 2 =: G → die Funktion1 z ∈ G 1f (z) =0 z ∈ G 2Diese ist holomorph auf G, und das Element p := f (a) ist gerade das Gesuchte.Wesentlich verallgemeinern lässt sich dieses Funktionalkalkül für normale Elemente aus C ∗ -Algebren. Ein einfachesUmschreiben von Satz 2.2.5 liefert nämlich sofort:Satz 2.3.4. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement, und a ∈ A sei normal. Dann existiert ein isometrischer ∗ -IsomorphismusΦ : C(σ(a)) auf−→ C ∗ (a) ⊆ A.Klar: Φ ist gerade die Inverse zur Gelfand-Transformation : C ∗ (a) → C(σ(a)). Man kann dieses Resultat so interpretieren,dass man für jede stetige Funktion f auf σ(a) ein Element f (a) := Φ(a) ∈ C ∗ (a) so definieren kann, dassdie Zuordnung f → f (a) ein ∗ -Isomorphismus wird. Insbesondere gilt alsoWeiterhin erhält man sofort einen Spektralsatz(f + g)(a) = f (a) + g(a), (f g)(a) = f (a)g(a), f (a) = f (a) ∗ . (2.3.9)σ(f (a)) = f (σ(a)) = {f (λ) : λ ∈ σ(a)} für alle f ∈ C(σ(a)). (2.3.10)Man beachte, dass man nun beispielsweise a 1 2 auch dann definieren kann, falls a normal ist und σ(a) ⊆ + ist. Elementea mit diesen Eigenschaften besitzen also eine Quadratwurzel. Wir sehen uns noch zwei einfache Anwendungen desstetigen Funktionalkalküls an.Beispiel 2.3.5. Sei a ∈ A selbstadjungiert. Dann ist σ(a) ⊆ . Auf (und damit auf σ(a)) sind die Funktionenf 1 (x) := max{0, x}, f 2 (x) := − min{0, x}, f 3 (x) := |x|stetig. Wir definierena + := f 1 (a), a − := f 2 (a), |a| := f 3 (a).Dann ist a = a + − a − , |a| = a + + a − und a + a − = 0. Diese Elemente heißen positiver und negativer Teil bzw. Betragvon a.31

Beispiel 2.3.6. Hier wollen wir uns folgende Aussage überlegen:Jedes Element einer C ∗ -Algebra A mit Eins e ist eine Linearkombination von höchstens 4 unitären Elementen.Beweis. Jedes Element a ∈ A ist Linearkombination zweier selbstadjungierter Elemente:a = 1 2 (a + a∗ ) + 1 2i (i(a − a∗ ))Durch Wahl der Koeffizienten lässt sich außerdem erreichen, dass die Normen dieser selbstadjungierten Elemente ≤ 1sind.Wir zeigen noch, dass sich jedes selbstadjungierte Element a mit ‖a‖ ≤ 1 als Linearkombination zweier unitärerElemente schreiben lässt. Aus a = a ∗ und ‖a‖ ≤ 1 folgt σ(a) ⊆ [−1, 1], und der Spektralsatz (1) liefert σ(e − a 2 ) ⊆[0, 1]. Da x → x 1 2 auf [0, 1] stetig ist, ist das Element u := a + i(e − a 2 ) 1 2 wohldefiniert. Man rechnet leicht nach, dassu ∗ = a − i(e − a 2 ) 1 2 = u −1 und demzufolge a Linearkombination zweier unitärer Elemente ist: a = 1 2 (u + u∗ ).So elegant der stetige Funktionalkalkül für normale Elemente ist, so lässt er dennoch Wünsche offen, vor allem imHinblick auf den Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren. Um dies kurz anzudeuten, sei H einseparabler unendlich-dimensionaler Hilbertraum mit Orthonormalbasis (e i ) ∞ i=0, und a : {0, 1, 2, ...} → sei beschränkteFolge. Dann wird durch∞∑Ax := a i 〈x, e i 〉e i , x ∈ Hi=0ein linearer beschränkter und normaler Operator definiert, dessen Spektrum gleich clos a() ist (HA).Ist E ⊆ abgeschlossen, so heißt der Operator∑P E x := 〈x, e i 〉e i , x ∈ Hi:a i ∈Eder Spektralprojektor zur Menge E. Dies ist ein Orthogonalprojektor auf H, der mit A vertauscht, und für ihn gilt:σ(A| Im PE ) = clos(E ∩ a()) ⊆ EEr filtert aus H also den Teil heraus, auf dem das Spektrum von A in E liegt. Man kann P E in der Regel nicht als f (A)mit f ∈ (σ(A)) darstellen. Da P E Projektor ist, ist sein Spektrum in {0, 1} enthalten. Eine Funktion f : σ(a) → ,die die beiden Werte 0,1 und nur diese annimmt, kann aber nicht stetig sein, falls σ(a) zusammenhängend ist. Möchteman also (alle) Spektralprojektoren von A als Funktionen von A schreiben, muss man die Einschränkung auf stetigeFunktionen fallenlassen.2.4 Fredholmeigenschaften von ToeplitzoperatorenWir führen nun eine Klasse von Operatoren ein, die sich gut untersuchen lässt und die uns im weiteren oft alsIllustration dienen wird.Sei a ∈ L ∞ (). Für k ∈ sei a k der k. Fourierkoeffizient von a:a k = 1 ∫ 2πa(e ix )e −ikx d x.2π0Definieren dann den durch a erzeugten Laurentoperator L(a) auf l 2 (), Toeplitzoperator T(a) auf l 2 ( + ) und HankeloperatorH(a) auf l 2 ( + ) über ihre Matrixdarstellungen bzgl. der Standardbasen von l 2 () bzw. l 2 ( + ):⎛⎞. .. . .. . .. . .. . ... .. .a0 a −1 a ..⎛−2 . .. .a1 aL(a) :=0 a ..−1 , T(a) :=. .. .a2 a 1 a ..⎜0 ⎝.⎜ .. .a3 a 2 a ..1 ⎟⎝. .. . .. . .. . .. .⎠ ..a 0 a −1 · · ·a 1 a 0 · · ·a 2 a 1 · · ·..⎞ ⎛⎟ , H(a) :=⎜. ⎠ ⎝..a 1 a 2 · · ·a 2 a 3 · · ·a 3 a 4 · · ·..⎞⎟. ⎠ ..32

Bei L(a) und T(a) sind also die Einträge konstant entlang von Parallelen zur Hauptdiagonalen, bei H(a) zur ”Nebendiagonalen”.Am einfachsten ist die Untersuchung der Laurentoperatoren. Jede Funktion a ∈ L ∞ () definiert wegen a f2≤ ‖a‖ ∞ f2∀f ∈ L 2 ()einen stetigen Multiplikationsoperator aI auf L 2 (). Die Matrixdarstellung von aI bezüglich der Basis (e n ) n∈ , e n (t) =t n , von L 2 () ist gerade L(a):〈ae k , e j 〉 = 1 ∫ 2π2π= 12π0∫ 2π0a(e ix )e ikx e −i jx d xa(e ix )e −i(j−k)x d x = a j−k .Da Laurentoperatoren nichts anderes als Matrixdarstellungen von Multiplikationsoperatoren sind, folgt sofortfür beliebige Funktionen a, b ∈ L ∞ () sowieL(a + b) = L(a) + L(b), L(ab) = L(a)L(b), L(a) ∗ = L(a) (2.4.11)‖L(a)‖ L(l 2 ( + )) = ‖aI‖ L(L 2 ()) ≤ ‖a‖ ∞ (2.4.12)Toeplitz- und Hankeloperatoren lassen sich als ”Bausteine” von Laurentoperatoren auffassen. Dazu sei l 2 2 (+ ) dieMenge aller Paare (x, y) von Elementen aus l 2 ( + ), versehen mit der NormDie Abbildung J : l 2 () → l 2 2 (+ ), (x, y) := (‖x‖ 2 + y 2)12 .(. . . , x −3 , x −2 , x −1 , x 0 , x 1 , x 2 , . . . ) → ((x −1 , x −2 , x −3 , . . . ), (x 0 , x 1 , x 2 , . . . ))ist eine bijektive Isometrie, und es gilt T(ã)J L(a)J −1 =H(a)Lemma 2.4.1. Für a, b ∈ L ∞ () gilt: H(ã)T(a)mit ã(t) = a(1|t). (2.4.13)(i) T(ab) = T(a)T(b) + H(a)H(˜b),H(ab) = T(a)H(b) + H(a)T(˜b).(ii) T(a) ∗ = T(a), H(a) ∗ = H(ã).Beweis. Nach (2.4.13) istJ L(ab)J −1 T( ab)=˜H(ab)H( ab) ˜ T(ab)und andererseits T(ã)J L(ab)J −1 = J L(a)J −1 J L(b)J −1 =H(a)T(ã)T(˜b) + H(ã)H(b)=H(a)T(˜b) + T(a)H(b) H(ã) T(˜b) H(˜b)T(a) H(b) T(b)T(ã)H(˜b) + H(ã)T(b)H(a)H(˜b) + T(a)T(b)Ein Vergleich der entsprechenden Einträge liefert Aussage (i), und (b) folgt analog aus T(ã)J L(a) ∗ J −1 =H(a) ∗ H(ã) T(ã)∗H(a) ∗ =T(a) H(ã) ∗ T(a) ∗ , J L(a)J −1 =T(ã)H(a)H(ã)T(a)33

Für die Normen hat man wegen (2.4.12) und (2.4.13)‖T(a)‖ ≤ ‖L(a)‖ ≤ ‖a‖ ∞ sowie ‖H(a)‖ ≤ ‖L(a)‖ ≤ ‖a‖ ∞ . (2.4.14)Diese Abschätzungen genügen zwar für viele Anwendungen bereits. Andererseits lassen sich diese Normen exaktbestimmen.Satz 2.4.2. Sei a ∈ L ∞ (). Dann ist(i) ‖L(a)‖ = ‖a‖ ∞ .(ii) (Brown/Halmos) ‖T(a)‖ = ‖a‖ ∞ .(iii) (Nehari) ‖H(a)‖ = dist L ∞ ()(a, H ∞ ).H ∞ steht hier für die Menge aller Funktionen aus L ∞ (), die sich analytisch in das äußere des Einheitskreises fortsetzenlassen (Beispiel: f (t) = t −1 ). Beweise findet man in [Böttcher/Silbermann], Analysis of Toeplitz operators, Theorem2.7 und 2.11.Unser Ziel sind Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren T(f ) mit stetiger Erzeugerfunktion f , dh. die Frage,wann die Nebenklasse T(f )+K(l 2 ) in der Calkinalgebra L(l 2 )/K(l 2 ) invertierbar ist. Dazu untersuchen wir die kleinsteabgeschlossene Unteralgebra T( ) von L(l 2 ), welche alle Toeplitzoperatoren T(f ) mit f ∈ () enthält. WegenT(f ) ∗ = T(f ), und da mit f auch f stetig ist, ist T( ) bereits eine C ∗ -Algebra.Wir bereiten die Untersuchung von T( ) mit zwei Kompaktheitsaussagen vor. Die erste dieser Aussagen unterstreichtzudem die völlig unterschiedliche Natur von Toeplitz- bzw. Hankeloperatoren.Satz 2.4.3.(i) Für alle a ∈ L ∞ ()und K ∈ K(l 2 ( + )) gilt‖T(a)‖ ≤ ‖T(a) + K‖ .Insbesondere ist T(a) genau dann kompakt, wenn a ≡ 0.(ii) Für a ∈ () ist H(a) kompakt.Beweis.(i) Wir betrachten die Verschiebungsoperatoren V 1 und V −1 auf l 2 ( + ) mit V 1 (x 0 , x 1 , . . . ) = (0, x 0 , x 1 , . . . ) sowieV −1 (x 0 , x 1 , x 2 , . . . ) = (x 1 , x 2 , x 3 , . . . ). Für n ∈ sei V n := (V 1 ) n , V −n := (V −1 ) n . Wegen Vn =V−n = 1 ist dann V−n (T(a) + K)V n ≤ ‖T(a) + K‖ . (2.4.15)Nun ist V −n T(a)V n = T(a), und man überprüft sofort, dass V −n → 0 stark und dass V ∗ n = V −n. Folglich konvergiertV −n KV n in der Norm gegen 0. Lassen wir also in (2.4.15) n → ∞ laufen, folgt sofort die erste Behauptung von(i). Die zweite Behauptung ist eine unmittelbare Konsequenz der ersten.(ii) Ist zunächst a(t) = a −n t −n + . . . + a n t n ein trigonometrisches Polynom, so ist⎛⎞a 1 · · · a n 0. . ..H(a) =. ⎜a ..n ⎟⎝.⎠0..offenbar ein Operator mit endlich-dimensionalem Bild und folglich kompakt. Nun kann jede stetige Funktion aauf gleichmäßig durch trigonometrische Polynome p n approximiert werden. Aus H(a) − H(pn ) ≤ a − pn∞→ 0,der Kompaktheit von H(p n ) und der Abgeschlossenheit von K(l 2 ) folgt die Behauptung.34

Satz 2.4.4. K(l 2 ( + )) ⊆ T( ).Beweis. Sei P n : l 2 ( + ) → l 2 ( + ), (x 0 , x 1 , . . .) → (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 , 0, 0, . . .). Offenbar gilt P n = P ∗ n→ I stark und daher Pn K P n − K → 0 für jeden kompakten Operator K. Es genügt daher zu zeigen, dass Pn K P n ∈ T( ) für jedes K ∈ K(l 2 )und jedes n. Ist (k i j ) n−1i,j=0 die Matrixdarstellung von P nK P n | Im Pn bzgl. der Standardbasis von l 2 ( + ), so istP n K P n =∑n−1i,j=0k i j V i P 1 V − j .(Nachrechnen!)Nun ist aber P 1 = I − V 1 V −1 , und die Operatoren V 1 , V −1 sind Toeplitzoperatoren mit den erzeugenden Funktionenχ 1 (t) = t bzw. χ −1 (t) = t −1 . Hieraus folgt sofort die Behauptung.Mit diesen Resultaten erhält man leicht eine komplette Beschreibung der Algebra T( ).Satz 2.4.5. T( ) = {T(a) + K : a ∈ (), K ∈ K(l 2 ( + ))}.Beweis. Wir bezeichnen die rechte Seite der zu beweisenden Identität mit A. Aus Satz 2.4.4 folgt sofort A ⊆ T( ).Für die umgekehrte Inklusion zeigen wir, dass A eine abgeschlossene Unteralgebra von L(l 2 ( + )) ist. Seien a, b stetigund K, L kompakt. Dann istund(T(a) + K) + (T(b) + L) = T(a + b) + (K + L) ∈ A(T(a) + K)(T(b) + L) = T(a)T(b) + K T(b) + T(a)L + K L= T(ab)−H(a)H(˜b) + K T(b) + T(a)L + K L ∈ A(2.4.16)da der unterstrichene Teil nach Satz 2.4.3(ii) kompakt ist. Also ist A eine Algebra. Sei nun (T(a m ) + K m ) m≥1 einenormkonvergente Folge von Operatoren aus A. Aus Satz 2.4.3(i) schliessen wir, dass dann (T(a m )) m≥1 eineCauchyfolge in L(l 2 ) ist, und aus Satz 2.4.2(b), dass (a m ) m≥1 Cauchyfolge in () ist. Da () vollständig ist,gibt es eine Funktion a ∈ () mit an − a ∞→ 0. Aus der Abschätzung T(an − a) ≤ an − a ∞folgt dann T(an ) − T(a) → 0, und aus Kn − K m ≤ T(an ) + K n − T(a m ) − K m + T(an ) − T(a m ) folgt, dass (K n ) Cauchyfolge in K(l 2 ( + )) ist. Diese Folge konvergiert, und ihr Grenzwert K ist kompakt, da K(l 2 ( + ))abgeschlossen ist. Nunmehr ist klar, dass(T(an) + K n ) − (T(a) + K) → 0,dh. lim(T(a n ) + K n ) ∈ A, und A ist abgeschlossen.Wie angekündigt, interessieren wir uns für die Fredholmeigenschaften von Operatoren aus T( ), dh. dafür, wann dieNebenklasse A+ K(l 2 ) in L(l 2 )/K(l 2 ) invertierbar ist. Da K(l 2 ) ⊆ T( ), können wir auch T( )/K(l 2 ) bilden, und diesist eine abgeschlossene Unteralgebra von L(l 2 )/(K(l 2 )). Diese Unteralgebra ist wieder eine C ∗ -Algebra (dies haben wirnoch nicht allgemein bewiesen; wir werden dies aber schnell nachholen). Wegen der inversen Abgeschlossenheit vonC ∗ -Algebren ist A ∈ T( ) also genau dann ein Fredholmoperator, wenn A + K(l 2 ) in T( )/K(l 2 ) invertierbar ist.Diese Algebra ist aber kommutativ! Dies folgt sofort aus (2.4.16):(T(a) + K(l 2 ))(T(b) + K(l 2 )) = T(ab) + K(l 2 )= T(ba) + K(l 2 ) = (T(b) + K(l 2 ))(T(a) + K(l 2 )).Wir können daher T( )/K(l 2 ) komplett beschreiben, wenn wir ihren Raum der maximalen Ideale und die Wirkungder Gelfandtransformation identifizieren können. Dazu betrachten wir die Abbildungπ : () → T( )/K(l 2 ), f → T(f ) + K(l 2 ).Man rechnet sofort nach, dass π ein ∗ -Homomorphismus ist (dies ist im wesentlichen wieder (2.4.16)). Aus Satz 2.4.5folgt die Surjektivität von π, und die Injektivität bekommen wir aus Satz 2.4.3(a). Dieser liefert nämlich‖T(a)‖ = T(a) + K(l 2 ) (sogar für a ∈ L ∞ ()).Ist also π(f ) = T(f ) + K(l 2 ) = 0, so ist T(f ) = 0 und nach Satz 2.4.2(ii) auch f = 0. Die Abbildung π ist also ein∗ -Isomorphismus. Aus Satz 1.4.16, angewandt auf π und auf die Umkehrabbildung π −1 folgt schließlich, dass π sogareine Isometrie ist. Dh. () ∼ = T( )/K(l 2 )isometrisch ∗ -isomorph.Damit ist auch klar, dass M(T( )/K(l 2 )) homöomorph zu M( ()) ∼ = ist und dass bei dieser Identifizierung dieGelfandtransformation von T(a) + K(l 2 ) gerade die Funktion a ∈ () ist. Fazit:35

Satz 2.4.6. Ein Operator T(f ) + K ∈ T( ) ist genau dann Fredholmsch, wenn f (t) ≠ 0 für alle t ∈ .Darüberhinaus hat man für Fredholmsche Toeplitzoperatoren mit stetiger Erzeugerfunktion auch eine bequeme Möglichkeit,den Indexind T(a) := dim ker T(a) − dim(l 2 ( + )/ Im T(a))zu bestimmen. Dazu benötigen wir ein Resultat über stetige Funktionen von nach .Satz 2.4.7. Sei f ∈ () und f (t) ≠ 0 für alle t ∈ . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl n ∈ und eineFunktion ϕ ∈ C() so, dass f (t) = t n e ϕ(t) ∀t ∈ .Die Zahl n heisst die Windungszahl von f . Sie beschreibt anschaulich, wie oft sich die Kurve t → a(t) um den Nullpunktwindet, wenn man sie mit der durch induzierten Orientierung versieht und Windungen im Gegenuhrzeigersinn zählt.Satz 2.4.8.(i) Ist T(f ) + K ∈ T( ) ein Fredholmoperator, so istind(T(f ) + K) = − wind f .(ii) Ein Toeplitzoperator T(f ) ist genau dann invertierbar, wenn er Fredholmsch ist und ind T(f ) = 0 ist.Beweise findet man z.B. in den bereits zitierten Büchern von Böttcher/Silbermann und Douglas. Aussage (ii) vonSatz 2.4.8 gilt sogar für beliebiges f ∈ L ∞ (). Die Tatsache, dass ind T(f ) = 0 bereits die Invertierbarkeit von T(f )impliziert, ist eine Besonderheit bei Toeplitzoperatoren.36

3 Darstellungstheorie für C ∗ -AlgebrenWir beginnen nun mit einer systematischen Untersuchung von nicht notwendig kommutativen C ∗ -Algebren.3.1 Positive Elemente und OrdnungEin selbstadjungiertes Element a einer C ∗ -Algebra A heisst positiv (in Zeichen a ≥ 0), wenn σ(a) ⊆ + := [0, ∞). DieMenge aller positiven Elemente aus A bezeichnen wir mit A + .Lemma 3.1.1 (Satz von Gelfand-Naimark). Sei A eine C ∗ -Algebra mit Einselement. Folgende Aussagen für a ∈ A sindäquivalent:(i) a ist positiv.(ii) a = b 2 mit einem selbstadjungierten Element b ∈ A.(iii) a = a ∗ und µe − a ≤ µ für alle µ ≥ ‖a‖.(iv) a = a ∗ und µe − a ≤ µ für ein µ ≥ ‖a‖.Beweis.(i) ⇔ (ii): Ist a positiv, so kann man b := a 1 2 setzen (↗ stetiger Funktionalkalkül) und erhält a = b 2 mit einemselbstadjungierten b. Ist umgekehrt a = b 2 mit b = b ∗ , so liegt σ(b) in nach Satz 1.5.8(ii) und demzufolgeσ(a) = σ(b 2 ) = σ(b) 2 ⊆ + . Da a = a ∗ , folgt a ≥ 0.(i) ⇒ (iii): Nach Satz 1.4.13 ist r(b) = ‖b‖ für alle normalen Elemente b ∈ A. Insbesondere gilt für b := µe − a mitµ ≥ ‖a‖ µe − a = r(µe − a) = sup |λ| : λ ∈ σ(µe − a) = sup |λ − µ| : λ ∈ σ(a) ≤ µ(iii) ⇒ (iv): ist offensichtlich.(iv) ⇒ (i): Für alle λ ∈ σ(a) ist µ − λ ∈ σ(µe − a) und daher|µ − λ| ≤ µe − a ≤ µ.Wegen |λ| ≤ ‖a‖ ≤ µ folgt hieraus λ ≥ 0, dh. σ(a) ⊆ + .Satz 3.1.2.(i) Die Menge A + ist abgeschlossen, und es giltλA + ⊆ A + für λ ≥ 0, A + + A + ⊆ A + und A + ∩ (−A + ) = {0}.(ii) Ein Element a ∈ A ist genau dann positiv, wenn a = b ∗ b mit einem b ∈ A.Die Äquivalenz in (ii) kennt man erst seit den Arbeiten von Kaplansky und Kelley/Vaught von 1953. In den frühenArbeiten von Gelfand tritt die Forderungb ∗ b ≥ 0für alle b ∈ Anoch als (nunmehr überflüssiges) Axiom auf.37

Beweis.(i) Die Abgeschlossenheit zeigt man leicht mit (iii) und (iv) von Lemma 3.1.1 (↗HA). Ebenso ist klar, dassλA + ⊆ A + für alle λ ≥ 0. Seien nun a, b ∈ A + . Nach Lemma 3.1.1(iii) ist dann‖(‖a‖ + ‖b‖)e − (a + b)‖ = ‖(‖a‖ e − a) + (‖b‖ e − b)‖≤ ‖(‖a‖ e − a)‖ + ‖(‖b‖ e − a)‖≤ ‖a‖ + ‖b‖ ,woraus mit Lemma 3.1.1(iv) folgt: a+ b ∈ A + . Ist schließlich a ∈ A + ∩(−A + ), so liegt σ(a) in [0, ∞)∩[0, −∞) ={0}. Aus r(a) = 0 und a = a ∗ folgt aber ‖a‖ = 0, also a = 0.(ii) Die Richtung ⇒ ist die Implikation (i)⇒(ii) aus Lemma 3.1.1. Sei umgekehrt a = b ∗ b. Dann ist a = a ∗ , undwie in Kapitel 2.3 gezeigt, gibt es positive Elemente a + , a − ∈ A so, dass a = a + − a − . Wir wollen zeigen, dassa − = 0. Für c := ba 1/2−ist zunächstc ∗ c = a 1/2− b∗ ba 1/2− = a1/2 − (a + − a − )a 1/2− = −a2 − ∈ −A +.Mit c = x + i y, x, y selbstadjungiert, rechnet man leicht nach, dasscc ∗ = 2(x 2 + y 2 ) − c ∗ c,und dieses Element liegt in A + nach Teil (i) dieses Satzes. Nun wissen wir aber, dass sich die Spektren vonc ∗ c und cc ∗ höchstens um {0} unterscheiden können (Aufgabe 2 aus Übung 2). Aus σ(c ∗ c) ⊆ (−∞, 0] undσ(c ∗ c) ⊆ [0, ∞) folgt daher σ(c ∗ c) = {0}. Also ist σ(−a 2 − ) = {0}, und da a − selbstadjungiert ist, folgt schliesslicha − = 0 und a = a + .Beispiel 3.1.3. Ist X kompakter Hausdorffraum, so ist f ∈ (X ) genau dann positiv, wenn f (x) ≥ 0 für alle x ∈ X . IstH Hilbertraum, so ist A ∈ L(H) genau dann positiv, wenn 〈Ax, x〉 ≥ 0 für alle x ∈ X . (↗ Übung)Wir definieren in der Menge der selbstadjungierten Elemente von A eine Relation ≥ durch ”a ≥ b falls a − b ≥ 0”. DaA + ein Kegel ist und A + ∩ (−A + ) = {0}, ist ≥ eine partielle Ordnung, und es gilt⎫a ≥ a⎬a ≥ b, b ≥ a ⇒ a = b⎭a ≥ b, b ≥ c ⇒ a ≥ cWir fassen einige Eigenschaften dieser Relation zusammen.Satz 3.1.4. Seien a, b, c Elemente einer C ∗ -Algebra. Dann gilt(i) a ≥ b ≥ 0 ⇒ ‖a‖ ≥ ‖b‖.(ii) a ≥ b ≥ 0 ⇒ c ∗ ac ≥ c ∗ bc ≥ 0.∀a, b, c ∈ Aselbstadjungiert.(iii) Besitzt die Algebra ein Einselement, ist a ≥ b ≥ 0, und sind a und b invertierbar, so ist b −1 ≥ a −1 ≥ 0.Beweis. Falls die Algebra kein Einselement besitzt, erweitern wir sie zu einer C ∗ -Algebra mit Eins e (siehe Kapitel1.3).(i) Aus dem Satz von Gelfand-Naimark folgt ‖a‖ e ≥ a und damit ‖a‖ e ≥ b. Erneute Anwendung des Satzes vonGelfand-Naimark liefert ‖a‖ e ≥ ‖b‖ e bzw. ‖a‖ ≥ ‖b‖.(ii) Wählen d so, dass a − b = d ∗ d (vgl. Satz 3.1.2(b)). Dann istWieder nach Satz 3.1.2(ii) ist c ∗ ac − c ∗ bc ≥ 0.c ∗ ac − c ∗ bc = c ∗ d ∗ dc = (dc) ∗ (dc).38

Als Anwendung zeigen wir noch ein Resultat über die Polarzerlegung invertierbarer Elemente in C ∗ -Algebren.Satz 3.1.5. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins. Dann kann jedes invertierbare Element a ∈ A eindeutig geschrieben werdenals a = ur mit u unitär und r ≥ 0.Beweis. Mit a ist auch aa ∗ invertierbar. Außerdem ist a ∗ a ≥ 0 und nach Satz 3.1.4(iii) auch (a ∗ a) −1 ≥ 0. Hiraus folgtdie Invertierbarkeit von |a| = (a ∗ a) 1/2 sowie die Beziehung |a| −1 = ((a ∗ a) −1 ) 1/2 . Sei u := a |a| −1 . Dann istuu ∗ = a |a| −1 |a| −1 a ∗ = a(a ∗ a) −1 a ∗ = aa −1 (a ∗ ) −1 a ∗ = esowieu ∗ u = |a| −1 a ∗ a |a| −1 = |a| −1 |a| 2 |a| −1 = e,d.h. u ist unitär und r := u −1 a = |a| ≥ 0. Die Polardarstellung ist eindeutig. Aus a = ur folgt notwendiga ∗ a = r ∗ u ∗ ur = r ∗ r, also r = (a ∗ a) 1/2Damit sind r und wegen der Invertierbarkeit von r auch u eindeutig bestimmt.3.2 Homomorphismen, Ideale und Quotienten von C ∗ -AlgebrenWir sehen uns nun Homomorphismen und Ideale von C ∗ -Algebren genauer an und werden Resultate kennenlernen,die das Arbeiten mit C ∗ -Algebren so angenehm machen. Auch haben wir noch einige Lücken (z.b. wann ist A/J wiederC ∗ -Algebra) zu schließen. Zunächst benötigen wir eine Definition.Definition 3.2.1. Sei A eine C ∗ -Algebra, T gerichtete Menge. Ein Netz {u t } t∈T ⊂ A T heißt approximative Eins, wenngilt(i) ut ≤ 1 für alle t ∈ T.(ii) s ≺ t → u s ≤ u t .(iii) limt∈T a − aut = 0 für alle a ∈ A.Offensichtlich gilt dann auch limt∈T a − ut a = 0 für alle a ∈ A.Beispiel 3.2.2. Hat A ein Einselement e, so ist die konstane Folge (e) ∞ n=1eine approximative Eins in A. Für ein zweitesBeispiel sei A = K(H) die C ∗ -Algebra der kompakten Operatoren auf einem separablen Hilbertraum H. Ist e 1 , e 2 , . . .eine Orthonormalbasis von H und P n der Orthoprojektor von H auf der linearen Hülle von {e 1 , . . . , e n }, so ist (P n ) ∞ n=1approximative Eins in K(H).Satz 3.2.3 (Segal). Jede C ∗ -Algebra besitzt eine approximative Eins.Beweis. Sei A eine C ∗ -Algebra. Hat A ein Einselement, so ist die Behauptung klar (vgl. Beispiel). Anderfalls adjungierenwir ein Einselement e zu A und müssen garantieren, dass die approximative Eins in der ursprünglichen Algebragefunden werden kann. Sei T = {a ∈ A + : ‖a‖ < 1}. T ist eine gerichtete Menge bzgl. ≥. Wir wissen nämlich bereits,dass ≥ eine partielle Ordnung ist und müssen noch die Induktivität von ≥ zeigen. Seien u, v ∈ T. Nach Gelfand-Naimark sind dann a := (e − u) −1 u sowie b := (e − v ) −1 v positive Elemente. Nach Satz 3.1.2(i) ist a + b ≥ 0, underneute Anwendung von Gelfand-Naimark zeigt, dassw := (e + a + b) −1 (a + b) ∈ T.(beachte : a, b ∈ A wegen Neumann-Reihe ⇒ a + b ∈ A ⇒ (e + a + b) −1 (a + b) ∈ A da A Ideal in der Erweiterung Ã)Nach Satz 3.1.4(iii) aus Kapitel 3.1 istw = (e + a + b) −1 (a + b) = (e + a + b) −1 (e + a + b) − (e + a + b) −1= e − (e + a + b) −1 ≥ e − (e + a) −1 = e − (e + (e − u) −1 u) −1= e − ((e − u) −1 ) −1 = u,39

und genauso erhält man w ≥ v . Daher ist T eine gerichtete Menge in A + . Wir betrachten nun die identische Abbildungvon T nach A und zeigen, dass dieses Netz eine approximative Eins ist. Eigenschaften (i), (ii) sind offenbar erfüllt.Zeigen noch (iii). Da jedes a ∈ A Linearkombination positiver Elemente ist, genügt es, lim ‖a − ua‖ = 0 für alle a ≥ 0u∈Tzu zeigen. Weiter gilt nach Satz 3.1.4 für alle a ≥ 0 und alle u ∈ T:‖(e − u)a‖ 2 C ∗ −Axiom= a(e − u) 2 a ≤ ‖a(e − u)a‖ ,so dass es genügt, limu∈T‖a(e − u)a‖ = 0 zu zeigen. Nun fällt für jedes feste a ≥ 0 die FunktionT → + , u → ‖a(e − u)a‖monoton laut Satz 3.1.4. Es genügt daher zu zeigen, dass für jedes ɛ > 0 ein u ɛ ∈ T mit a(e − uɛ )a ≤ ɛ ‖a‖zu finden. Dies ist leicht möglich : Für alle a ≥ 0 und ɛ > 0 ist e + 1 a invertierbar. Daher ist das Elementɛwohldefiniert und liegt in T. Für dieses Element istworaus, wie gewünscht, a(e − uɛ )a ≤ ɛ ‖a‖ folgt.u ɛ := (e + 1 ɛ a)−1 1 ɛ a = e − (e + 1 ɛ a)−1a(e − u ɛ )a = a(e − (e + 1 ɛ a)−1 1 ɛ a)a = (e + 1 ɛ a)−1 a 2= (e + 1 1 ɛ a)−1 a · ɛa ≤ ɛa,ɛSatz 3.2.4. Sei K abgechlossenes Ideal einer C ∗ -Algebra A. Dann ist J symmetrisch.Beweis. Sei J abgeschlossenes Ideal von A. Dann ist B := J ∩J ∗ eine C ∗ −Unteralgebra von A (beachte, dass JJ ∗ , J ∗ J ⊆B). Nach Satz 3.2.3 gibt es eine approximative Eins {u t } t∈T in B. Für jedes j ∈ J ist dann limj ∗ − j ∗ u 2t = lim (j − ut j)(j ∗ − j ∗ u t ) = lim (j j ∗ − j j ∗ u t ) − u t (j j ∗ − j j ∗ u t ) = 0t∈T t∈T t∈TDa u t zu B ⊆ J gehört und J ein abgeschlossenes Ideal ist, folgt j ∗ ∈ J.Satz 3.2.5. Sei J abgeschlossenes Ideal einer C ∗ -Algebra A. Wir definieren auf A/J Operationen und Norm wie obenInvolution durch (a + J) ∗ := a ∗ + J. Dann ist A/J eine C ∗ -Algebra.Beweis. Wegen Satz 3.2.4 ist die Involution korrekt definiert. Wir zeigen zuerst: Ist {u t } t∈T approximative Eins in J,so gilt für jedes a ∈ A inf a + j = lim a − ut a . (3.2.1)t∈Tj∈JDurch Übergang zu à und mit der Beobachtung, dass j − ut j → 0 und e − ut ≤ 1, überlegt man sich leicht, dassfür jedes a ∈ A und j ∈ J giltlim sup a − ut a = lim sup (e − ut )(a + j) ≤ a + j t∈Tt∈TErinnerung: lim sup und lim inf sind für Netze analog zu Folgen erklärt durchlim sup u t = limt∈Tsupt∈T s≻tu t und lim inft∈Tu t = limt∈Tinfs≻t u t.Nun liefert der Übergang zum Infimum über alle j ∈ J (da u t a ∈ J) inf a + j ≥ lim sup a − ut a ≥ lim inf a − ut a ≥ inf a + j .j∈Jt∈Tt∈Tj∈JDamit ist (3.2.1) gezeigt. Aus (3.2.1) folgt nun für alle a ∈ A und j ∈ JWir nehmen das Infimum über alle j ∈ J und erhalten‖a + J‖ = limt∈T a − ut a 2 = limt∈T (a − ut a)(a − u t a) ∗ = limt∈T (e − ut )(aa ∗ + j)(e − u t ) ≤ aa ∗ + j .‖a + J‖ 2 ≤ aa ∗ + J ≤ ‖a + J‖ a ∗ + J .Also ist A/J eine C ∗ -Algebra (vgl. 2 Übung, Aufgabe 4 d).40

Satz 3.2.6. Seien A, B C ∗ -Algebren und W : A → B ein ∗-Homomorphismus. Dann gilt(i) W ist stetig und ‖W ‖ ≤ 1.(ii) Ist W injektiv, so ist W Isometrie.(iii) W (A) ist abgeschlossen in B und folglich eine C ∗ -Unteralgebra von B.Beweis.(i) Dies ist Satz 1.4.16(ii) Angenommen W ist keine Isometrie. Dann gibt es ein b ∈ A mit ‖b‖ = 1 und ‖W (b)‖ < 1 (beachte Teil (i)). Füra := b ∗ b ist dann ‖a‖ = 1 und ‖W (a)‖ = 1 − ɛ mit einem ɛ ∈ (0, 1]. Wir wählen eine Funktion f ∈ C[0, 1] mitf (1) = 1 und f (x) = 0 für alle x ∈ [0, 1−ɛ]. Mit dem stetigen Funktionalkalkül definieren wir f (a) als Elementder kleinsten abgeschlossenen Unteralgebra à a von Ã, welche a und e enthält. Wegen σ(f (a)) = f (σ(a)) und1 ∈ σ(f (a)) und daher insbesondere f (a) ≠ 0. Nun liegt wegen der speziellen Wahl von f das Element f (a)aber bereits in A (↗ Übung). Es ist daher W (f (a)) ≠ 0 (da anderenfalls W nicht injektiv wäre), und folglichenthält σ(W (f (a))) wenigstens einen Punkt ≠ 0. Nun ist aber W (p(a)) = p(W (a)) für jedes Polynom undfolglich W (f (a)) = f (W (a)) (Streng genommen müssen wir hierfür W auf à oder wenigstens à a fortsetzen.Dies kann man wie im Beweis von Satz 1.4.16). Hieraus und aus dem Spektralsatz erhalten wir:σ(W (f (a))) = σ(f (W (a))) = f (σ(W (a))) ⊂ f ([0, 1 − ɛ]) = {0}.(iii) Der Kern von W ist ein abgechlossenes Ideal von A, und A/ ker W ist eine C ∗ -Algebra. Der HomomorphismusW induziert einen ∗-HomomorphismusW π : A/ ker W → B, a + ker W → W (a),dessen Bild mit dem von W übereinstimmt und der injektiv ist. Nach (ii) ist W π eine Isometrie. Hieraus folgtdie Abgeschlossenheit von Im W = Im W π . Die übrigen Aussagen sind leicht zu sehen.Satz 3.2.7. Sei A eine C ∗ -Algebra, B C ∗ -Unteralgebra von A und J abgechlossenes Ideal von A. Dann ist B + J (=algebraische Summe !) die kleinste C ∗ -Unteralgebra von A, welche B und J umfasst.Beweis. Offenbar ist B+ J die kleinste symmetrische Unteralgebra von A die B und J enthält. Die Abgeschlossenheitvon B + J erhalten wir so: Sei π : A → A/J der kanonische Homomorphismus. Nach Satz 3.2.6 ist π(B) in A/Jabgeschlossen. Dann ist aber auch π −1 (π(B)) = B + J abgeschlossen.3.3 Positive Funktionale und ZuständeSei A eine C ∗ -Algebra. Ein lineares Funktional f : A → heißt postiv, wenn f (a) ≥ 0 für alle positiven a ∈ A. Einstetiges (vgl. Satz 3.2.3 unten) positives Funktional f auf A heißt Zustand, wenn f = 1.Beispiel 3.3.1. Sei Hilbertraum und A symmetrisch und abgeschlossene Unteralgebra von L( ). Für jedes x ∈ ist dannA x : A → , A → 〈Ax, x〉 (3.3.2)ein positives Funktional auf A. Jeder positive Operator A ∈ A ist nämlich das Quadrat eines selbstadjungiertenOperator B (s. Lemma 3.1.1), und daher ist〈Ax, x〉 = 〈B 2 x, x〉 = 〈Bx, Bx〉 ≥ 0.Gehört I zu A und ist ‖x‖ = 1, so ist A x sogar ein Zustand von A. Zustände dieser Gestalt heißen Vektorzustände.Ist A eine kommutative C ∗ -Algebra, so ist jeder Charakter von A ein positives Funktional, und falls A ein Einslementbesitzt, sogar ein Zustand.Die positiven Funktionale in diesen Beispielen sind stetig. Dies ist kein Zufall.Satz 3.3.2. Positive Funktionale auf C ∗ -Algebren sind stetig41

Beweis. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein positives Funktional auf A. Hat A ein Einselement, so bezeichnen wir es mite. Anderfalls sei e das Einselement von Ã. Wir zeigen zuerst, dass f auf der Menge M := {a ∈ A : 0 ≤ a ≤ e} beschränktist. Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es eine Folge (x n ) ⊂ M mit f (x n ) → ∞. Sei (α n ) n∈ ⊂ + eine beliebige Folge∞∑aus l 1 . Wir betrachten das Element x := α n x n (beachte: Reihe konvergiert absolut). Für jedes m ∈ istund daher istn=1n=1m∑α n x n ≤ xn=1m∑m∑f ( α n x n ) = α n f (x n ) ≤ f (x).Wegen f (x n ) ≥ 0 folgt hieraus die Konvergenz der Reihen=1∞∑α n f (x n ). Da α n ∈ l 1 beliebig war, muss notwendig(f (x n )) n∈ ∈ l ∞ sein (l ∞ ist der duale Raum zu l 1 ). Dies ist Widerspruch zu unserer Annahme. Es gibt also ein C > 0mit f (x) ≤ C für alle x ∈ M. Sei nun x ein selbstadjungiertes Element mit ‖x‖ ≤ 1. Dann ist x = x + − x − mit positivenElementen x + und x − . Aus x + ≤ |x| ≤ e und x − ≤ |x| ≤ e folgt x ± ∈ M und somit f (x) ≤ f (x+ ) + f (x− ) ≤ 2C.Ist schließlich x ∈ A ein beliebiges Element mit ‖x‖ ≤ 1, so haben wir wegen 1 (x ± x ∗ ) ≤ 12Also ist f stetig mit f ≤ 4C.n=1 f (x) ≤ f ( 1 2 (x + x ∗ )) + f ( 1 2 (x − x ∗ )) ≤ 4C.Satz 3.3.3. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein positives Funktional auf A. Dann gilt(i) f (a ∗ b) 2 ≤ f (a ∗ a)f (b ∗ b) für alle a, b ∈ A(Cauchy-Schwarz)(ii) f ist symmetrisch, d.h. f (a ∗ ) = f (a) für alle a ∈ ABeweis.(i) Für beliebige a, b ∈ A und λ ∈ ist (a + λb) ∗ (a + λb) ≥ 0 (s. Satz 3.1.2(ii)) und daherf ((a + λb) ∗ (a + λb)) = |λ| 2 f (b ∗ b) + λf (b ∗ a) + λf (a ∗ b) + f (a ∗ a) ≥ 0 (3.3.3)Für λ = 1 bzw. λ = i erhält man insbesonderef (a ∗ b) + f (b ∗ a) ∈ bzw. i(f (a ∗ b) − f (b ∗ a)) ∈ .Hieraus folgt sofort (Nachrechnen!)f (a ∗ b) = f (b ∗ a) (3.3.4)Im Falle f (a ∗ b) = 0 gilt die zu beweisende Ungleichung offenbar. Sei also f (a ∗ b) ≠ 0. Wir ersetzen λ in (3.3.3)durch µf (a ∗ b)/ f (b ∗ a) , wobei µ ∈ . Dann geht (3.3.3) über inµ 2 f (b ∗ b) + 2µ f (a ∗ b) + f (a ∗ a) ≥ 0.Da dies für beliebiges µ ∈ gilt, muss f (a ∗ b) 2 ≤ f (a ∗ a)f (b ∗ b) sein.(ii) Sei (u t ) t∈T approximative Eins für A. Aus (3.3.4) folgt für alle a ∈ Af (a ∗ u t ) = f (u ∗ t a) = f (u t a).Wir nehmen auf beiden Seiten den Limes limt∈Tund beachten, dass f nach (Satz 3.3.2) stetig ist. Wir erhaltendann f (a ∗ ) = f (a) für alle a ∈ A42

Satz 3.3.4. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein lineares Funktional auf A. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:(i) f ist positiv.(ii) f ist stetig und für jede approximative Eins (u t ) t∈T von A gilt limt∈Tf (u t ) = f .(iii) f ist stetig und es gibt eine approximative Eins (u t ) t∈T von A mit limt∈Tf (u t ) = f .Beweis.(i) ⇒ (ii): Positive Funktionale sind stetig (Satz 3.3.2). Sei (u t ) t∈T approximative Eins von A. Dann ist t → f (u t )ein monoton wachsendes Netz von T in + , welches wegen f (u t ) = f (ut ) ≤ f nach oben beschränkt ist.Folglich existiert der Grenzwert α := lim f (u t ), und es ist 0 ≤ α ≤ f . Falls f = 0, so ist auch α = 0, und est∈Tist nichts mehr zu zeigen. Sei f ≠ 0. Nach Cauchy Schwarz ist für alle a ∈ A mit ‖a‖ ≤ 1 f (ut a) 2 ≤ f (u 2 t )f (a∗ a) ≤ f (u t ) f (3.3.5)(beachte, dass u 2 t ≤ u t da u t ≥ 0 und ut ≤ 1). Grenzübergang bezüglich t ∈ T in (3.3.5) liefert f (a) 2≤ α f für alle a ∈ A mit ‖a‖ ≤ 1und damit f 2 = sup f (a) 2 ≤ α f bzw. f ≤ α‖a‖≤1(ii) ⇒ (iii): Das ist leicht.(iii) ⇒ (i): Sei f stetig und (u t ) t∈T approximative Eins mit f (u t ) → f . Für f = 0 ist nichts weiter zu zeigen.Sei also f ≠ 0. Wir zeigen zuerst, dass f symmetrisch ist. Dafür genügt es zu zeigen, dass f selbstadjungierteElemente in reelle Zahlen überführt.Sei a ∈ A selbstadjungiert und ‖a‖ = 1. Wir schreiben f (a) als α + iβ mit α, β ∈ und nehmen o.E.d.A. an,dass β ≥ 0 (andernfalls ersetzen wir a durch −a).Für jedes n ∈ finden wir ein t n ∈ T so, dassFür alle t ≻ t n ist dannWeiter haben wir nach Voraussetzung ut a − au t 0 findet man daher ein t ɛ so, dass(n f + β) 2 + α 2 − ɛ ≤ f (nut − ia) 2 für alle t ≻ t ɛ (3.3.7)Wir wählen nun zu gegebenem n ∈ und ɛ > 0 ein t ∈ T, welches sowohl größer als t n als auch größer als t ɛist. Für dieses t gilt nach (3.3.6) und (3.3.7):(n f + β) 2 + α 2 − ɛ ≤ f (nut − ia) 2≤ f 2 nut − ia 2 ≤ (n 2 + 2) f 2Wir erhalten also die für alle n ∈ und ɛ > 0 gültige Ungleichung(n f + β) 2 + α 2 − ɛ ≤ (n 2 + 2) f 243

zw.2βn f + β 2 + α 2 − ɛ ≤ 2 f 2Wegen f > 0 impliziert dies β = 0. Das Funktional f ist also symmetrisch.Sei nun a ∈ A ein positives Element mit ‖a‖ = 1. Dann ist für jedes t ∈ T das Element u t − a selbstadjungiertund daher (wie soeben gezeigt) f (u t − a) reell. Folglich istf (u t − a) ≤ f ut − a bzw.f (u t − a) ≤ ut − u t a + u t a − a f ≤ ( ut − u t a + ut a − a ) f (3.3.8)Nun ist ut − a ≤ 1 für alle t. Um dies einzusehen, betten wir nötigenfalls A in eine C ∗ -Algebra à mitEinselement e isometrisch ein. Dann ist ut − u t a A= ut − u t a Ã= ut e − u t a ÃWir können also (3.3.8) weiter abschätzen durch≤ utÃ‖e − a‖à ≤ utA≤ 1f (u t ) − f (a) ≤ (1 + ut a − a ) f Grenzübergang bzgl. t ∈ T liefert f − f (a) ≤ f , d.h. f (a) ≥ 0Folgerung 3.3.5. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins e. Dann sind folgende Aussagen äquivalent für ein lineares Funktionalf auf A:(i) f ist positiv(ii) f ist stetig und f = f (e)und auch die folgenden Aussagen sind äquivalent(iii) f ist Zustand(iv) f ist stetig und f = f (e) = 1Beweis. Die Äquivalenz von (i) und (ii) folgt sofort aus Satz 3.3.4, wenn wir als approximative Eins die konstanteFolge (e) n∈ wählen. Die Äquivalenz von (iii) und (iv) ist eine unmittelbare Folge von (i)⇔(ii).Folgerung 3.3.6. Die Menge S(A) der Zustände einer C ∗ -Algebra mit Eins ist konvex und ∗ -schwach kompakt.Beweis. Seien f , g ∈ S(A) und µ ∈ [0, 1]. Dann ist µ f + (1 − µ)g ein stetiges Funktional mit (µf + (1 − µ)g)(e) =µ + (1 − µ) = 1 sowie µ f + (1 − µ)g ≤ µ f + (1 − µ) g ≤ 1Wegen (µ f +(1−µ)g)(e) = 1 und ‖e‖ = 1 folgt schließlich µ f + (1 − µ)g ≥ 1. Nach Folgerung 3.3.5 ist µ f +(1−µ)gein Zustand.Sei noch (f t ) t∈T ein Netz von Zuständen, welches ∗ -schwach gegen ein Funktional f ∈ A ′ mit f ≤ 1 konvergiert.Nach Definition der ∗ -schwachen Konvergenz ist dann für jedes a ∈ A0 ≤ f t (a ∗ a) −→ f (a ∗ a),d.h. f ist positiv und weiter1 = f t (e) −→ f (e),d.h. f = 1 und f (e) = 1. Also ist f ∈ S(A), d.h. S(A) ist abgeschlossene Teilmenge der (nach Banach-Alaoglu)∗ -schwach kompakten Einheitskugel von A ′ .S(A) heißt der Zustandsraum von A.44

3.4 DarstellungenDefinition 3.4.1. Eine Darstellung einer C ∗ -Algebra A ist ein Paar ( , π), bestehend aus einem Hilbertraum undeinem ∗ -Homomorphismus π von A in L( ).Eine Darstellung ( , π) von A heißt treu (faithful), wenn ker π = {0}. Ist ( , π) eine treue Darstellung, so ist Aisometrisch ∗ -isomorph zu einer C ∗ -Unteralgebra von L( ). Für jede C ∗ -Algebra A istπ : A −→ L( ), a → 0eine Darstellung; die sogenannte ”triviale” Darstellung. Der ”triviale” Teil einer Darstellung wird durch den Unterraum 0 := {x ∈ : π(a)x = 0 ∀a ∈ A}von charakterisiert. Darstellungen mit 0 = {0} heißen nicht-entartet. Schließlich nennen wir eine Darstellung( , π) von A zyklisch, wenn es einen Vektor x ∈ gibt, so dass die Menge {π(a)x : a ∈ A} dicht in liegt. DerVektor x heißt dann auch (topologisch) zyklisch.Lemma 3.4.2. Zyklische Darstellungen sind nicht entartet.Beweis. Sei π(a)y = 0 für alle a ∈ A und x ∈ sei ein zyklischer Vektor für ( , π). Dann gibt es eine Folge (a n ) ⊆ A,so dass lim π(a n )x = y. Weiter sei (u t ) t∈T eine approximative Eins in A. Für alle n ∈ und t ∈ T gilt dann y ≤≤ y − π(an )x + π(an )x − π(u t a n )x + π(ut a n )x − π(u t )y y − π(an )x + ‖π‖ an − u t a n ‖x‖ + π(ut ) π(an )x − y ≤ 2 y − π(an )x + an − u t a n ‖x‖ .Für vorgegebenes ɛ > 0 wählen wir ein n, so dass y − π(an )x < ɛ/4 und dann ein t so, dass an − u t a n 0, d.h. y = 0.Ist ( 1 , π 1 ) eine Darstellung von A und 2 ein weiterer Hilbertraum, für den ein unitärer Operator U von 1 auf 2 existiert, so ist ( 2 , π 2 ) mitɛ2‖x‖ .π 2 (a) = Uπ 1 (a)U ∗ ∀a ∈ A (3.4.9)eine weitere Darstellung von A. Zwei Darstellungen ( 1 , π 1 ), ( 2 , π 2 ) von A heißen unitär äquivalent, wenn es einenunitären Opterator U : 1 −→ 2 gibt, so dass (3.4.9) erfüllt ist. Unitär äquivalente Darstellungen werden in derRegel nicht voneinander unterschieden.3.5 Die GNS-KonstruktionDie folgende Konstruktion geht auf Gelfand/Naimark (1943) und Segal (1947) zurück.Satz 3.5.1. Sei A eine C ∗ -Algebra und f ein positives Funktional auf A. Dann gibt es eine zyklische Darstellung( f , π f ) mit einem zyklischen Vektor ξ f ∈ f , so dass ξf 2= f undf (a) = 〈π f (a)ξ f , ξ f 〉 ffür alle a ∈ ADiese Darstellung ist eindeutig bis auf unitäre Äquivalenzen.Beweis. Im ersten Schritt zeigen wir, dass die MengeJ f := {j ∈ A : f (j ∗ j) = 0}ein Linksideal von A ist. Seien j, k ∈ J f . Dann ist (j + k) ∗ (j + k) = j ∗ j + k ∗ k + j ∗ k + k ∗ j. Nach Definition ist f (j ∗ j) =f (k ∗ k) = 0. Mit Cauchy-Schwarz folgt weiter f (j ∗ k) 2 ≤ f (j ∗ j)f (k ∗ k) = 0, d.h. f (j ∗ k) = 045

und analog f (k ∗ j) = 0. Also ist f ((j + k) ∗ (j + k)) = 0, d.h. j + k ∈ J f . Weiter ist für jedes a ∈ A : a ∗ a ≤ ‖a ∗ a‖ e (hierist e das Einselement in Ã), und nach Satz 3.1.4(ii) ist j ∗ a ∗ a j ≤ ‖a ∗ a‖ j ∗ j für alle j ∈ J f .Da f positiv ist, folgt0 ≤ f ((a j) ∗ (a j)) = f (j ∗ a ∗ a j) ≤ f ( a ∗ a j ∗ j) ≤ ‖a‖ 2 f (j ∗ j) = 0,d.h. es ist a j ∈ J f für alle j ∈ J f .Bilden wir den (linearen) Faktorraum A/J f , dessen Elemente die Nebenklassen x a := a + J f der Elemente aus A sind.Auf A/J f definieren wir〈x a , x b 〉 := f (b ∗ a) ∀a, b ∈ A (3.5.10)Wir zeigen im nächsten Schritt, dass diese Definition korrekt ist und eine positiv-definite Sesquiliniarform auf A/J fliefert.Seien a, b ∈ A und j, k ∈ J f , dann istf ((b + k) ∗ (a + j)) = f (b ∗ a) + f (b ∗ j) + f (k ∗ a) + f (k ∗ j).Mit Cauchy-Schwarz sieht man wie oben, dass die letzten drei Summanden verschwinden. Also istf ((b + k) ∗ (a + j)) = f (b ∗ a),die rechte Seite von (3.5.10) und damit von der konkreten Wahl der Repräsentanten der Nebenklassen x a , x b unabhängig.Die Sesquilinearität von (3.5.10) ist nun offensichtlich, ebenso wie die positive Definitheit: aus f (a ∗ a) = 0 folgt nämlichlaut Definition a ∈ J f d.h. x a = 0. Wegen der Positivität von f ist schließlich f (a ∗ a) ≥ 0∀a ∈ A.Sei f die Vervollständigung von A/J f bezüglich der durch das Skalarprodukt (3.5.10) definierte Norm. f wird aufnatürliche Weise zu einem Hilbertraum, dessen Skalarprodukt wir mit 〈·, ·〉 oder 〈·, ·〉 fbezeichnen.Erklären wir nun für jedes a ∈ A einen Operator π f (a) auf dem dichten Teilraum A/J f von f durch π f (a)x b := x ab .Für jedes j ∈ J f ist offenbar x a(b+j) = x ab+a j = x ab . Damit ist die Definition korrekt und sie liefert einen linearenOperator auf A/J f . Weiter ist πf (a)x 2b = 〈xab , x ab 〉 = f (b ∗ a ∗ ab) ≤ a ∗ a f (b ∗ b) = ‖a‖ 2 A x 2b fd.h. π f (a) ist auf A/J f stetig und πf (a) ≤ ‖a‖. Wir können daher πf (a) stetig zu einem auf ganz f definiertenOperator fortsetzen, den wir wieder mit π f (a) bezeichnen. Die so erklärte Abbildung π f : A −→ L( f ) ist ein∗ -Homomorphismus. Es ist nämlichπ f (a)π f (b)x c = x a(bc) = x (ab)c = π f (ab)x c ∀a, b, c ∈ A.Also stimmen π f (a)π f (b) und π f (ab) auf einem dichten Teilraum von f überein, woraus die Multiplikativität vonfolgt. Die Symmetrie erhält man ähnlich aus der für alle a, b, c ∈ A gültigen Identitätπ f〈π f (a)x b , x c 〉 = 〈x ab , x c 〉 = f (c ∗ ab) = f ((a ∗ c) ∗ b)= 〈x b , x a ∗ c〉 = 〈x b , π f (a ∗ )x c 〉,woraus π f (a) ∗ = π f (a ∗ ) folgt.Also ist ( f , π f ) eine Darstellung von A. Wir zeigen nun, dass diese zyklisch ist. Sei (u t ) t∈T approximative Eins inA. Für alle s < t ist xut − x 2us = f ((ut − u s ) 2 ) ≤ f (u t − u s ),und wegen limt∈Tf (u t ) = f (Satz 3.3.4) konvergiert das Netz (xut ) t∈T in f . Sein Grenzwert sei ξ f . Für jedes a ∈ Aist dannπ f (a)ξ f = limt∈Tπ f (a)x ut = limt∈Tx aut = x a (3.5.11)(Stetigkeit des Operators π f (a) ∈ L( f ) sowie des kanonischen Homomorphismus a → x a ). Da die Menge {x a } a∈Adicht in f liegt, ist ξ f ein zyklischer Vektor und (H f , π f ) zyklische Darstellung von A. Schließlich ist für alle a ∈ A〈π f (a ∗ a)ξ f , ξ f 〉 = 〈π f (a)ξ f , π f (a)ξ f 〉 (3.5.11)= 〈x a , x a 〉 = f (a ∗ a),46

woraus wegen der Linearität von π fElemente aus A ist, folgt:und f sowie aus der Tatsache, dass jedes b ∈ A Linearkombination positiver〈π f (b)ξ f , ξ f 〉 = f (b) für alle b ∈ ASetzen wir hierin b = u t und beachten (3.5.11), folgtGrenzübergang bzgl. t ∈ T liefert mit Satz 3.3.4〈x ut , ξ f 〉 = f (u t ) für alle t ∈ T〈ξ f , ξ f 〉 = f , d.h. ξf 2= f .Es verbleibt noch die Eindeutigkeit der gefundenen Darstellung nachzuweisen. Sei A eine C ∗ -Algebra, f ein positivesFunktional auf A und ( 1 , π 1 ) sowie ( 2 , π 2 ) seien zyklische Darstellungen von A mit zyklischen Vektoren ξ 1 ∈ 1 ,ξ 2 ∈ 2 , so dassf (a) = 〈π 1 (a)ξ 1 , ξ 1 〉 1 = 〈π 2 (a)ξ 2 , ξ 2 〉 2∀a ∈ AFür alle a ∈ A ist dann π1 (a)ξ 1 2 1= 〈π 1 (a)ξ 1 , π 1 (a)ξ 1 〉 1 = 〈π 1 (a ∗ a)ξ 1 , ξ 1 〉 1 = f (a ∗ a)und analog π2 (a)ξ 2 2= f (a ∗ a). Falls also π 1 (a)ξ 1 = π 1 (b)ξ 1 für zwei Elemente a, b ∈ A gilt, so ist auch π 2 (a)ξ 2 =π 2 (b)ξ 2 . Es ist daher korrekt auf der in 1 dichten Menge {π 1 (a)ξ 1 : a ∈ A} einen Operator U durchzu erklären. Dieser Operator erhält Skalarprodukte:U : π 1 (a)ξ 1 → π 2 (a)ξ 2〈Uπ 1 (a)ξ 1 , Uπ 1 (b)ξ 1 〉 2 = 〈π 2 (a)ξ 2 , π 2 (b)ξ 2 〉 2 = 〈π 2 (b ∗ a)ξ 2 , ξ 2 〉 2= f (b ∗ a) = 〈π 1 (b ∗ a)ξ 1 , ξ 1 〉 1 = 〈π 1 (a)ξ 1 , π 1 (b)ξ 1 〉 1 .Der Operator U kann daher zu einem unitären Operator von 1 auf 2 fortgesetzt werden. Dieser vermittelt dieÄquivalenz von ( 1 , π 1 ) und ( 2 , π 2 ).Das nächste Resultat zeigt, dass eine C ∗ -Algebra immer ”genügend viele”positive Funktionale und zugehörige zyklischeDarstellungen besitzt.Satz 3.5.2. Sei A eine C ∗ -Algebra und a ∈ A. Dann gibt es einen Zustand f von A, so dassf (a ∗ a) = ‖a‖ 2Ist ( f , π f ) die dem Zustand f vermöge Satz 3.5.1 zugeordnete Darstellung, so gilt πf (a) = ‖a‖Beweis. Betrachen wir den linearen TeilraumL := {λe + µa ∗ a : λ, µ ∈ }der Algebra à und definieren auf L ein Funktional f durchf (λe + µa ∗ a) := λ + µ a ∗ a .(Diese Operation ist natürlich korrekt, wenn e und a ∗ a linear unabhängig sind. Anderfalls vereinfacht sich der Beweisnur ↗ H.A.) Wegen a ∗ a ≥ 0 ist ‖a ∗ a‖ ∈ σ(a ∗ a) und aus dem Satz von Gelfand-Naimark für kommutative C ∗ -Algebrenfolgt für alle λ, µ ∈ λ + µ a ∗ a ≤ sup{ λ + µt : t ∈ σ(a ∗ a)} = λe + µa ∗ a .47

Somit ist f auf L stetig und f ≤ 1. Weiter ist offenbar f (e) = 1 und daher f = f (e) = 1.Nach Hahn-Banach kann das Funktional f unter Beibehaltung seiner Norm zu einem stetigen Funktional ˜f auf ganzà fortsetzen. Sei g die Einschränkung von ˜f auf A. Dann ist natürlich g ein positives Funktional mit Norm ≤ 1. Ausg(a ∗ a) = ˜f (a ∗ a) = f (a ∗ a) = a ∗ a folgt, dass g = 1 und g(a ∗ a) = ‖a‖ 2 . Damit ist g Zustand von A mit den gewünschten Eigenschaften.Für die zu g gehörende zyklische Darstellung ( g , π g ) mit zyklischem Vektor ξ g gilt nach Satz 3.5.1: ξg 2= g .Daher ist‖a‖ 2 = g(a ∗ a) = 〈π g (a ∗ a)ξ g , ξ g 〉 = 〈π g (a)ξ g , π g (a)ξ g 〉= πg (a)ξ 2g ≤ πg (a) 2 g = πg (a) 2 .Es ist also ‖a‖ ≤ πg (a) und die umgekehrte Ungleichung πg (a) ≤ ‖a‖ folgt aus πg ≤ 1 nach Satz 3.2.6(a).Familien (( t , π t )) t∈T von Darstellungen einer Algebra A können zu einer einzigen Darstellungen von A ”verklebt”werden. Dazu erinnern wir uns an den Begriff der direkten Summe ⊕ t einer Familie ( t ) t∈T von Hilberträument∈T t über einer beliebigen Indexmenge T. Die direkte Summe besteht aus allen Funktionen f : T → ⋃ t , welche imPunkt t ∈ T einen Wert in t annehmen und für die ∑ f 2 := f (t) 2< ∞. (3.5.12) tt∈TDiese Bedingung hat man wie folgt zu verstehen: Die endlichen Teilmengen von T bilden bezüglich der Inklusion ⊆eine gerichtete Menge . Forderung (3.5.12) bedeutet, dass das Netz∑ → , F → f (t) 2 tgegen die endliche Zahl ∑ t∈T f (t) 2konvergiert. Für f , g ∈ ⊕ t t wird durcht∈T〈f , g〉 := limF∈∑t∈Ft∈F〈f (t), g(t)〉 tein Skalarprodukt definiert, welches ⊕ t∈T t zu einem Hilbertraum macht. Ist nun (( f , π f )) t∈T eine Familie vonDarstellungen von A, so kann man eine neue Darstellung ( , π) von A definieren, indem man = ⊕ t∈T t wählt undfür jedes a ∈ A den Operator π(a) auf durcht∈T(π(a)f )(t) = π t (a)f (t),t ∈ Terklärt. Man schreibt dann auch ( , π) = ⊕ t∈T( t , π t ) und nennt ( , π) die direkte Summe der Darstellung(( f , π f )) t∈T .Wir erhalten nun leicht den Beweis des folgenden allgemeinen Satzes von Gelfand und Naimark, welcher aussagt, dasses für jede C ∗ -Algebra eine treue Darstellung gibt.Satz 3.5.3. Jede C ∗ -Algebra A ist isometrisch ∗ -isomorph zu einer C ∗ -Algebra von linearen stetigen Operatoren aufeinem Hilbertraum Beweis. Für jeden Zustand f von A sei ( f , π f ) die nach Satz 3.5.1 konstruierte zyklische Darstellung von A undes sei ( , π) =⊕( t , π t ) die direkte Summe dieser Darstellungen. Für jedes a ∈ A gibt es nach Satz 3.5.2 einf ∈ (A)f ∈ (A) mit ‖a‖ = πf (a) . Folglich ist‖π(a)‖ ≥ πf (a) = ‖a‖ .Andererseits wissen wir aus Satz 3.2.6(a), dass ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖ für jedes a ∈ A ist. Folglich ist π eine Isometrie.48

Bemerkung 3.5.4. Ist die Algebra A separabel, so kann als separabler Hilbertraum gewählt werden. Wegen derSeparabilität von A ist nämlich jeder der Räume f = clos{π f (a)x f : a ∈ A}separabel. Ist (a n ) n∈ eine dichte Teilfolge aus A, so wählt man für jedes n eine Darstellung (gemäß Satz 3.5.2) ( n , π n )mit πn (a n ) ⊕= an. Dann ist n separabel und ⊕ ( n , π n ) eine treue Darstellung von A.n∈ n∈Beispiel 3.5.5. Was liefert die GNS-Konstruktion für die Algebra C(X ) der stetigen Funktionen auf einem HausdorffschenKompakt X ? Die positiven Funktionale werden durch folgenden Satz identifiziert:Satz 3.5.6 (Riesz/Markov). Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf C(X ) gibt es ein eindeutig bestimmtes Baire-Maßµ auf X , so dass∫(↗Reed/Simon I, Theorem IV. 14)ϕ(f ) =Xf dµ für alle f ∈ C(X ).Zur Erinnerung: Eine Teilmenge von X heißt G δ -Menge, wenn sie abzählbarer Durchschnitt offener Mengen ist. EineTeilmenge von X heißt Bairemenge (bzw. Borelmenge), wenn sie ein Element der kleinsten σ-Algebra ist, die allekompakten G δ -Mengen (bzw. alle offenen Mengen) enthält. Ein Bairemaß (bzw. Borelmaß) ist ein Maß auf der Mengealler Baire- (bzw. Borel-)mengen mit µ(X ) < ∞. Bairemengen sind Borelmengen und man kann Bairesche Maße auf dieMenge der Borelmengen fortsetzen. Von solchen Fortsetzungen gibt es mehrere; es gibt jedoch genau eine Fortsetzungzu einem regulären Borelmaß. Dabei heißt ein Borelmaß µ regulär, wenn für jede Borelmenge Y gilt:µ(Y ) =inf{µ(O) : Y ⊆ O, O offen}= sup{µ(C) : C ⊆ Y, C kompakt}.Es gibt also eine eindeutige Zuordnung zwischen Baireschen und regulären Borelmaßen.Ist nun ϕ ein positives Funktional auf C(X ) und µ das entsprechende Bairesche (oder reguläre Borel-) Maß, so liefertdie GNS-Konstruktion für ϕ grade den Raum L 2 (X , µ) und π ϕ liefert die Darstellung einer Funktion f ∈ C(X ) alsMultiplikationsoperatorf I : L 2 (X , µ) −→ L 2 (X , µ), a → f a.Als zyklischer Vektor kann die Funktion ξ ϕ (x) = 1 für alle x ∈ X dienen. Umgekehrt initiiert die abstrakte GNS-Konstruktion grade die Konstruktion des Lebesgueraumes L 2 (X , µ) für ein konkretes Maß µ.3.6 Irreduzible DarstellungenSei ein Hilbertraum und M ⊆ L( ). Ein linearer (nicht notwendig abgeschlossener) Teilraum 1 von heißtinvariant bezüglich M, wennA 1 ⊆ 1 für alle A ∈ M.Ist 1 abgeschlossener Teilraum von und P 1 der Orthoprojektor von auf 1 , so ist 1 genau dann invariantfür M, wennFalls M symmetrisch ist, so ist 1 genau dann invariant bezüglich M, fallsAus (3.6.13) folgt nämlich für alle A ∈ Mwährend umgekehrt (3.6.14) offenbar (3.6.13) impliziert.P 1 AP 1 = AP 1 für alle A ∈ M. (3.6.13)P 1 A = AP 1 für alle A ∈ M. (3.6.14)P 1 A = (A ∗ P 1 ) ∗ = (P 1 A ∗ P 1 ) ∗ = P 1 AP 1 = AP 1 ,49

Für 2 := ⊥1ist P 2 = I − P 1 . Die Beziehung (3.6.14) zeigt also, dass für symmetrisches M mit 1 auch 2invarianter Teilraum ist und dassA = P 1 AP 1 + P 2 AP 2für alle A ∈ MIst nun ( , π) eine Darstellung einer C ∗ -Algebra A und 1 ein abgeschlossener invarianter Teilraum bzgl. π(A), sowerden durchπ 1 : A → L( 1 ), a → π(a)| 1 ,π 2 : A → L( 2 ), a → π(a)| 2zwei Darstellungen ( 1 , π 1 ) und ( 2 , π 2 ) von A geliefert, so dass ( , π) gerade die direkte Summe dieser Darstellungenist. Wir betrachten nun Darstellungen, die nicht auf diese Weise zerlegt werden können.Definition 3.6.1. Eine Darstellung ( , π) einer C ∗ -Algebra A mit π(A) ≠ {0} heißt topologisch irreduzibel, wenn{0} und die einzigen abgeschlossenen und bzgl. π(A) invarianten Teilräume von sind. Die Darstellung heißtalgebraisch irreduzibel, wenn {0} und die einzigen bzgl. π(A) invarianten Teilräume von sind.Satz 3.6.2 (Lemma von Schur). Folgende Aussagen sind äquivalent für eine Darstellung ( , π) einer C ∗ -Algebra mitπ(A) ≠ {0}:(i) ( , π) ist topologisch irreduzibel.(ii) Der Kommutant π(A) ′ := {B ∈ L( ) : Bπ(a) = π(a)B∀a ∈ A} stimmt mit I überein.(iii) Jeder Vektor x ∈ \ {0} ist topologisch zyklisch bzgl. π(A), d.h. clos{π(a)x : a ∈ A} = .Beweis.(i) ⇒ (ii): Sei ( , π) topologisch irreduzibel und B ∈ π(A) ′ . Schreiben wir B als C + iD mit selbstadjungiertenOperatoren C und D. Wegen π(A) ∗ = π(A ∗ ) ist π(A) ′ eine symmetrische Unteralgebra von L( ). Insbesonderegilt also C, D ∈ π(A) ′ .Angenommen σ(C) enthält zwei verschiedene Punkte λ ≠ µ. Mit dem Uryson’schen Lemma wählen wir zweiauf σ(C) stetige Funktionen f und g mit f (λ) = 1, g(µ) = 1, f (x)g(x) = 0 für alle x ∈ σ(C). Dann ist auchf (C)g(C) = 0. (3.6.15)Nun ist (wie man sich leicht klarmacht) π(A) ′ abgeschlossen in L( ). Mit C liegt daher auch g(C) in π(A) ′ .Damit muss clos(g(C) ) ein bzgl. π(A) invarianter abgeschlossener Teilraum von sein. Wegen g(µ) = 1 istg(C) ≠ 0 und folglich clos(g(C) ) ≠ {0}. Da ( , π) topologisch irreduzibel ist, muss also clos(g(C) ) = sein, dh. g(C) ist dicht in . Aus (3.6.15) folgt dann sofort f (C) = 0. Dies steht im Widerspruch zuf (λ) = 1, was f (C) ≠ 0 impliziert. Damit ist klar, dass das Spektrum von C aus genau einem Punkt λ ∈ besteht. Das Spektrum von C − λI ist daher {0}. Da für selbstadjungierte Elemente Norm und Spektralradiusübereinstimmen, ist schließlichAnalog gilt D ∈ I und mithin B ∈ I.0 = r(C − λI) = ‖C − λI‖ bzw C = λI(ii) ⇒(iii): Sei x ∈ \ {0}. Dann ist 1 := clos {π(a)x : a ∈ A} ein bezüglich π(A) invarianter abgeschlossenerTeilraum von . Wegen (3.6.14) liegt der Orthoprojektor P 1 von auf 1 in π(A) ′ . Nach Annahme (ii)ist also P 1 = αI mit α ∈ . Die einzigen Orhoprojektoren der Gestalt αI hat man für α = 0 und α = 1. Imzweiten Fall ist P 1 = I, dh. 1 = .(iii) ⇒ (i): Sei M ≠ 0 invarianter bzgl. π(A) und abgeschlossener Teilraum von H und sei x ∈ M \ {0}. Aus derInvarianz folgt π(a)x ∈ M für jedes a ∈ A, und aus der Abgeschlossenheit von Mclos {π(a)x : a ∈ A} ⊆ M.Nach Annahme (iii) ist aber die linke Seite dieser Inklusion gleich , woraus M = folgt.Offenbar ist jede algebraische irreduzible Darstellung auch topologisch irreduzibel. Es ist bemerkenswert, dass auchdie Umkehrung gilt.50

Satz 3.6.3. Jede topologisch irreduzible Darstellung ( , π) einer C ∗ -Algebra A ist algebraisch irreduzibel.Für den Beweis dieser Aussage müssen wir uns mit Dichtheitsaussagen bzgl. verschiedener Topologien auf L( )befassen. Die folgenden Dichtesätze sind auch darüberhinaus von Interesse (Zitat aus Pedersen, 2.3.4: The densitytheorem is Kaplansky’s great gift to mankind. It can be used every day, and twice on Sundays.) Für jede TeilmengeM von L( ) ( - Hilbertraum) definieren wir ihren Kommutanten M ′ durchM ′ = {B ∈ L(H) : AB = BA∀A ∈ M}.Für M 1 ⊆ M 2 ist offenbar M ′ 2 ⊆ M ′ 1 . Wegen M ⊆ M ′′ impliziert diese Beobachtung:M ⊆ M ′′ = M (4) = M (6) = . . . ,M ′ = M ′′′ = M (5) = M (7) = . . . .Weiter zur ErinnerungDie schwache Operatortopologie ist die schwächste Topologie auf L( ), für die alle Mengen W A,x,y := {B ∈ L( ) :〈(A − B)x, y〉 < 1} offen sind. Alle Mengen der Gestalt ⋂ ni=1 W A i ,x i , y ibilden eine Basis der schwachen Topologie, undein Netz (A t ) t∈T konvergiert genau dann schwach gegen A ∈ L( ), wenn〈A t x, y〉 → 〈Ax, y〉 ∀x, y ∈ Die starke Operatortopologie wird völlig analog durch die Mengen {B ∈ L( ) : ‖(A − B)x‖ < 1} definiert. Ein Netz(A t ) t∈ konvergiert genau dann stark gegen A ∈ L( ), wenn(A t − A)x → 0 ∀x ∈ .Satz 3.6.4 (von Neumanns Satz über den Bikommutanten). Sei A eine C ∗ -Unteralgebra von L( ) mit ⋂ A∈Aker A = 0.Dann gilt:A ′′ = weak-clos A = strong-clos A.Beweis. Die starke Topologie ist stärker als die schwache. Folglich iststrong-clos A ⊆ weak-clos A.Außerdem ist jeder Kommutant schwach abgeschlossen. Da A ⊆ A ′′ , folgt also weak-clos A ⊆ A ′′ . zu zeigen ist alsoA ′′ ⊆ strong-clos A. Dazu zeigen wir, dass es in jeder starken Umgebung eines Operators T ∈ A ′′ einen Operator A ∈ Agibt. Dazu zeigen wir, dass es für jedes n und beliebige Vektoren x 1 , . . . , x n ∈ ein A ∈ A mit ∑ ni=1 (T − A)xi 2< 1gibt (die Mengen {B ∈ L( ) : ∑ ni=1 (B − A)xi 2< 1} bilden nämlich eine Umgebungsbasis für die starke Topologie).Sei zunächst n = 1, und P sei der Orthoprojektor von auf clos (Ax 1 ). Da clos (Ax 1 ) ein invarianter Teilraum für Aist, gilt PA = AP für alle A ∈ A (vgl.(3.6.14)), dh. es ist P ∈ A ′ . Für den Vektor y := (I − P)x 1 und für jedes A ∈ A giltnun:Ay = A(I − P)x 1 = (I − P)Ax 1 = (I − P)PAx 1 = 0.Nach Voraussetzung ist also y = 0, dh. x 1 = P x 1 . Sei nunT ∈ A ′′ . Dann ist P T = T P, woraus folgtT x 1 = T P x 1 = P T x 1 ∈ clos (Ax 1 ).Folglich gibt es ein A ∈ A mit (T − A)x1 < 1.Sei nun n ≥ 2. Wir bezeichnen mit n die direkte Summe von n Exemplaren des Hilbertraumes . Jedem OperatorA ∈ L( n ) kann man sich auf natürliche Weise als n × n-Matrix mit Einträgen in L( ) vorstellen. Mit π bezeichnenwir die Abbildungπ : L(H) → L(H n ), A → diag (A, . . . , A).Offenbar ist π ein injektiver ∗ -Homomorphismus, und man rechnet leicht nach, dassπ(A) ′ = {(B i j ∈ L(H n ) : B i j ∈ A ′ } = (A ′ ) n×n . (3.6.16)Sei nun T ∈ A ′′ und x 1 , . . . , x n vorgegeben. Wegen (3.6.16) liegt π(T) in π(A) ′′ . Wir sind nun in der gleichen Situationwie oben im Fall n = 1 und wenden die obigen Resultate an auf π(A), π(T), n und x := (x 1 , . . . , x n ) an Stelle vonA, T, und x 1 . Was folgt, ist die Existenz eines Operators π(A) ∈ π(A) so, dassbzw‖(π(T) − π(A))x‖ 2 < 1n∑ K=1 (T − A)xK 2< 1.51

C ∗ -Unteralgebren von L( ), die mit ihren Bikommutatoren übereinstimmen, heißen W ∗ -Algebren. Insbesondere istjede C ∗ -Algebra, die den Voraussetzungen von Satz 3.6.4 genügt, dicht in ihrem Bikommutanten (sowohl bzgl. derstarken als auch der schwachen Topologie). Man kann also z.B. jeden Operator T ∈ A durch ein stark konvergentesNetz von Operatoren aus A annähern. Dieses Netz kann aber unbeschränkt sein (Im Gegensatz zu Folgen müssenkonvergente Netze nicht beschränkt sein.) Diese “Schwäche“ des von Neumannschen Bikommutantensatzes wird imfolgenden Resultat behoben.Satz 3.6.5 (Dichtesatz von Kaplansky). Sei A eine C ∗ -Unteralgebra von L(H) mit ⋂ A∈Aker A = {0}. Dann ist dieEinheitskugel von A sa (= Menge der selbstadjungierten Elemente) stark-dicht in der Einheitskugel von A ′′saund dieEinheitskugel von A ist stark-dicht in der Einheitskugel von A ′′ . Ferner sind auch die positiven Kontraktionen ausA stark-dicht in der Menge der positiven Kontraktionen von A ′′ und, falls A den identischen Operator enthält, dieunitären Elemente aus A liegen stark-dicht in der Menge der unitären Elemente aus A.Beweis. Wir beschränken uns auf den Beweis der ersten beiden Behauptungen. Als Vorüberlegung betrachen wir dieFunktionf : → , t →2tt 2 + 1 .Diese ist stetig auf , ihre Werte liegen in [−1, 1], und sie bildet das Intervall [−1, 1] bijektiv auf sich selbst ab.Für jeden s.a. Operator A ∈ L( ) kann daher f (A) gebildet werden. Aus dem Spektralsatz folgt nun: Für jede C ∗ -Unteralgebra A von L( ) bildet f die Menge A sa in der Einheitskugel von A sa ab, und f bildet die Einheitskugel vonA sa sogar bijektiv auf sich selbst ab. Weiter haben wir für alle A, B, ∈ L(J) die Identität12 (f (A) − f (B)) = (I + A2 ) −1 (A(I + N 2 ) − (I + A 2 )B)(I + B 2 ) −1= (I + A 2 ) −1 (A − B)(I + B 2 ) −1 + (I + A 2 ) −1 A(B − A)B(I + B 2 ) −1= (I + A 2 ) −1 (A − B)(I + B 2 ) −1 + 1 f (A)(B − A)f (B).4Die Faktoren (I + A 2 ) −1 und f (A) sind durch 1 beschränkt. Für jedes x ∈ H ist daher f (A)x − f (B)x ≤ 2 (A − B)(I + B 2 ) −1 x 1 + (A − B)f (B)x .2Dies zeigt, dass f eine stark stetige Funktion auf L( ) sa ist, dh. wenn ein Netz (A t ) t∈T ⊆ L( ) sa stark gegenB ∈ L( ) sa konvergiert, so konvergiert f (A t ) stark gegen f (B).Nun zum Beweis. Wir wollen zeigen, dass die Einheitskugel von A sa stark dicht in der einheitskugel von A ′′saist. SeiT ∈ A ′′saund ‖T‖ ≤ 1. Wie wir oben gesehen haben, gibt es einen (eindeutig bestimmten) Operator R ∈ A′′samit‖R‖ ≤ 1, für den f (R) = T.Nach Satz 3.6.4 gibt es nun ein Netz (A t ) t∈T in A, welches schwach gegen R konvergiert. Da die Abbildung B → B ∗schwach stetig ist (aber eben nicht stark stetig, was uns viel Mühe bereitet) und da R selbstadjungiert ist, folgt:1R = weak- lim t∈T2 (A t + A ∗ t). (3.6.17)Wir benötigen aber ein Netz selbstadjungierter Operatoren, welches stark gegen R konvergiert. Um dieses Problem zulösen, machen wir einige Anleihen in der Funktionalanalysis. Den Beweis der folgenden Aussage findet man z.B. in[Davidson, C ∗ -Algebras by Example, Prop. 1.6.1]:Satz. Sei Hilbertraum. Ein lineares Funktional auf L( ) ist genau dann stark-stetig, wenn es schwach stetig ist.Jedes derartige Funktional ist von der GestaltA →n∑〈Ax i , y i 〉mit gewissen (endlich vielen) Vektoren x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ .i=1Bekanntlich sind abgeschlossene konvexe Mengen gleich dem Durchschnitt der abgeschlossenen Halbräume, die dieseMenge enthalten. Da Halbräume Funktionalen entsprechen, und da schwach-stetige und stark-stetige Funktionale unddamit auch schwach-abgeschlossene und stark-abgeschlossene Halbräume zusammenfallen, haben wir:Satz. Eine konvexe Teilmenge von L( ) ist genau dann stark abgeschlossen, wenn sie schwach abgeschlossen ist.52

Nun ist A sa sicher konvex, und mit A sa sind auch weak-clos A sa und strong-clos A sa konvex. Wie wir soeben gesehenhaben ist alsoweak-clos A sa = strong-clos A sa . (3.6.18)Nun folgt aus (3.6.17), dass R ∈ weak-clos A sa . Wegen (3.6.18) gibt es daher ein Netz (B s ) s∈S in A sa , welches starkgegen R konvergiert. Da f eine starkstetige Funktion ist, ist dann f (B s )) s∈S ein Netz in der Einheitskugel von A sa ,welches stark gegen f (R) = T konvergiert.Nun zeigen wir noch die Dichtheit der kompletten Einheitskugel von A in der von A ′′ . Sei T ∈ A ′′ mit ‖T‖ ≤ 1.Wir bilden die orthogonale Summe ⊕ und fassen jeden Operator aus L( ⊕ ) auf als 2 × 2-Matrix Einrägenaus L( ). Mit M ” (A) und M 2 (A ′′ ) bezeichnen wir die Mengen aller 2 × 2-Matrizen mit Einträgen aus A bzw. aus A ′′ .Man macht sich leicht klar, dass M 2 (A) und M 2 (A ′′ ) C ∗ -Unteralgebren von L( ⊕ ) sind und dassM 2 (A) ′′ = M 2 (A ′′ ) 0 T(vgl. Beweis von Satz 3.6.4). Der OperatorT ∗ ist dann ein Element der Einheitskugel von M02 (A ′′ ) sa . Erkann, wie wir oben gesehen haben, durch ein Netz aus der Einheitskugel von M 2 (A) sa stark approximiert werden:mitBtC tD t E t ≤ 1 undBtC tD t E t ∗=Btstrong- limBtC t=D t E t 0 TT ∗ 0C t. Offenbar ist dann Ct ≤ 1 undD t E tstrong- lim C t = T.Eine bemerkenswerte Folgerung, die uns auch unserem Ziel - dem Beweis von Satz 3.6.3 ganz nahe bringt, istSatz 3.6.6 (Transitivitätssatz von Kadison). Sei ( , π) topologisch irreduzible Darstellung einer C ∗ -Algebra. Weiterseien gegeben ein Operator T ∈ L( ), ein endlich-dimensionaler Teilraum K von , und ein ɛ > 0. Dann existiertein a ∈ A so, dassπ(a)| K = T| K und ‖a‖ ≤ ‖T‖ + ɛBeweis. Wir zeigen zuerst, dass es unter den Voraussetzungen des Satzes ein Element a ∈ A gibt mit‖a‖ ≤ T|K und π(a)|K − T| K < ɛ (3.6.19)Da ( , π) topologisch irreduzibel ist, folgt aus dem Schur’schen Lemma, dass π(A) ′ = I und damit π(A) ′′ = L( ).Nach dem Bikommutantensatz ist also strong-clos π(A) = L( )Sei o.E.d.A. T|K = 1 und S := T PK (P K ist der Orthoprojektor von auf K, und P K ist kompakt, da K endlichdimensionalist). Nach dem Dichtesatz von Kaplansky finden wir ein A 1 ∈ A mit π(a1 ) ≤ 1 so, dass (π(a1 ) − S)P K < ɛ/2(beachte Kompaktheit von P k ). Dann (↗ Übung) findet man aber auch ein a 2 ∈ A mit π(a 1 ) = π(a 2 ) und a2 ≤(1 − ɛ/2) −1 . Sei a := (1 − ɛ/2)a 2 . Dann ist ‖a‖ ≤ 1 (= T|K ) undDies beweist (3.6.19).Mit Hilfe von (3.6.19) wählen wir nun ein a 0 ∈ A mit (π(a) − T)|K ≤ (π(a1 ) − S)P K + ɛ/2 π(a1 ) < ɛ. a0 ≤ ‖T‖ und (π(a0 ) − T)P K < ɛ/2.Weiter gewinnen wir rekursiv mit Hilfe von (3.6.19) eine Folge von Elementen a n ∈ A mit an < 2 −n n∑ɛ und ( π(a k ) − T))P K < 2 −n−1 ɛ. (3.6.20)k=053

Dies kann wie folgt geschehen. Angenommen, wir haben bereits a 0 , . . . , a n ∈ A so bestimmt, dass (3.6.20) gilt. Dannwenden wir das Resultat aus (3.6.19) an auf den Operator S := − ∑ nK=0 π(a K) + T, auf den Raum K und auf 2 −n−2 ɛ > 0.Das Resultat aus (3.6.19) zeigt dann, dass es ein a n+1 ∈ A mit an+1 ≤ S|K = SPK < 2 −n−1 ɛ (wegen (3.6.20))sowie ∑n+1 (π(an+1 ) − S)P K = ( φ(a k ) − T)P K < 2 −n−2 ɛ.K=0Damit ist die Folge (a n ) ⊆ A konstruiert, und wir sehen a := ∑ ∞n=0 a n (die Konvergenz ist wegen (3.6.20) gesichert).Nach Konstruktion ist nun π(a)| K = T| K , und es ist‖a‖ ≤ ∞∑ ∞∑a0 + an ≤ ‖T‖ + ɛ 2 −n = ‖T‖ + ɛ.n=1n=1Beweis von Satz 3.6.3. Sei ( , π) topologisch irreduzible Darstellung von A und H 0 ≠ 0 ein (nicht notwendig abgeschlossener)Teilraum von , der invariant bezüglich π(A) ist. Sei 0 ≠ x ∈ 0 , und y ∈ sei beliebig. SeiK = spann {x, y}. Dieser Raum ist höchstens zweidimensional. Auf K definieren wir einen Operator T mit T x = y.Diesen setzen wir durch 0 (dh. T| K ⊥ = 0) auf ganz fort. Nach dem Transitivitätzsatz von Kadison gibt es ein a ∈ Amitπ(a)| K = T| K .Insbesondere ist π(a)x = y. Da x ∈ 0 und 0 invariant bzgl. π(A), folgt: y ∈ 0 , dh. 0 = .3.7 GNS, irreduzible Darstellungen, reine ZuständeWir wenden uns nun der Frage zu, für welche positiven Funktionale f die GNS-Konstruktion eine irreduzible Darstellungergibt. Dazu vereinbaren wir:Definition 3.7.1. Ein Zustand f ∈ S(A) heißt rein (pure state), wenn er ein Extremalpunkt von S(A) ist, dh. wenn ausf = µg 1 + (1 − µ)g 2 mit g 1 , g 2 ∈ S(A) und µ ∈ (0, 1) folgt, dass g 1 = g 2 = f .Satz 3.7.2. Sei ( , π) zyklische Darstellung einer C ∗ -Algebra A mit Eins e und x ∈ H zyklischer Vektor der Länge 1.Dann ist der Zustandgenau dann rein, wenn ( , π) irreduzibel ist.f (a) := 〈π(a)x, x〉Dass f überhaupt ein Zustand ist, werden wir uns in der Übung ansehen.Beweis von Satz 3.7.2. Sei zuerst f reiner Zustand, aber ( , π) nicht irreduzibel. Dann gibt es einen nichttrivialeninvarianten Teilraum für π(A). Den Orthoprojektor von auf diesen Teilraum bezeichnen wir mit P. Insbesondereist also P ≠ 0 und P ≠ I. Außerdem wissen wir aus (3.6.17), dass P ∈ π(A) ′ . Sei t := ‖P x‖ 2 . Wäre t = 1, so wäreP x = x (Pythagoras) und folglichPπ(a)x = π(a)P x = π(a)x für alle a ∈ A.Da x zyklischer Vektor ist, sind diese Vektoren dicht in . Dann muss aber P = I sein, was wir oben ausgeschlossenhatten. Ganz ähnlich folgt aus der Annahme t = 0, dass I − P = I, d.h. P = 0 ist. Also ist 0 < t < 1.Wir definieren für a ∈ Awobei Q := I − P. g 1 und g 2 sind Zustände von A, denng 1 (a) := t −1 〈π(a)P x, P x〉, g 2 (a) := (1 − t) −1 〈π(a)Qx,Qx〉,g 1 (e) = t −1 〈P x, P x〉 = t −1 ‖P x‖ 2 = 1 = (1 − t) −1 ‖Qx‖ 2 = g 2 (e)54

und g1 (a) ≤ t −1 ‖π(a)‖ ‖P x‖ 2 ≤ ‖a‖ sowie g2 (a) ≤ ‖a‖ ,und es ist f konvexe Linearkombination aus g 1 und g 2 :(t g 1 + (1 − t)g 2 )(a) = 〈π(a)P x, P x〉 + 〈π(a)Qx,Qx〉 = 〈π(a)P x, x〉 + 〈π(a)Qx, x〉= 〈π(a)x, x〉 = f (a)(beachte P,Q ∈ π(A) ′ ). Da f reiner Zustand ist muss g 1 = g 2 sein. Dies ist unmöglich, denn dann wäre ja für alle a ∈ A0 = g 1 (a) − g 2 (a) = t −1 〈π(a)P x, P x〉 − (1 − t) −1 〈π(a)Qx,Qx〉= 〈π(a)x, t −1 P x − (1 − t) −1 Qx〉,d.h. der Vektor y := t −1 P x − (1 − t) −1 Qx wäre senkrecht zu allen π(a)x und damit zu ganz . Dann müsste abery = 0 sein, was unmöglich ist (warum?). Also ist ( , π) irreduzibel.Sei umgekehrt ( , π) irreduzibel, jedoch f nicht rein. Dann gibt es Zustände g 1 , g 2 von A und ein t ∈ (0, 1) so, dassf = t g 1 + (1 − t)g 2 . Wir definieren eine Sesquilinearform [., .] auf π(A)x durch[π(a)x, π(b)x] := t g 1 (b ∗ a)für alle a, b ∈ AMit Cauchy-Schwarz haben wir für das positive Funktional t g 1 : t g1 (b ∗ a) 2 ≤ t g 1 (a ∗ a) t g 1 (b ∗ b) ≤ f (a ∗ a)f (b ∗ b) = ‖π(a)x‖ 2 ‖π(b)x‖ 2 .Ist also einer der Vektoren π(a)x und π(b)x gleich 0, so ist auch g 1 (b ∗ a) = 0. Also ist [., .] korrekt definiert. Weiterist0 ≤ t g 1 (a ∗ a) ≤ f (a ∗ a) = ‖π(a)x‖ 2 ,also [π(a)x, π(a)x] ≥ 0 für alle a ∈ A. Die Sesquilinearform [., .] ist also positiv semidefinit und hat eine Norm ≤ 1.[., .] kann dann zu einer Sesquilinearform auf fortgesetzt werden, die ebenfalls positiv semidefinit und stetig mitNorm ≤ 1 ist. Dann (vgl. [Reed/Simon I], Corollary zu Theorem II 4) gibt es einen eindeutig bestimmten OperatorB ∈ L( ) so, dassSeien a, b, c ∈ A beliebig. Dann haben wir[π(a)x, π(b)x] = 〈Bπ(a)x, π(b)x〉für alle a, b ∈ A〈Bπ(c)π(a)x, π(b)x〉 = 〈Bπ(ca)x, π(b)x〉 = [π(ca)x, π(b)x] = t g 1 (b ∗ ca)= t g 1 ((c ∗ b) ∗ a) = [π(a)x, π(c ∗ b)x] = 〈Bπ(a)x, π(c) ∗ π(b)x〉= 〈π(c)Bπ(a)x, π(b)x〉.Da π(A)x in dicht liegt, folgt hieraus 〈Bπ(c)y, z〉 = 〈π(c)B y, z〉 für alle y, c ∈ woraus schließlich folgt: Bπ(c) =π(c)B für alle c ∈ A. Da ( , π) irreduzibel ist, muss dann aber B ein skalarer Operator, d.h B = β I mit β ∈ , sein(Schur’s Lemma). Dann ist für alle a, b ∈ At g 1 (b ∗ a) = [π(a)x, π(b)x] = 〈βπ(a)x, π(b)x〉= β〈π(b ∗ a)x, x〉 = β f (b ∗ a).Nun sind f und g 1 Zustände. Durch Einsetzen von a = b = e folgt daher β = t und dann wegen t ≠ 0 auchg 1 (b ∗ a) = f (b ∗ a) für alle a, b ∈ A. Dann ist aber f = g 1 (setze b = e). Dies impliziert schließlichf = t f + (1 − t)g 2 bzw. f = g 2 , d.h. g 1 = g 2 .Das folgende Resultat ist das Analogon zu Satz 3.5.2 und besagt, dass jede C ∗ -Algebra genügend viele reine Zuständebesitzt.Satz 3.7.3. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins und a ∈ A. Dann(i) gibt es einen reinen Zustand f von A mit f (a ∗ a) = ‖a‖ 2 .55

(ii) gibt es eine irreduzible Darstellung ( , π) von A mit ‖π(a)‖ = ‖a‖.Beweis.(i) Aus Satz 3.5.2 wissen wir bereits, dass die Menge Z(a) aller Zustände f von A mit f (a ∗ a) = ‖a‖ 2 nicht leerist. Außerdem überzeugt man sich sofort davon, dass Z(a) eine konvexe und ∗ -schwach abgeschlossene Mengeist. Nach dem Satz von Krein/Milman (vgl. z.B. [Kadison/Ringrose], Fundamentals of the Theory of OperatorAlgebras I, Theorem 1.4.3) ist Z(a) die abgeschlossene konvexe Hülle der Menge der Extrempunkte von Z(a).Insbesondere gibt es also Extrempunkte von Z(a). Wir zeigen, dass jeder Extrempunkt ϕ von Z(a) auch einExtrempunkt von S(A), d.h. ein reiner Zustand ist.Sei ϕ = µg 1 +(1−µ)g 2 mit µ ∈ (0, 1) und mit Zuständen g 1 und g 2 . Wäre g 1 (a ∗ a) < ‖a‖ 2 oder g 2 (a ∗ a) < ‖a‖ 2 ,so wäre auch ϕ(a ∗ a) < ‖a‖ 2 (beachte, dass |h(a ∗ a)| ≤ ‖h‖ ‖a ∗ a‖ = ‖a‖ 2 für jeden Zustand h). Dies ist nichtmöglich. Also gehören g 1 und g 2 bereits zu Z(a). Da ϕ Extrempunkt von Z(a) ist, folgt g 1 = g 2 = ϕ.(ii) Sei ( f , π f ) die vermöge GNS dem Zustand f aus Teil (i) entsprechende Darstellung. Diese Darstellung istirreduzibel nach Satz 3.5.1 (gemäß Satz 3.5.1 ist nämlich für alle a ∈ Af (b) = 〈π f (b)ξ f , ξ f 〉mit ξ f 2= f = 1),und nach Satz 3.5.2 ist πf (a) = ‖a‖.Genauso wie Satz 3.5.3 beweist man nun:Folgerung 3.7.4. Sei A eine C ∗ -Algebra (mit Eins). Dann ist die direkte Summe ⊕( f , π f ), wobei über alle reinenZustände f von A summiert wird, ein isometrischer ∗-Isomorphismus von A auf eine abgeschlossene und symmetrischeUnteralgebra von (⊕ f ).Beispiel 3.7.5. Sei A eine kommutative C ∗ -Algebra und ( , π) eine irreduzible Darstellung. Da A kommutativ ist, giltπ(A) ⊆ π(A) ′ , und π(A) ′ ist I nach dem Schurschen Lemma. Für jeden zyklischen Vektor x ∈ gilt alsoclos {π(a)x : a ∈ A} = clos {x} = H,d.h. der Hilbertraum ist eindimensional. Insbesondere gibt es einen unitären Operator U : → , und dieAbbildungA → , a → Uπ(a)U −1ist ein Charakter von A. Fazit:Jede irreduzible Darstellung von A ist unitär äquivalent zu einem Charakter von A.Natürlich ist umgekehrt für jeden Charakter f (a) die AbbildungA → L(), a → f (a)Ieine irreduzible Darstellung von A.Sind für zwei Charaktere f 1 , f 2 von A die DarstellungenA → L(), a → f 1 (a)I und A → L(), a → f 2 (a)Iunitär äquivalent, so ist offenbar ker f 1 = ker f 2 . Da es eine Bijektion zwischen den Charakteren und ihren Kernen(den maximalen Idealen von A) gibt, folgt umgekehrt aus ker f 1 = ker f 2 , dass f 1 = f 2 und dass folglich f 1 und f 2 diegleiche Darstellung erzeugen.Definition 3.7.6. Die Menge aller unitären äquivalenzklassen von irreduziblen Darstellungen einer C ∗ -Algebra A heißtdas Spektrum von A. Bezeichnung: Spec A. Wie wir soeben gesehen haben, kann man für kommutative C ∗ -AlgebrenA (mit Eins) Spec A mit der Menge M(A) der Charaktere identifizieren.56

3.8 Primitive IdealeFür kommutative C ∗ -Algebren mit Eins giltSpec A = M(A) = Raum der maximalen Ideale,und wir wissen ferner, dass man M(A) mit einer Topologie versehen kann, so dass jedem Element a ∈ A eine stetigeFunktion auf M(A) umkehrbar eindeutig entspricht. Lässt sich etwas ähnliches auch im nichtkommutativen Fallerreichen?Definition 3.8.1. Sei A eine C ∗ -Algebra. Ein Ideal von A heißt primitiv, wenn es der Kern einer irreduziblen Darstellungvon A ist. Die Menge aller primitiven Ideale von A bezeichnen wir mit Prim A. Falls A kommutativ ist, fällt Prim Amit der Menge aller maximalen Ideale von A zusammen.Sind zwei Darstellungen von A unitär äquivalent, so stimmen ihre Kerne überein. Die AbbildungSpec A → Prim A, (Äquivalenzklasse von ( , π)) → ker π (3.8.21)ist daher wohldefiniert. Diese Abbildung ist offenbar surjektiv, im allgemeinen jedoch nicht injektiv. In der Regel istSpec A nur dann einer Untersuchung zugänglich, wenn die Abbildung (3.8.21) eine Bijektion ist.Für den nächsten Satz benötigen wir folgende Vorüberlegung:Lemma 3.8.2. Sei A eine C ∗ −Algebra (mit Eins) und I ein abgeschlossenes Ideal. Sei ( , π) eine irreduzible Darstellungvon A, die auf I verschwindet. Dann istwohldefiniert undπ I : A/I → L( ), a + I → π(a).(i) die Abbildung π → π I eine Bijektion zwischen der Menge der irreduziblen Darstellungen von A, die auf Iverschwinden und der Menge der irreduziblen Darstellungen von A/I.(ii) die Abbildung (π) → (π I ) eine Bijektion zwischen der Menge der Äquivalenzklassen von irreduziblen Darstellungenvon A, die auf I verschwinden und Spec A/I.(iii) die Abbildung ker π → ker π Iund Prim A/I.eine Bijektion zwischen der Menge der primitiven Ideale von A, die I enthaltenBeweis. Exemplarisch zeigen wir (i):Wegen π(I) = {0} ist die Abbildung π I korrekt definiert, und ( , π I ) ist eine Darstellung von A/I. Diese Darstellungist wieder irreduzibel. Die Bilder von π und π I stimmen nämlich überein, und folglich besitzen sie den gleichenKommutanten. Aus π I (A) ′ = I H folgt aber die Irreduzibilität von ( , π I ) nach Schurs Lemma. Ist umgekehrt ( , π I )eine irreduzible Darstellung von A/I und ϕ der kanonische Homomorphismus von A auf A/I, so ist ( , π I ◦ ϕ) eineirreduzible Darstellung von A (Beweis wie oben).Satz 3.8.3. Sei A eine C ∗ -Algebra (mit Eins). Dann gilt(i) Für alle a ∈ A ist ‖a‖ = max ( ,π) 1 ∈Spec A ‖π(a)‖ (wobei ( , π)1 die unitäre Äquivalenzklasse bezeichnet, die( , π) enthält).(ii) Der Durchschnitt aller primitiven Ideale von A ist {0}.(iii) Jedes abgeschlossene Ideal I von A ist gleich dem Durchschnitt aller primitiven Ideale von A, welche I enthalten.Beweis. Aussage (i) folgt sofort aus Satz 3.7.3, und (ii) ist eine unmittelbare Folgerung von (i). Wir zeigen noch (iii):Sei dazu π I wie in Lemma 3.8.2.Wegen x ∈ ker π ⇔ x + I ∈ ker π I hat man nun:x ∈⋂(π)∈Spec A:I⊆ker πker π ⇔ x + I ∈⋂(π I )∈Spec A/Iker π INach Aussage (ii) ist dieser Durchschnitt aber das Nullelement von A/I, d.h. x ∈ I.57

Auf Prim A lässt sich eine natürliche Topologie einführen. Grundlage dafür ist der folgende Satz, für den wir zunächsteine Vorüberlegung brauchen:Lemma 3.8.4. Sei ( , π) irreduzible Darstellung einer C ∗ -Algebra A, und J sei ein abgeschlossenes Ideal von A mitπ(J) ≠ {0}. Dann ist ( , π| J ) eine irreduzible Darstellung von J.Beweis. Wäre ( , π| J ) nicht irreduzibel, so gäbe es einen Vektor x ∈ \ {0} mit {0} ̸= clos π(j)x : j ∈ J ≠ .Der Raum clos π(j)x : j ∈ J ist aber auch invariant bezüglich π(A):π(a)π(j)x = π(a j)x ∈ π(J)x für alle a ∈ A, j ∈ J.Somit ist ( , π) keine irreduzible Darstellung von A. Dies ist ein Widerspruch.Satz 3.8.5. Jedes primitive Ideal J einer C ∗ -Algebra A ist ein Primideal, d.h. sind J 1 , J 2 Ideale von A mit J 1 J 2 ⊆ J, soist J 1 ⊆ J oder J 2 ⊆ J.Beweis. Sei nun J ein primitives Ideal von A, d.h. J = ker π für eine irreduzible Darstellung ( , π) von A, und seinenJ 1 , J 2 Ideale mit J 1 J 2 ⊆ J. Wegen der Abgeschlossenheit von J ist dann auch ¯J 1 ¯J 2 ⊆ J für die Abschließungen ¯J 1 , ¯J 2von J 1 , J 2 . Es genügt daher, Satz 3.8.5 für abgeschlossene Ideale J 1 , J 2 zu beweisen.Seien also J 1 , J 2 abgeschlossen. Angenommen, es ist π(J 1 ) ≠ {0} und π(J 2 ) ≠ {0}. Dann sind nach Lemma 3.8.4:π| J1 und π| J2 irreduzible Darstellungen von J 1 und J 2 . Jeder Vektor x ∈ \ {0} ist dann zyklisch für ( , π| J2 ).Insbesondere gibt es also ein j 2 ∈ J 2 mit y := π(j 2 )x ≠ 0. Der Vektor y ist zyklisch für ( , π| J1 ). Es gibt alsoinsbesondere ein j 1 ∈ J 1 so, dass π(j 1 )y ≠ 0. Damit ist0 ≠ π(j 1 )y = π(j 1 )π(j 2 )x = π(j 1 j 2 )x,andererseits ist aber j 1 j 2 ∈ J 1 J 2 ⊆ J und folglich π(j 1 j 2 ) = 0. Dieser Widerspruch zeigt, dass unsere Annahme falschwar.Definition 3.8.6. Wir definieren nun für jede Teilmenge M von Prim A ihren Kern⋂ker M = mund ihre Hüllem∈Mhull M = p ∈ Prim A : ker M ⊆ p .Satz 3.8.7. Die auf den Teilmengen von Prim A definierte Abbildung M → hull M erfüllt die Kuratovslei’schen Axiomeder Abschließung.Beweis.(i) hull = . Denn ker = A und A liegt in keinem primitiven Ideal, da ja sonst A selbst primitiv wäre und diezugehörige irreduzible Darstellung die Null-Darstellung sein müsste. Diese hatten wir jedoch ausgeschlossen.(ii) M ⊆ hull(M). Denn aus m ∈ M folgt ker M ⊆ m, woraus sofort m ∈ hull M folgt.(iii) hull M = hull(hull M). Denn sei F = hull M für eine Teilmenge M von Prim A. Aus f ∈ hull F folgt ker F ⊆ f .Wegen F = hull M ist aber auch ker M ⊆ ker F und damit ker M ⊆ f . Dies bedeutet aber f ∈ hull M = F. Es istalso hull F ⊆ F und die umgekehrte Inklusion folgt aus Teil (ii).(iv) hull(M 1 ∪ M 2 ) = hull M 1 ∪ hull M 2 für alle M 1 , M 2 ⊆ Prim A. Denn ist m 1 ∈ hull M 1 , so istworaus folgtAnalog ist hull M 2 ⊆ hull(M 1 ∪ M 2 ) und folglichSei umgekehrt m ∈ hull(M 1 ∪ M 2 ). Dann istker(M 1 ∪ M 2 ) ⊆ ker M 1 ⊆ M 1m 1 ∈ hull(M 1 ∪ M 2 ) bzw. hull M 1 ⊆ hull(M 1 ∪ M 2 ).hull M 1 ∪ hull M 2 ⊆ hull(M 1 ∪ M 2 ).ker M 1 ∩ ker M 2 = ker(M 1 ∪ M 2 ) ⊆ m.Dann ist natürlich erst recht ker M 1 · ker M 2 ⊆ m. Da m Primideal ist, folgt mit Satz 3.8.7, dass ker M 1 ⊆ m oderker M 2 ⊆ m, d.h. m ∈ hull M 1 oder m ∈ hull M 2 . Also ist m ∈ hull M 1 ∪ hull M 2 .58

Die Mengen hull M, wobei M die Teilmengen von Prim A durchläuft, bilden also die abgeschlossenen Mengen einerTopologie auf Prim A, die sogennante Hülle-Kern-Topologie oder Jacobson-Topologie. Sie wurde ursprünglich vonZariski in der Algebra eingeführt. Wir vermerken - ohne Beweis - noch einige Eigenschaften des topologischen RaumsPrim A mit der Jacobson-Topologie.• Falls A ein Einselement besitzt, so ist Prim A kompakt.• Der Raum Prim A ist i.a. nicht Hausdorff’sch, jedoch ein T 0 -Raum, d.h. für zwei beliebige Punkte aus Prim Abesitzt wenigstens einer eine Umgebung, die den anderen Punkt nicht enthält.• Für jedes a ∈ A ist die Abbildung Prim A → + , p → a + p unterhalbstetig (dies ist ein recht schwacher Ersatzdafür, dass bei kommutativen C ∗ -Algebren die Abbildung p → a + p stetig ist).• Falls A kommutative C ∗ -Algebra, so ist Prim A = M(A), und die Jacobson-Topologie stimmt mit der Gelfand-Topologie überein. (Dies ist wieder ein typischer C ∗ -Effekt. Für beliebige kommutative Banachalgebren gilt diesi.a. nicht mehr.)Beispiel. Sei A die Menge aller stetigen Funktionen von [0, 1] in 2×2 , deren Wert im Punkt 0 eine Diagonalmatrixist. Versehen mit punktweisen Operationen, einer punktweisen Involution und der Supremumsnorm wird A zu einer(nichtkommutativen) C ∗ -Algebra. Fassen wir 2×2 als L( 2 ) auf, so haben wir für jedes t ∈ (0, 1] eine zweidimensionaleDarstellung f → f (t) von A und diese ist irreduzibel, da ′ f (t) : f ∈ A = 2×2 ′ 1 0 = .0 1Ist weiter f (0) = diag(f 1 (0), f 2 (0)), so haben wir die zwei eindimensionalen Darstellungen (Charaktere)f → f 1 (0) und f → f 2 (0),welche ebenfalls irreduzibel sind. Man kann sich überlegen, dass damit alle irreduziblen Darstellungen (bis auf unitäreÄquivalenz) von A beschrieben sind. Man kann also Prim A identifizieren mit der Vereinigung f 1 , f 2 ∪ (0, 1] desIntervalls (0, 1] mit zwei zusätzlichen Punkten f 1 , f 2 an Stelle der Null. Die Einschränkung der Hülle-Kern-Topologieauf (0, 1] fällt zusammen mit der üblichen (Euklidischen) Topologie auf (0, 1]. Ein Umgebungssystem des Punktes f 1(bzw. f 2 ) wird dagegen durch alle Mengen f 1 ∪(0, ε) (bzwf2 ∪(0, ε)) mit 0 < ε < 1 gegeben. Insbesondere hat jedeUmgebung von f 1 mit jeder Umgebung von f 2 einen nichtleeren Durchschnitt. Prim A ist also kein Hausdorff-Raum.01Wir hatten oben (Lemma 3.8.2 und Lemma 3.8.4) einige Beziehungen zwischen irreduziblen Darstellungen von A, A/Jund J festgestellt. Lemma 3.8.4 können wir noch wie folgt ergänzen:Satz 3.8.8. Sei A eine C ∗ -Algebra und J abgeschlossenes Ideal von A. Sei ( , π) eine irreduzible Darstellung von J.Dann gibt es genau eine Darstellung ( , ˜π) von A mit ˜π| J = π, und diese Darstellung ist irreduzibel.Beweisidee. Sei x zyklischer Vektor von ( , π). Man definiert für a ∈ A einen Operator ˜π)a = auf dem in H dichtenTeilraum π(j)x : j ∈ J durch˜π(a)(π(j)x) := π(a j)x.59

Man zeigt nun, dass diese Definition korrekt ist und einen auf einem dichten Teilraum von H stetigen Operator erklärt.Dieser wird zu einem auf ganz H stetigen Operator fortgesetzt. Nun zeigt man, dass ( , ˜π) Darstellung ist. Diese istirreduzibel, da˜π(A) ′ ⊆ π(J) ′ = I,und die Eindeutigkeit folgt daraus, dass jede Fortsetzung ˜π von π erfüllen muss, weswegen ˜π auf einer dichten Mengein H festgelegt ist.3.9 Irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C)In einem etwas längeren Beispiel sehen wir uns die irreduzible Darstellungen der Toeplitzalgebra T(C) =T(c) + k : c ∈ C(), k ∈ K(l 2 ) an. Wir wissen bereits, das K(l 2 ) in T(C) enthalten und damit ein abgeschlossenesIdeal von A ist. Folglich gibt es genau zwei Sorten irreduzibler Darstellungen ( , π) von T(C): solche mitK(l 2 ) ⊆ ker π und solche mit π(K(l 2 )) ≠ {0}.Fall 1: K(l 2 ) ⊆ ker πAus Beziehung (3.8.2) wissen wir, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der irreduziblen Darstellungen vonT/K(l 2 ) und den irreduziblen Darstellungen von T(C), die auf K(l 2 ) verschwinden, gibt. Die irreduziblen Darstellungender kommutativen C ∗ -Algebra T/K(l 2 ) sind - bis auf unitäre Äquivalenz - gerade ihre Charaktere. Diese kennen wiraber aus Abschnitt 2.4, wo wir gezeigt haben, dass die Charaktere von T/K(l 2 ) genau die AbbildungenT(f ) + K(l 2 ) → f (t)mit einem t ∈ sind, so dass wir Spec(T/K(l 2 )) mit identifizieren können.Fall 2: π(K(l 2 )) ≠ {0}Aus Beziehung (3.8.3) und Satz 3.8.8 wissen wir, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der irreduziblen Darstellungenvon K(l 2 ) und der Menge der irreduziblen Darstellungen von T(C), welche auf K(l 2 ) nicht verschwinden,gibt.Satz 3.9.1. Jede irreduzible Darstellung von K(l 2 ) ist unitär äquivalent zur identischen Darstellung (l 2 , id).Beweis. Sei ( , π) eine irreduzible Darstellung von K(l 2 ). Weiter sei (e 0 , e 1 , . . .) die ”Standartbasis” von l 2 , und S isei der Orthoprojektor von l 2 auf e i . Dann ist dim Im S i = 1 und S i kompakt. Offenbar ist dann auch π(S i ) für jedesi ein Orthoprojektor, und wir überlegen uns, dassdim Im π(S i ) = 1 für jedes i. (3.9.22)Ganz ähnlich wie im Beweis von Satz 2.4.4 kann man zeigen, dass K(l 2 ) das kleinste abgeschlossene Ideal von K(l 2 ) ist,welches den Operator S i enthält. Wäre nun π(S i ) = 0, so wäre folglich auch π(K(l 2 )) = 0. Dies steht im Widerspruchdazu, dass irreduzible Darstellungen per Definition nicht trivial sind. Also istdim Im π(S i ) ≥ 1 für jedes i.Für die umgekehrte Ungleichung nehmen wir an, dass x, ˜x ∈ Im π(S i ) mit x ≠ 0. Wählen Vektoren y(≠ 0) und ỹ aus mit π(S i )y = x, π(S i )ỹ = ˜x. Da x ≠ 0, ist π(k)x : k ∈ K(l 2 ) dicht in . Es gibt also eine Folge (k n ) ⊆ K(l 2 ) mitlim n→∞ π(k n )π(S i )y = π(S i )ỹ. Multiplikation von links mit π(S i ) liefert lim n→∞ π(S i k n S i )y = π(S i )ỹ. Nun ist aberoffenbar S i k n S i = k n S i mit komplexen Zahlen k n . Folglich ist lim k n π(S i )y = π(S i )ỹ bzw. lim k n x = ˜x. Dies zeigt, dass˜x ∈ spann {x} und folglich dim Im π(S i ) = 1 für jedes i ist.Wir wählen für jedes i einen Einheitsvektor E i aus Im π(S i ). Dann ist〈E i , E j 〉 = 〈π(S i )E i , π(S j )E j 〉 = 〈π(S j S i )E i , E j 〉 = δ i j ,d.h. die Menge E ii∈ bildet ein ONS in . Wir zeigen, dass dieses vollständig ist. Sei x⊥E i für jedes i. Dann istπ(S i )x = 0 (denn π(S i ) ist der Ortoprojektor von auf spann E i ). Sei Si j ∈ K(l 2 ) der Operator mit einer 1 an deri j. Stelle der Matrixdarstellung bzgl. der Basis (e i ) von l 2 und mit Nullen an allen übrigen Stellen. Aus S i j = S i j S jfolgt dannπ(S i j )x = π(S i j )π(S j )x ∀i, j ∈ .60

Da die Linearkombinationen der Operatoren S i j dicht in K(l 2 ) liegen, folgt hierausπ(k)x = 0 ∀k ∈ K(l 2 ).Jeder Nichtnull-Vektor von ist aber zyklisch. Also ist x = 0 und E ii∈eine ON-Basis von .Aus S i0 = S i S i0 S 0 und (S i0 ) ∗ S i0 = S 0i S i0 = S 0 folgt, dass π(S i0 ) = π(S 0 )π(S i0 )π(S 0 ) und π(Si0 ) 2 = π(Si0 ) ∗ π(S i0 ) = π(S0 ) = 1 folgt, dass π(Si0 ) ein Operator mit eindimensionalem Bildraum und Norm 1 ist. Dieser Operator überführtE 0 in α i E i , und wegen π(Si0 ) = 1 muss αi = 1 sein. Sei F0 := E 0 und F i := α i E i für i ≥ 1. Dann ist offenbar F ii≥0ebenfalls eine ON-Basis von . Nunmehr ist klar (Satz von Riesz/Fischer), dassU : → l 2 ,∞∑∞∑x i F i → x i e ii=0i=0ein unitärer Operator von auf l 2 ist. Da nach Konstruktion π(S i0 ) den Vektor F 0 auf F i abbildet, bildet π(S i j ) =π(S i0 )π(S 0j ) den Vektor F j auf F i ab. Hieraus erhält man sofort, dassworausfolgt (Linearkombinationen der S i j sind dicht in K(l 2 )).Uπ(S i j )U ∗ = S i j für alle i, j ∈ ,Uπ(k)U ∗ = k für alle k ∈ K(l 2 )Da sich nach Satz 3.8.8 die irreduzible Darstellung (H, Id) von K(l 2 ) eindeutig zu einer irreduziblen Darstellungvon T(C) fortsetzen lässt und da (H, Id) offenbar eine irreduzible Darstellung von T(C) ist, ist dies die gesuchteFortsetzung. Die einzige (bis auf Äquivalenz) irreduzible Darstellung von T(C), die auf K(l 2 ) nicht verschwindet, istalso die identische Darstellung!Damit ist klar, dassSpecT(C) = Spec(T(C)/K(l 2 )) ∪ SpecK(l 2 ) = M(T(C)/K(l 2 ) ∪ {Id}und dass Prim T(C) genau die folgenden Ideale enthält:• {0} = ker(Id)• J t = {T(f ) + K : f (t) = 0, K ∈ K(l 2 )} für jedes t ∈ .Wir können Prim T(C) also identifizieren mit ∪ {0}. Die Abschließung von {0} in der Hülle-Kern-Topologie ist ganzPrim A, da offenbar jedes Ideal J t das Ideal {0} enthält. (Beachten Sie: wir haben eine einelementige Menge, derenAbschluss der gesamte Raum ist!) Dagegen ist abgeschlossen und die Einschränkung der Hülle-Kern-Topologie auf fällt mit der üblichen Topologie auf zusammen. Für jede Teilmenge S von ist nämlich⋂ker{J s : s ∈ S} = J s = {T(f ) + K : f |¯S = 0, K ∈ K(l 2 )}wobei ¯S den Abschluss von S in der gewöhnlichen Topologie bezeichnet. Folglich ists∈Shull{J s : s ∈ S} = {J s : s ∈ ¯S}.Der Raum Prim A ist nicht Hausdorffsch. Mehr noch: Die konstante Folge {0} konvergiert gegen jeden Punkt von. Anschaulich kann man sich Prim T(C) vorstellen als Kreisscheibe, deren Rand man mit und deren komplettesInneres man mit {0} identifiziert.61

4 Nichtkommutative Gelfandtheorien und ihre AnwendungenIm letzten Abschnitt wollen wir noch einige konkrete Invertierbarkeitsprobleme lösen und müssen uns dazu mitVerallgemeinerungen der Gelfandtheorie für kommutative Banachalgebren befassen.4.1 Fredholmeigenschaften von Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen ErzeugerfunktionenWir sehen uns nun die Fredholmtheorie für Toeplitzoperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktonen an. EineFunktion a : → heißt stückweise stetig, wenn sie in jedem Punkt t = e ix 0des Einheitskreises einseitige Grenzwertevon beiden Seiten besitzt, d.h. wenn die Grenzwertelim x↘x0 a(e i x ) =: a(t + 0), lim x↗x0 a(e ix ) =: a(t − 0)für alle t = e ix 0existieren und endlich sind. Da wir a als Element von L ∞ () betrachten, ist der Funktionswert vona an den Sprungstellen unwesentlich. Möchte man jedoch eine vernünftige Algebra von Funktionen haben, verlangtman z.B., dass a(t + 0) = a(t) für alle t ∈ . Die Menge PC der stückweise stetigen Funktionen bildet dann eineC ∗ -Algebra bezüglich punktweiser Operationen und der Supremumsnorm.Sei T(PC) die kleinste abgeschlossene Unteralgebra von L(l 2 ), welche alle Toeplitzoperatoren T(a) mit a ∈ PC enthält.Wegen C ⊆ PC ist natürlich die bereits untersuchte Algebra T(C) eine abgeschlossene und symmetrische Unteralgebravon T(PC). Insbesondere ist also K(l 2 ) ⊆ T(PC) nach Satz 2.4.4. Genau wie in diesem Abschnitt erhält man daher:Ein Toeplitzoperator T(a) mit a ∈ PC ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn die Nebenklasse T(a) + K(l 2 ) inder Faktoralgebra T(PC)/K(l 2 ) invertierbar ist. Wir bezeichnen den kanonischen Homomorphismus A → A+ K(l 2 ) vonT(PC) auf T(PC)/K(l 2 ) mit π.Leider können wir nicht mehr so einfach wie in Abschnitt 2.4 schließen, dass die Algebra T(PC)/K(l 2 ) kommutativ istund auch zu Satz 2.4.5, der die Algebra T beschreibt, gibt es kein Analogon. Der Hauptgrund für diese Schwierigkeitenist, dass Hankeloperatoren mit stückweise stetigen Erzeugerfunktionen nicht mehr kommutativ sein müssen. Was manjedoch unmittelbar einsieht ist, dass für beliebige Funktionen a ∈ PC und f ∈ C der OperatorT(a)T(f ) − T(f )T(a) = T(a f ) − H(a)H( ˜f ) − T(f a) + H(f )H(ã) = H(f )H(ã) − H(a)H( ˜f )kompakt ist (beachte: ˜f ist stetig und H(f ), H( ˜f ) sind kompakt). Die Nebenklasse π(T(f )) liegt für f ∈ C also imZentrum der Algebra T(PC)/K(l 2 ). Zur Erinnerung: Das Zentrum einer Algebra A ist die Menge aller c ∈ A mitca = ac für alle a ∈ A. Mit π(T(f )) liegt dann natürlich die komplette Algebra π(T(C)) = T(C)/K(l 2 ) im Zentrumvon T(PC)/K(l 2 ).Eine Banachalgebra, die mit ihrem Zentrum übereinstimmt, ist kommutativ und für kommutative Banachalgebrenhaben wir die Gelfandtheorie kennengelernt. Wir werden nun sehen, dass sich für Algebren mit nichttrivialem Zentrumeine Verallgemeinerung der (kommutativen) Gelfandtheorie herleiten lässt. Solche Verallgemeinerungen sind auch alslokale Prinzipien“ bekannt. Wir schauen uns das lokale Prinzip von Allan/Douglas näher an.”Sei A eine Banachalgebra mit Einselement e und es sei C eine abgeschlossene Unteralgebra im Zentrum von A mite ∈ C. Dann ist C eine kommutative Banachalgebra und wir bezeichnen wir früher mit M(C) die Menge der maximalenIdeale. Für jedes maximale Ideal x von C sei I x das kleinste abgeschossene Ideal von A, welches x umfasst, und wirbezeichnen mit φ x den kanonischen HomomorphismusA → A/I x , a → a + I x .Man beachte, dass die Algebren A/I x im Allgemeinen vom Punkt x abhängen. Insbesondere kann I x = A für einigeder x ∈ M(C) sein. In diesem Fall definieren wir: φ x (a) ist invertierbar in A/I x und φx (a) = 0.Satz 4.1.1 (Allan/Douglas). Seien A, C, x, φ x wie oben. Dann gilt: Ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbarin A, wenn φ x (a) invertierbar in A/I x ist für jedes x ∈ M(C). Weiter ist für jedes a ∈ A die Abbildung M(C) → + ,x → φx (a) oberhalb stetig.Bevor wir diesen Satz beweisen, sehen wir uns an, wie er in zwei einfachen Beispielen und in den Situationen, die unsim Moment interessieren, wirkt.62

Beispiel 4.1.2. Das kleinstmögliche C, welches wir wählen können, ist C = e. Dann ist offenbar {0} das einzige echteIdeal von C, M(C) besteht also nur aus einem Element (dem Nullideal), und das durch {0} erzeugte Ideal von A istnatürlich ebenfalls {0}. Die Aussage des Satzes reduziert sich also auf die Trivialitäta ∈ A invertierbar ⇐⇒ a + {0} invertierbar in A/{0}.Beispiel 4.1.3. Sei A kommutativ. Dann können wir C = A wählen. Für x ∈ M(C) ist dann offenbar I x = x. NachLemma 2.1.3 ist A/I x∼ = für jedes x ∈ M(C) und φx (a) ist gerade der Wert der Gelfandtransformierten â von a ander Stelle x. Die Aussage des Satzes reduziert sich also aufwas im wesentlichen die Aussage von Satz 2.1.5 ist.a ∈ A invertierbar ⇐⇒ â(x) invertierbar für alle x ∈ M(C),Zurück zur Fredholmtheorie für Operatoren in T(PC). Wir haben oben eine Unteralgebra im Zentrum von A =T(PC)/K(l 2 ) gefunden: die Algebra C = T(C)/K(l 2 ). Ihren Raum der maximalen Ideale haben wir bereits in Abschnitt2.4 bestimmt: er ist homöomorph zu und das dem Punkt x ∈ entprechende maximale Ideal von C ist{π(T(f )) : f stetig auf , f (x) = 0}. (4.1.1)Dem lokalen Prinzip von Allan/Douglas entsprechend sei I x das kleinste abgeschlossene Ideal von T(PC)/K(l 2 ), welchesdie Menge 4.1.1 enthält, und wir bezeichnen der Bequemlichkeit halber den HomorphismusT(PC) → (T(PC)/K(l 2 ))/I x ,A → π(A) + I xmit π x . Satz 4.1.1 liefert:Ein Operator A ∈ T(PC) ist genau dann Fredholmsch, wenn für jedes x ∈ die Nebenklasse π x (A) in T x (PC) :=(T(PC)K(l 2 ))/I x invertierbar ist.Um dieses Resultat ausnutzen zu können, benötigen wir genauere Kenntnisse über die Faktoralgebra T x (PC). Da dieAlgebra T x (PC) von den Toeplitzoperatoren T(a), a ∈ PC, erzeugt wird, wird die Algebra T x (PC) offenbar von denNebenklassen π x (T(a)), a ∈ PC, erzeugt.Für jedes x ∈ sei χ x die stückweise konstante Funktion, die auf dem Bogen von x zu −x (bzgl. der üblichenOrientierung) den Wert +1 und auf dem Bogen von −x bis x den Wert 0 annimmt.Satz 4.1.4. Jede der Algebren T x (PC) ist einfach erzeugt und die Nebenklasse π x (T(χ x )) ist ein Erzeuger von T x (PC).Beweis. Wir zeigen, dass für jede stückweise stetige Funktion a die Nebenklasse π x (T(a)) eine Linearkombinationder Nebenklassen π x (I) und π x (T(χ x )) ist. Seien also a(x ± 0) die einseitigen Grenzwerte von a an der Stelle x undseia x := a(x + 0)χ x + a(x − 0)(1 − χ x ).Die Funktion b := a − a x ist stetig im Punkt x und nimmt dort den Wert 0 an:⇒63

Sei f ∈ C() eine Funktion mit f (x) = 1. Dann ist (1 − f )(x) = 0, d.h. die Nebenklasse π(T(1 − f )) liegt im Ideal xund damit erst recht im Ideal I x . Es ist also π x (T(1 − f )) = 0 bzw. π x (T(f )) = π x (T(1)) = π x (I). Wir erhalten daherπ x (T(b)) = π x (I)π x (T(b)) = π x (T(f ))π x (T(b)) = π x (T(f )T(b)).Da weiterhin der Operator T(f )T(b) − T(f b) = −H(f )H(˜b) kompakt ist, folgt π x (T(b)) = π x (T(f b)).Schließlich haben wir mit Satz 2.4.2 (und mit der Definition der Norm in Faktoralgebren) πx (T(b)) = πx (T(f b)) leq f b∞. (4.1.2)Durch Verkleinern des Trägers von f können wir erreichen, dass die rechte Seite von (4.1.2) kleiner als jede positiveZahl wird. Folglich ist π x (T(b)) = 0 bzw. π x (T(a)) = π x (T(a x )), d.h.Dies beweist die Aussage des Satzes.π x (T(a)) = a(x + 0)π x (Tχ x )) + a(x − 0)(π x (I) − π x (T(χ x ))). (4.1.3)(4.1.3) zeigt, dass wir modulo I x die Funktion a durch die Funktion a x , welche sich lokal im Punkt x genauso verhältwie die Funktion a, ersehen können. Dies erklärt die Bezeichnung ”lokales Prinzip” oder ”lokales Ideal” für I x und denübergang von A zu π x (A) nennt man ”lokalisieren“.Da T x (PC) einfach erzeugt ist, wissen wir alles über Invertierbarkeit in T x (PC), wenn wir das Spektrum des Erzeugersπ x (T(χ x )) beschreiben können (Satz 2.1.15). Dies tun wir im folgenden Satz unter Zuhilfenahme eines allgemeinenResultates von Hartmann und Winter:Satz 4.1.5 (Hartmann, Winter). Sei a ∈ L ∞ () reellwertig. Dann fallen sowohl das Spektrum von T(a) als auch dasSpektrum von T(a) + K(l 2 ) zusammen mit dem Intervall [ess inf a(t), ess sup a(t)].Beweis. Böttcher/Silbermann, Analysis of Toeplitz operators, Abschnitt 2.36.Satz 4.1.6. Für jedes x ∈ ist das Spektrum von π x (Tχ x )) gleich [0, 1].Beweis. O.E.d.A. nehmen wir x = 1 an und schreiben χ für χ 1 . Nach Hartmann/Winter ist das Spektrum derNebenklasse T(χ) + K(l 2 ) gleich [0, 1], so dass aus dem lokalen Prinzip folgt:⋃[0, 1] = σ T(PC)/K(l 2 ) (T(χ) + K(l2 )) = σ Ty (PC)(π y (T(χ))). (4.1.4)Falls y ∈ \{−1, 1}, so ist π y (T(χ)) entweder gleich π y (0) oder gleich π y (I), wie aus (4.1.3) sofort folgt. In diesemFall ist also σ Ty (PC)(π y (T(χ))) entweder {0} oder {1}. Aus (4.1.4) schließen wir also unmittelbar auf:y∈(0, 1) ⊆ σ(π 1 (T(χ))) ∪ σ(π −1 (T(χ))) ⊆ [0, 1]und da Spektren abgeschlossen sind, folgt hieraus schließlichσ(π 1 (Tχ))) ∪ σ(π −1 (T(χ))) = [0, 1]. (4.1.5)Wir zeigen nun, dass σ(π 1 (T(χ))) = σ(π −1 (T(χ))), woraus sich mit (4.1.5) die Behauptung ergibt. Dafür definierenwir Operatoren J und C von l 2 auf l 2 durchJ : (x k ) ∞ k=0 → ((−1)k x k ) ∞ k=0und C : (x k ) ∞ k=0 → ( ¯x k) ∞ k=0 .Der Operator J ist linear, C ist antilinear und es gilt J 2 = C 2 = I. Daher definieren die AbbildungenV : A → JAJ bzw. W (T(a)) = T(ã),einen Isomorphismus bzw. einen ”Antiisomorphismus“ (das soll heißen: W (AB) = W (A)W (B) für alle A, B; beachtenSie aber, dass W linear ist: W (αA) = C(αA) ∗ C = CᾱA ∗ C = αCA ∗ C = αW (A) für alle α ∈ , A ∈ L(l 2 )) von L(l 2 ) aufL(l 2 ). Man rechnet leicht nach, dass für a ∈ L ∞ () gilt:V (T(a)) = T(â) bzw. W (T(a)) = T(ã), (4.1.6)64

wobei â(t) = a(−t), ã(t) = a(1/t). Für a ∈ PC sind â und ã wieder in PC. Aus (4.1.6) folgt daher, dass sowohl V alsauch W die Algebra T(PC) auf sich abbilden. Folglich sind die beiden AbbildungenA + K(l 2 ) → V (A) + K(l 2 ), A + K(l 2 ) → W (A) + K(l 2 )wohldefinierte Isomorphismen bzw. Antiisomorphismen von T(PC)/K(l 2 ) auf sich. Wir bezeichnen diese Abbildungenwieder mit V bzw. W .Schließlich seien f , g ∈ C() mit f (1) = 0 bzw. g(−1) = 0. Aus (4.1.6) folgt dannV (T(f ) + K(l 2 )) = T( ˆf ) + K(l 2 ) bzw. W (T(g) + K(l 2 )) = T(˜g) + K(l 2 ),wobei nun ˆf (−1) = 0, ˜g(−1) = 0. Hieraus erhalten wir schließlich, dass die Abbildungenπ 1 (A) → π −1 (V (A)) bzw. π −1 (A) → π −1 (W (A))einen konkret definierten Isomorphismus von T −1 (PC) bzw. einen Antiisomorphismus von T −1 (PC) auf sich darstellen.Diese Abbildungen überführen π 1 (T(χ)) in π −1 (V (T(χ))) = π −1 (T(ˆx)) = π −1 (T(1 − χ)) bzw. π −1 (T(1 − χ)) inπ −1 (W (T(1 − χ))) = π −1 (T(˜1 − ˜x)) = π −1 (T(χ)). Da sowohl Isomorphismen als auch Antiisomorphismen Spektrenerhalten, folgt:σ T1 (PC)(π 1 (T(χ))) = σ T−1 (PC)(π −1 (T(1 − χ))) = σ T−1 (PC)(π −1 (T(χ))).Identifizieren wir also den Raum der maximalen Ideale von T x (PC) mit [0, 1] = σ(π x (T(χ x ))), so folgt aus (4.1.3)sofort, dass die Gelfand-Transformierte von π y (T(a)) die Funktion auf [0, 1]t → a(x + 0)t + a(x − 0)(1 − t) (4.1.7)ist. Kombinieren wir dies mit dem lokalen Prinzip, so finden wir, dass ein Toeplitzoperator mit stückweise stetigerErzeugerfunktion a genau dann Fredholmsch ist, wenn für jedes x ∈ die Funktion (4.1.7) keine Nullstellen auf [0, 1]besitzt. Allgemeiner ist z.B. der Operator ∑ ∏i j T(a i j) mit a i j ∈ PC genau dann Fredhomlsch, wenn für kein x ∈ die Funktion∑ ∏t → (a i j (x + 0)t + a i j (x − 0)(1 − t)) (4.1.8)ijeine Nullstelle auf [0, 1] hat. Zumindest Funktion (4.1.7) lässt sich sehr schön geometrisch interpretieren. Falls a etwaden Einheitskreis abbildet aufa(x1+0)a(x2-0)a(x1-0)a(x2+0)a(x3+0)a(x3-0)so besagt (4.1.7) gerade, dass die 0 nicht auf einer der Strecken [a(x i − 0), a(x i + 0)] liegen darf.65

T(a) ist also genau dann Fredholmsch, wenn 0 nicht auf der durch die Strecken [a(x − 0), a(x + 0)] vervollständigtenKurve a() liegt.Wir können diese Resultate aber noch wesentlich ergänzen. Dazu bemerken wir, dass in den Bezeichungen des lokalenPrinzips (Satz 4.1.1) gilt:Lemma 4.1.7. Sei A eine C ∗ -Algebra und C C ∗ -Unteralgebra im Zentrum von A. Dann gilt für jedes a ∈ A: ‖a‖ =max x∈M(C) φx (a) .Beweis. Sei Π die die Algebra aller beschränkten Funktionen auf M(C) mit Werten in ⋃ x∈M(c) A/I x, die im Punktx einen Wert in A/I x annehmen. Das lokale Prinzip sagt dann, dass die Abbildungen von A in Π, die dem Elementa ∈ A die Funktionx → φ x (a)zuordnet, die Spektren erhält. Im C ∗ -Fall ist aber jeder Homomorphismus, der Spektren erhält, eine Isometrie. Dahergilt für jedes a ∈ A‖a‖ = sup φx (a) .x∈M(C)Dass man max statt sup schreiben kann, folgt aus Satz 4.1.1: Jede oberhalb stetige Funktion nimmt nämlich ihrMaximum an.Sind nun a, b ∈ PC, so wird den Operatoren T(a)T(b) und T(b)T(a) durch (4.1.8) die gleiche Funktion zugeordnet.Es ist also π x (T(a)T(b)) = π x T(b)T(a)) und folglich nach Lemma 4.1.7 (T(a)T(b) − T(b)T(a)) + K(l 2 ) = max πx (T(a)T(b)) − π x (T(b)T(a)) = 0.x∈Fazit: T(a)T(b) − T(b)T(a) ist kompakt!Zusammenfassung: Die Algebra T(PC)/K(l 2 ) ist kommutativ. Ihr Raum der maximalen Ideale kann mit dem Zylinder × [0, 1] identifizeirt werden. Die Gelfandtransformierte von T(a) + K(l 2 ) ist die Funktion × [0, 1] → ,(x, t) → a(x + 0)t + a(x − 0)(1 − t).Ein Operator A ∈ T(PC) ist genau dann Fredholmsch, wenn die Gelfandtransformierte von A+ K(l 2 ) keine Nullstellenbesitzt.Bemerkung 4.1.8.(i) Natürlich hätten wir auch damit beginnen können, die Kommutativität von T(PC)/K(l 2 ) zu zeigen. Unsere weiterenAufgaben hätten dann darin bestanden, den Raum der maximalen Ideale dieser kommutativen C ∗ -Algebrazu identifizieren. Ein ”Frontalangriff“ auf diesen Raum der maximalen Ideale ist aber keineswegs einfacher. DerNutzen des lokalen Prinzips in diesem Beispiel besteht gerade darin, dass es die getrennte Bestimmung derbeiden ”Faktoren“ und [0, 1] des Raumes der maximalen Ideale in × [0, 1] ermöglicht.66

(ii) Wir haben T(PC)/K(l 2 )) mit dem Zylinder × [0, 1] identifiziert. Die Gelfandtopologie auf diesem Zylinderfällt jedoch nicht mit der üblichen euklidischen Topologie zusammen. Vielmehr wird eine Umgebungsbasis desPunktes (x, t) ∈ × [0, 1] mit 0 < t < 1 durch die Mengen{x} × (t − ɛ, t + ɛ) mit 0 < ɛ < min{t, 1 − t}gegeben. Eine Umbegungsbasis von (x, 1) wird geliefert durch die Mengen([x, xe iɛ ) × (1 − ɛ, 1]) ∪ ((x, xe iɛ ) × [0, 1 − ɛ] mit 0 < ɛ < 1,und eine Umgebungsbasis von (x, 0) durch((xe iɛ , x] × [0, ɛ)) ∪ ((xe iɛ , x) × [ɛ, 1]) mit 0 < ɛ < 1.(iii) Man kann Toeplitzoperatoren auch auf l p -Räumen studieren, muss allerdings beachten, dass nicht mehr jedestückweise stetige (oder gar jede beschränkte Funktion) einen beschränkten Toeplitzoperator defieniert. Beschränktman sich auf geeignete PC-Funktionen (sog. Multiplikatoren), kann man die entsprechende AlgebraT l p(PC) ganz analog studieren. Das Spektrum des erzeugenden Elementes ist allerdings i.A. nicht mehr dasIntervall [0, 1], sondern ein von p abhängender Kreisbogen von 0 nach 1. Demzufolge hat man die Kurve a()statt mit Strecken mit gewissen Kreisbögen zu einer geschlossenen Kurve zu machen. Lemma 4.1.7 und seineFolgerungen gelten aber im p ≠ 2-Fall nicht mehr. Die Kommutativität von T l p(PC)/K(l p ) muss also andersbewiesen werden.Wir haben nun gesehen, wie das lokale Prinzip arbeitet, und müssen noch seinen Beweis nachtragen. Dazu benötigenwirLemma 4.1.9. Die Voraussetzungen seien wie in Satz 4.1.1. Ist L ein maximales Links-, Rechts- oder zweiseitiges Idealvon A, so ist C ∩ L ein maximales Ideal von C.Beweis. Wir zeigen die Aussage für den Fall eines maximalen Linksideals L. Es ist klar, dass L ∩ C ein echtes (dae ∉ L) abgeschlossenes Ideal von C ist, und wir müssen seine Maximalität zeigen.Sei z ∈ C \ L. Dann ist J z := {l + az : l ∈ L, a ∈ A} ein Linksideal von A, welches L echt (da z ∈ J z \ L) enthält. Wegender Maximalität von L ist also J z = A. Insbesondere ist e ∈ J z und das Element z besitzt ein Inverses modulo L(beachte: l + az = e ⇒ l + za = e, da z im Zentrum liegt).Weiter: K z := {a ∈ A : az ∈ L} ist echtes (da e ∉ K z ) Linksideal von A, welches L enthält. Da L maximal ist, folgtK z = L. Sind insbesondere y 1 , y 2 Inverse modulo L von z, so ist y 1 − y 2 ∈ L. Die Inversen modulo L von z sind alsoeindeutig bestimmt.Angenommen, z − λe ∉ L für alle λ ∈ . Es bezeichne y π (λ) das (wie wir soeben gesehen haben) eindeutig bestimmteElement von A/L, welches die Inversen modulo L von z − λe enthält. Wir zeigen, dass y π : → A/L eine analytischeFunktion ist.Sei λ 0 ∈ und y 0 ∈ y π (λ 0 ) eine Inverse modulo L von z − λ 0 e. Für λ − λ0

Dies zeigt die Analytizität von y π . Außerdem ist diese Funktion beschränkt. Für |λ| > ‖z‖ ist nämlich z − λe invertierbarund y π (λ) 1= (z − λe)−1 ∞∑ 1 = |λ| λ n zn ≤ 1 1|λ| n=01 − Die rechte Seite dieser Abschätzung geht für λ → ∞ gegen 0. Nach dem Satz von Liouville ist y π also eine konstanteFunktion, die wegen lim λ→∞ y π (λ) = 0 sogar konstant gleich 0 sein muss. Aus y π (0) = 0 folgt aber, es gibt ein y 0 ∈ Lmit y 0 z − e ∈ L. Dann ist e ∈ L − z y 0 = L, und dies ist unmöglich, da L eine echtes Ideal von A ist.Der erhaltene Widerspruch zeigt, dass es ein λ ∈ so gibt, dass z − λe ∈ L. Aus z ∉ L folgt auch λ ≠ 0, und damit iste = 1 z + l mit einem l ∈ L ∩ C.λAngenommen, es gäbe ein abgeschlossenes Ideal I von C so, dass L ∩ C ⊆ I und L ∩ C ≠ I. Dann gäbe es einz ∈ I \ (L ∩ C) ⊆ C \ L, und nach dem oben Bewiesenen gäbe es ein λ ∈ \ {0} und ein l ∈ C ∩ C so, dass e = 1 z + l. λDie impliziert l ∈ I und folglich I = C. Also ist L ∩ C maximal.Beweis von Satz 4.1.1. Wir beschränken uns auf den Beweis von Aussage (i). Die Aussage (ii) und einige ihrer Konsequenzenwerden wir uns in der Übung ansehen.Wir werden zeigen, dass ein Element a ∈ A genau dann von links invertierbar ist, wenn die Nebenklasse φ x (a) fürjedes x ∈ M(ϕ) von links invertierbar sind. Die Invertierbarkeit von rechts untersucht man genauso.Sicher ist φ x (a) von links invertierbar, wenn a von links invertierbar ist. Wir müssen umgekehrt zeigen, dass dielinksseitige Invertierbarkeit aller Nebenklassen φ x (a) die Invertierbarkeit von a von links impliziert. Angenommendas ist falsch. Sei also a ∈ A ein Element, welches nicht von links invertierbar ist, für das aber alle φ x (a) von linksinvertierbar sind.Sei L das maximale Linksideal von A, welches die Menge {ba : b ∈ A} enthält (Wegen e ∉ {ba : b ∈ A} ist {ba : b ∈ A}ein echtes Linksideal, welches nach Krull in einem maximalen Linksideal liegt.). Sei x := L ∩ C. Nach Lemma 4.1.9ist x ein maximales Ideal von C. Wir zeigen nun, dass I x ⊆ L. Dies folgt so: Die Elemente der Gestalt ∑ k a k x k b k mitx k ∈ x und a k , b k ∈ A liegen dicht in I x . Da x k ∈ C ⊆ Zentrum von A, ist ∑ k a k x k b k = ∑ k a k b k x k ∈ L und folglichI x ⊆ L.Auf Grund unserer Annahme ist φ x (a) von links invertierbar in A/I x . Es gibt ein b ∈ A so, dass ba − e ∈ I x . AusI x ⊆ L folgt, ba − e ∈ L. Andererseits ist ba ∈ {ba : b ∈ A} ⊆ L, woraus e ∈ L folgt. Die widerspricht der Maximalitätvon L und widerlegt damit unsere Annahme. z λ4.2 Singuläre IntegraloperatorenAuf der Einheitskreislinie betrachten wir einen Operator der Gestalt(Au)(t) = a(t)u(t) + b(t)πi∫u(s)ds (4.2.9)s − tder sich zusammensetzt aus den Operatoren der Multiplikation mit den Funktionen a und b, die wir als stückweisestetig auf voraussetzen wollen, und aus dem Operator der singulären Integration über ,(Su)(t) = 1 πi∫u(s)s − t ds,Dieses Integral existiert selbst für gutartige (z.B. hölderstetige) Funktionen nur im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes.Für s = e ix , t = e i y hat man alsot ∈ (Su)(e i y ) = 1 πiy+2π∫yu(e ix )e ix − e i y ieix d x = 1 π limɛ↘0y+2π−ɛ∫y+ɛu(e ix )1 − e i(y−x) d xUm eine Vorstellung vom Wirken von S zu bekommen, berechnen wir Se n für e n (t) = t n , n ∈ Lemma 4.2.1. Für n ≥ 0 ist Se n = e n , und für n < 0 ist Se n = −e n68

Beweis. Für n = 0 ist(Se 0 )(e i y ) = 1 π limɛ↘0= 1 π limɛ↘0y+2π−ɛ∫y+ɛ2π−ɛ ∫ɛ= 12πi limɛ↘0∫1d x (Substitution: x := x − y)1 − e−i(x− y)11 − e −i x d x = 1 π limɛ↘02π−ɛɛcot x 2 + i d x = 1,2π−ɛ ∫ɛe i x 2d xe i x 2 − e −i x 2da x → cot x 2auf (0, 2π) eine bezüglich des Punktes π ungerade Funktion ist.επ2π − εFür n > 0 folgt aus diesem Ergebnis leicht:(Se n )(t) = 1 πi= 1 πi= 1 πi∫∫∫k=0s ns − t dss n − t nds + 1 ∫s − t πit ns − t ds ∑n−1s k t n−1−k ds + 1 πik=0∫t ns − t ds= 1 n−1∫∑t n−1−k s k ds + t n (Se 0 )(t) = t n = e n (t)πiSchließlich ist für n > 0S(e −n (t) = 1 ∫πi= 1 πi∫s −ns − t ds = 1 πi∫s −n − t −nds + 1 ∫s − t πit −ns − t ds∑n−1− t k−n s −k−1 ds + t −n = −2t −n + t −n = −t −n = −e −n (t),k=0da bekanntlich (↗ Vorlesung Funktionentheorie)∫ 0z n dz =2πifalls n ≠ −1falls n = −169

Diese einfache Rechnung hat eine Reihe bemerkenswerter Konsequenzen, wenn man beachtet, dass die Funktionen e nfür n ∈ , eine Orthonormalbasis des Hilbertraums L 2 () bilden, wobei das Skalarprodukt in L 2 () gegeben ist durch f , g :=12π∫2π0f e ix g e ix d x(Diese Tatsache ist im wesentlichen äquivalent dazu, dass die Funktionen sin 2πnt und cos 2πnt (für n > 0) zusammenmit der konstanten Funktion 1 eine Orthonormalbasis von L 2 [0, 1] bilden.)Folgerung 4.2.2. S lässt sich stetig fortsetzten zu einer Isometrie von L 2 () auf sich.Beweis. S ist zunächst erklärt auf dem Teilraum von L 2 (), der alle endlichen SummenRaum gilt mit Lemma 4.2.1:und folglichS k∑a n e n =n=−kk∑a n e n =n=0∑−1n=−k‖Su‖ L 2 = ‖u‖ L 2 für alle u =a n e nk∑a n e nn=−kk∑n=−ka n e n enthält. Auf diesemAuf dem betrachteten Teilraum wirkt S also als Isometrie, und da dieser Teilraum dicht in L 2 () liegt, kann S stetigfortgesetzt werden zu einer Isometrie auf ganz L 2 ().Wir bezeichnen diese Fortsetzung wieder mit S. Aus dem Beweis von Folgerung 4.2.2 ist klar, dass S die Funktion mitder Fourierreihe ∑ ∞n=−∞ a ne n in die Funktion mit der Fourierreihe ∑ ∞n=0 a nz n − ∑ −1n=−∞ überführt.Folgerung 4.2.3.(i) S 2 = I, S ∗ = S.(ii) P := 1 (I + S) und Q := 1 (I − S) sind Orthoprojektoren.2 2Beweis. Dies ist offensichtlich, wenn man sich überlegt, wie S wirkt, oder folgt durch einfaches Nachrechnen.Der Operator A in (4.2.9) lässt sich schreiben als aI + bS. Offenbar ist nunaI + bS = a(P + Q) + b(P − Q) = (a + b)P + (a − b)Q.Mit c := a + b und d := a − b können wir A also auch als cP + dQ schreiben, was für viele überlegungen zweckmäßigist. Z.B. gilt:Folgerung 4.2.4. Seien c, d ∈ . Dann ist cP + dQ genau dann invertierbar, wenn c ≠ 0 und d ≠ 0. In diesem Fall ist(cP + dQ) −1 = 1 c P + 1 d Q.Beweis. ↗ Übung.Wir sehen uns noch die Matrixdarstellung des Operators A = cP + dQ bezüglich der Basis (e n ) n∈ von L 2 () an. DieMatrixdarstellung der Multiplikationsoperatoren C I kennen wir bereits: sie wird gerade durch den LaurentoperatorL(c) beschrieben. Aus Lemma 4.2.1 können wir unmittelbar die Matrixdarstellung der Projektoren P und Q ablesen.Es sind die Diagonalmatrizen⎛. .. 0P ↔⎜⎝00111⎞ ⎛. .. 1,Q ↔⎟ ⎜⎠ ⎝. ..11000⎞⎟⎠. ..(4.2.10)70

Wir werden diese Matrixdarstellung benutzen, um auf bequeme Weise Resultate über singuläre Integrale aus Aussagenüber Toeplitz- oder Hankeloperatoren herzuleiten. Die meisten der folgenden Resultate gelten aber auch für singuläreIntegraloperatoren über wesentlich komplizierteren Kurven als der Einheitskreislinie, die etwa Ecken, Endpunkteoder überschneidungen aufweisen können. Eine komplette übersicht über die Kurven Γ und die Gewichtsfunktionenα, für die S im Raum L p (Γ, α)(1 < p < ∞) mit der Norm f p∫= Γ f (s) p|α(s)| p ds beschränkt ist, sowie eineFredholmtheorie in diesem allgemeinen Fall finden Sie in Böttcher/Karlovich: Carleson Curves, Muckenhoupt weights,Toeplitz operators, Birkhäuser 1997. Wir werden uns die Resultate nun für den Raum L 2 () ansehen.Wir bezeichnen mit A die kleinste abgeschlossene Unteralgebra von L(L 2 ()), die alle Operatoren aP+bQ mit a, b ∈ PCenthält. Dann liegen insbesondere alle Multiplikationsoperatoren aI (= aP + aQ) sowie die Projektoren P (= 1P + 0Q)und Q in A. Daraus folgt, dass mit jedem Operator aP + bQ auch dessen Adjungierter (aP + bQ) ∗ = PāI +Q¯bI wiederin A liegt. A ist also eine C ∗ -Algebra.Lemma 4.2.5. A enthält das Ideal K(L 2 ()) der kompakten Operatoren.Beweis. Ein Operator K ∈ K(L 2 ()) ist genau dann kompakt, wenn seine Matrixdarstellung einen kompakten Operatorauf l 2 () liefert. Es genügt daher, wenn wir folgendes zeigen:Jeder kompakte Operator K ∈ l 2 () liegt in der kleinsten abgeschlossenen Unteralgebra von L(l 2 ()),die alle Laurentoperatoren L(c) mit stetiger Erzeugerfunktion und die beiden Projektoren aus (4.2.10),⎛⎞ ⎛⎞. .. . .. 0101p :=01, q :=1010⎜1 ⎟ ⎜0 ⎟⎝⎠ ⎝⎠. .. . ..enthält.Dies kann in völliger Analogie zu Satz 2.4.4 gezeigt werden. An die Stelle der dort benutzten Projektoren treten dabeidie ProjektorenP n : l 2 () → l 2 (), (x n ) n∈ → (. . . , 0, 0, x −n , x −n+1 , . . . , x n−1 , 0, 0, . . .).Die Ausführungen der Details dieses Beweises ist HA.Wir können also die Faktoralgebra A/K(L 2 ()) bilden. Diese ist invers abgeschlossen in der CalkinalgebraL(L 2 ())/K(L 2 ()) und wir haben daher:Ein Operator A ∈ A ist genau dann Fredholmsch, wenn seine Nebenklasse A+ K(L 2 ()) in A/K(L 2 ())invertierbar ist.Die Invertierbarkeit von A+ K(L 2 ()) kann wieder mit Hilfe des lokalen Prinzips von Allan/Douglas studiert werden.Grundlage dafür istLemma 4.2.6. Für jedes f ∈ C() liegt die Nebenklasse f I + K(L 2 ()) im Zentrum von A/K(L 2 ()).Beweis. Die Algebra A wird erzeugt von de Multiplikationsoperatoren aI mit a ∈ PC und vom singulären Projektor P.Offenbar kommutiert f I mit jedem der Operatoren aI. Es verbleibt daher zu zeigen, dass f P − f P I für jedes f ∈ C()kompakt ist. Wegenf P − P f I = (P + Q)f P − P f (P + Q) = Q f P − P f Qgenügt es zu zeigen, dass jeder der Operatoren Q f P, P f Q kompakt ist. Die Matrixdarstellung des Operators P f Q ist⎛⎞0 0fP f Q ↔3 f 2 f 1⎜ . .. ⎟ ,⎝ f3 f 2 0 ⎠ 0 0was wir mit Hilfe der im Beweis von Lemma 2.4.1 eingeführten Isometrie J auch schreiben können als.H(f ) 0Nach Satz 2.4.3 ist der Hankeloperator H(f ) und folglich auch der Operator Q f P kompakt. Analog beweist man dieKompaktheit von P f Q.f 371

Die Menge C := {f I + K(L 2 ()) : f ∈ C()} bildet also eine Unteralgebra im Zentrum von A/K(L 2 ()), die offenbardas Einselement I + K(L 2 ()) enthält. Wir zeigen, dass C eine abgeschlossene und symmetrische Unteralgebra ist undbestimmen ihren Raum der maximalen Ideale. Dazu benötigen wir:Lemma 4.2.7. Für alle a ∈ L ∞ ((T)) und alle K ∈ K(L 2 ()) ist‖aI‖ L(L 2 ()) ≤ ‖aI + K‖ L(L 2 ()) .Beweis. Nach übergang zur Matrixdarstellung haben wir zu zeigen:‖L(a)‖ ≤ ‖L(a) + K‖∀K ∈ K(l 2 ()).Sei U : (x k ) k∈ → (y k ) k∈ mit y k := x k−1 der Verschiebungsoperator auf l 2 () und für n ∈ seiU n :=U n falls n ≥ 0(U ∗ ) −n falls n < 0.Dann gilt U n → 0 schwach für n → ∞ und demzufolge KU n → 0 stark für jeden kompakten Operator K. Hieraus folgtdie starke Konvergenz von U −n KU n gegen 0: U−n KU n x ≤U−n · KUn x → 0.Da außerdem U −n L(a)U n = L(a), haben wir starke Konvergenz von U −n (L(a) + K)U nSteinhaus ist also‖L(a)‖ ≤ lim inf U−n (L(a) + K)U n ≤ ‖L(a) + K‖ .gegen L(a). Nach Banach-Nun ist offenbar π : C( → A/K(L 2 ())), f → f I + K(L 2 ()) ein ∗ -Homomorphismus. Also ist C = Im π symmetrischund abgeschlossen (Satz 3.2.6), und π ist injektiv, denn aus Lemma 4.2.7 folgt f∞= f I = f I + K(L 2 ()) .Wieder nach Satz 3.2.6(ii) ist π also ein isometrischer Isomorphismus von C() auf C. Damit ist klar, dass M(C) ∼ = ,und dass das dem Punkt t ∈ zugehörige maximale Ideal von C gerade { f I + K(L 2 ()) : f (t) = 0} ist.Wir können also mit Allan/Douglas lokalisieren. Für x ∈ sei I x das kleinste abgeschlossene Ideal von A/K(L 2 ()),welches das maximale Ideal {f I + K(L 2 ()) : f ∈ C(), f (x) = 0} von C enthält. Die Algebra (A/K(L 2 ()))/I x kürzenwir mit A x und den kanonischen Homomorphismus A → A x , A → (A+ K(L 2 ())) + I x mit π x ab. Nach Allan/Douglasist also ein Operator A ∈ A genau dann Fredholmsch, wenn für jedes x ∈ die Nebenklasse π x (A) in der “lokalenAlgebra” A x invertierbar ist.Wir sehen uns die lokalen Algebren A x genauer an. Ist wieder χ x die im vorigen Abschnitt eingeführte Funktion, sohaben wir für jedes a ∈ PC:π x (aI) = a(x + 0)π x (χ x I) + a(x − 0)(π x (I) − π x (χ x I)).Da A von allen Multiplikationsoperatoren aI mit a ∈ PC und von P erzeugt wird, wird die lokale Algebra gerade vonden Elementen π x (χ x I), π x (P) und vom Einselement π x (I) erzeugt.C ∗ -Algebren die durch zwei selbstadjungierte Elemente erzeugt werden, kann man i.a. nicht beschreiben. Wir habenhier jedoch den glücklichen Umstand, dass die Algebra A x durch zwei Projektoren erzeugt wird, nämlich durch π x (χ x I)und durch π x (P). Und solche Algebren kann man beschreiben. Uns genügt hier folgendes Resultat:Satz 4.2.8. Sei B eine C ∗ -Algebra mit Eins e, und p, q seien Projektoren in A so, dass die kleinste abgeschlosseneUnteralgebra von B, welche e, p, q enthält, mit B zusammenfällt. Sei noch σ(pqp) = [0, 1]. Dann ist B isometrischisomorph zur C ∗ -Algebra aller stetigen Funktionen [0, 1] → 2×2 , deren Werte an den Stellen 0, 1 Diagonalmatrizensind. Der Isomorphismus kann so gewählt werden, dass er die Elemente e, p bzw. q in folgende Funktionen überführt:ê : x → 1 00 1; ˆp : x → 1 00 0bzw. ˆq : x →x x(1 − x)x(1 − x) 1 − x.72

Einige Worte zum Beweis folgen im nächsten Abschnitt. Man beachte, dass aus σ(pqp) = [0, 1] auch σ(qpq) = [0, 1]folgt. (↗ Übung).Um dieses als 2-Projektoren-Satz von Halmos bekannte Resultat für die Algebra B = A x mit p = π x (P), q = π x (χ x I)ausnutzen zu können, benötigen wir dasSpektrum vonpqp = π x (P)π x (χ x I)π x (P) = π x (Pχ x P). Nun ist die Matrixdarstellungdes Operators Pχ x P gerade, und es ist nicht schwer einzusehen, dass das lokale Spektrum0 00 T(χ x )von Pχ x P im Punkt x genau mit dem bereits bestimmten lokalen Spektrum des Toeplitzoperators T(χ x ) in x übereinstimmt,also mit [0,1]. Damit ist Satz 4.2.8 in unserer Situation anwendbar.Eshat sicheingebürgert, diesen Satz so zu benutzen, dass dem Projektor π x (χ x I) die konstante Funktion t →1 0entspricht. (Nach oben gemachter Bemerkung können wir ja die Rollen von p und q vertauschen.) Der0 0Nebenklasse π x (aP + bQ) mit a, b ∈ PC ordnen wir also die folgende Matrixfunktion zu: Wegenπ x (aP + bQ) = (a(x + 0)π x (χ x ) + a(x − 0)(π x (I) − π x (χ x )))π x (P)+ (b(x + 0)π x (χ x ) + (b(x − 0)(π x (I) − π x (χ x )))(π x (I) − π x (P))ist das die Funktiont →+= 1 00 0a(x + 0)+ a(x − 0)t t(1 − t)0 00 1 t(1 − t) 1 − t 1 00 0b(x + 0)+ b(x − 0)1 − t −t(1 − t)0 00 1 − t(1 − t) t a(x + 0)t + b(x + 0)(1− t) (a(x + 0) − b(x + 0)) t(1 − t).(a(x − 0) − b(x − 0)) t(1 − t) a(x − 0)(1 − t) + b(x − 0)t(4.2.11)Die lokale Nebenklasse π x (aP + bQ) ist genau dann invertierbar, wenn die Funktion 4.2.11 für jedes t ∈ [0, 1] invertierbarist, und nach dem lokalen Prinzip ist aP + bQ genau dann Fredholmsch, wenn für jedes x ∈ die Funktion 4.2.11in jedem Punkt t ∈ [0, 1] invertierbar ist4.3 Banachalgebren mit polynomialer IdentitätDer Beweis des Halmos’schen 2-Projektoren-Satzes und einer Reihe weiterer Resultate beruht auf einer Verallgemeinerungder Gelfandtheorie für kommutative Banachalgebren, welche auf einer anderen Idee als die lokalen Prinzipienberuht. Eine kommutative Algebra ist offensichtlich dadurch ausgezeichnet, dass das Polynom P(x, y) := x y − y x inzwei nichtkommutierenden Variablen x, y zu 0 wird, wenn man für x und y beliebige Elemente der Algebra einsetzt.Allgemein nennt man eine Algebra A eine Algebra mit polynomialer Identitüt (oder kurz PI-Algebra), wenn es einPolynom P(x 1 , . . . , x n ) in n nicht kommutierenden Variablen x 1 , . . . , x n gibt, so dassP(a 1 , . . . , a n ) = 0 ∀ a 1 , . . . , a n ∈ A.Als besonders nützlich haben sich die sogenannten Standardpolynome F n erwiesen, die durch∑F n (x 1 , . . . , x n ) := sgn σx σ(1) · · · x σ(n)σ∈S ndefiniert sind. Hier ist S n die Menge der Permutationen der Menge {1, 2, . . . , n} und sgn σ das Vorzeichen der Permutationσ. Erfüllt eine Algebra A das Standardpolynom F n , so heiüt sie auch F n -Algebra.Offenbar ist F(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 − x 2 x 1 . Die F 2 -Algebren sind also gerade die kommutativen Algebren.Satz 4.3.1 (Amitsur/Levitzki). Die Algebra n×n ist eine F 2n -Algebra, jedoch keine F 2k -Algebra für k < n.Der Beweis ist nicht ganz einfach, siehe z.B. N.Krupnik: Banachalgebras with symbol and singular integral operators,Birkhüuser. An einem einfachen Beweis würe ich sehr interessiert.Dieses Resultat legt bereits nahe, dass für PI-Algebren Darstellungen als Matrixalgebren wichtig sein könnten. Tatsächlichhat man für F 2n -Banachalgebren die folgende Verallgemeinerung der Gelfandtheorie für kommutative Banachalgebren:73

Satz 4.3.2. Sei A eine Banachalgebra mit Eins e, die das Standardpolynom F 2n erfüllt.(i) Dann ist für jedes maximale Ideal I von A die Faktoralgebra A/I isomorph zu l×l mit einem l ≤ n, und(ii) ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbar, wenn für jedes maximale Ideal I die Matrix f I (a) := ϕ I (a)π I (a)invertierbar ist, wobei π I : A → A/I der kanonische Homomorphismus und ϕ I : A/I → l×l ein nach a)existierender Homomorphismus ist.Den Beweis findet man im zitierten Buch von N.Krupnik. Für uns ist dieser Satz besonders aus folgendem Grundinteressant:Satz 4.3.3. Sei A eine Banachalgebra, die durch zwei Idempotente p und q (d.h. p 2 = p und q 2 = q) und durch dasEinselement erzeugt wird. Dann ist A eine F 4 -Algebra.Dies kann man durch direktes Nachrechnen überprüfen. Satz 4.3.2 ist also prinzipiell anwendbar und es gelingt indiesem Fall, die Homomorphismen f I : A → l×l mit l = 1 oder l = 2 komplett zu beschreiben:Satz 4.3.4. Sei A eine Banachalgebra, die durch zwei Idempotente p, q und durch das Einselement e erzeugt wird. Danngilt:(i) Für jedes x ∈ σ(pqp + (e − p)(e − q)(e − p)) \ {0, 1} lässt sich die Abbildung F x : {e, p, q} → 2×2F x (e) = 1 0, F0 1 x (p) = 1 0, F0 0 x (q) = x(1 − x),xx(1 − x) 1 − xwobei x(1 − x) irgendeine Zahl ist, deren Quadrat gleich x(1 − x) ist, zu einem stetigen Algebrahomomorphismusvon A in 2×2 fortsetzen.(ii) Für jedes m ∈ σ(p+2q)∩{0, 1, 2, 3} lässt sich die Abbildung G m : {e, p, q} → 1×1 , G 0 (e) = 1, G 0 (p) = G 0 (q) = 0,G 1 (e) = G 1 (p) = 1, G 1 (q) = 0, G 2 (e) = G 2 (q) = 1, G 2 (p) = 0, G 3 (e) = G 3 (p) = G 3 (q) = 1 zu einem stetigenAlgebrahomomorphismus von A in 1×1 fortsetzen.(iii) Ein Element a ∈ A ist genau dann invertierbar, wenn die Matrizen F x (a) für allex ∈ σ(pqp + (e − p)(e − q)(e − p)) \ {0, 1} invertierbar und die Zahlen G m (a) für alle m ∈ σ(p + 2q) ∩ {0, 1, 2, 3}ungleich 0 sind.74