Zentrale Klassenarbeit 2003

Zentrale Klassenarbeit 2003
Tipps ab Seite 21, Lösungen ab Seite 31
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ZK Mathematik 2003
1. Aufgabe (8 Punkte)
� 3 b
a) Vereinfache so weit wie möglich
b) Löse die Gleichung 3 2x − 3 x = 6.
b5
:
an−2 c2n �
: c2n
an+3 c) Wenn man die Zahlen u = � 10 10� 10 und v = 10 (10 10 ) ausschreibt, beginnen sie mit
einer 1, danach kommen viele Nullen.
Wie viele Stellen haben die Zahlen u und v?
Ein Drucker gibt 150 Ziffern pro Sekunde aus.
Wie lange braucht er ungefähr, um die ausgeschriebenen Zahlen u bzw. v zu
drucken?
2. Aufgabe (7 Punkte)
Bei einem Tennismatch werden so viele Sätze gespielt, bis einer der beiden Spieler insgesamt
zwei Sätze gewonnen hat. Ein Match besteht daher aus mindestens zwei und
höchstens drei Sätzen.
Eva und Bettina spielen ein Match gegeneinander.
Eva gewinnt Sätze jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7.
Zeichne ein Baumdiagramm.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Eva das Match?
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sätze, die Eva in einem Match gegen
Bettina gewinnt.
Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.
3. Aufgabe (Gruppe A: 13 Punkte, Gruppe B: 9 Punkte)
Ein Zelt besteht aus einer regelmäßigen quadratischen
Pyramide mit an der Seite angesetztem geschlossenem
Vorzelt (siehe Skizze; Zeltstangen sind fett eingezeichnet).
Alle Kanten der regelmäßigen quadratischen Pyramide
besitzen die Länge a = 2,20m.
Die Firststange SH verläuft parallel zum Boden. Der
Punkt H befindet sich senkrecht über der Seitenmitte M.

Zentrale Klassenarbeit 2003
a) Ein zylinderförmiger Packsack hat den Durchmesser 12cm und die Länge 0,60m.
Wie viel Prozent des Inhalts des Packsacks bleiben leer, wenn das zusammengelegte
Zelt einschließlich Zubehör 5,0dm 3 Raum benötigt?
b) Berechne die Gesamtlänge der Zeltstangen.
c) Wie groß ist die Außenfläche des Zeltes einschließlich des Bodens?
d) Nur Gruppe A:
Welches Volumen hat das aufgebaute Zelt einschließlich des Vorbaus?
4. Aufgabe (Gruppe A: 8 Punkte, Gruppe B: 12 Punkte)
Für eine Langzeitstudie werden in ein abgegrenztes Versuchsgelände 50 Mäuse ausgesetzt.
a) Erfahrungsgemäß verdoppelt sich bei dieser Mäuseart unter optimalen Bedingungen
die Zahl der Mäuse alle 9 Monate.
Um wie viel Prozent ändert sich die Anzahl der Mäuse in einem Monat unter der
Annahme eines exponentiellen Wachstums?
Nach welcher Zeit wären es 1000 Tiere?
b) Eine Zählung ergibt, dass dort nach einem Jahr 120 Mäuse leben.
Ein Fachmann erklärt, dass auf einem Gelände dieser Größe wegen des begrenzten
Platzes maximal 1000 Mäuse leben könnten.
Er vermutet deshalb für die Zahl der Tiere ein logistisches Wachstum nach dem
Gesetz
B(t + 1) = B(t) + B(t) · k · (S − B(t)) ; t in Jahren
Wie viele Tiere würden nach dieser Vermutung am Ende des zweiten und des
dritten Jahres auf dem Versuchsgelände zu erwarten sein?
c) Nur Gruppe B:
In einem anderen Versuchsgelände gilt das Wachstumsgesetz
B(t + 1) − B(t) = 0,8 · B(t) − 0,0001 · (B(t)) 2
Auch in diesem Fall handelt es sich um ein logistisches Wachstum.
Mit welchem Bestand wird langfristig zu rechnen sein?
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Tipps Zentrale Klassenarbeit 2003
Tipps
Zentrale Klassenarbeit 2003
1. Aufgabe
a) Teile durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrwert dieses Bruchs multiplizierst. Wende
anschließend das Potenzgesetz am
a n = a m−n an und kürze geeignet.
b) Zur Lösung der Gleichung substituiere 3 x = z und löse die quadratische Gleichung mit
Hilfe der pq- oder abc-Formel; führe anschließend eine Resubstitution durch und überlege,
welches Ergebnis möglich sein kann.
c) Wende das Potenzgesetz (a m ) n = a m·n an; beachte dabei, dass z.B. die Zahl 10 3 = 1000
vier Stellen hat.
Teile jeweils die Anzahl der Stellen durch 150.
2. Aufgabe
Bestimme zum Zeichnen des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Bettina einen Satz
gewinnt; beachte, dass es maximal 3 Sätze gibt.
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erhälst du durch Anwenden der Pfadregeln
(Additions- und Multiplikationsregel); überlege bei jedem Ereignis, welche Pfade möglich sind.
3. Aufgabe
a) Rechne alle Maße in cm um.
Das Volumen eines Zylinders erhälst du mit der Formel:
VZylinder = π·r 2 Zylinder · hZylinder
Beachte, dass 1dm 3 = 1000cm 3 ist.
Berechne das leer bleibende Volumen und teile es durch das Volumen des Zylinders.
b) Es sind insgesamt 7 Stangen zu addieren. Die Länge der Firststange SH kann durch Überlegen
gefunden werden. Die Länge b erhälst du als Höhe im gleichseitigen Dreieck mit
Seitenlänge a (Seitenfläche der quadratischen Pyramide) mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
c) Überlege, aus welchen Flächen die Außenfläche zusammengesetzt ist.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks erhälst du mit der Formel
ADreieck = 1
· g · hDreieck
2
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Zentrale Klassenarbeit 2004 Tipps
Die Höhe h der Vorderfläche des Vorzelts erhälst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras
im gleichschenkligen Dreieck.
d) Nur Gruppe A:
Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide und des Vorzelts.
Das Volumen einer Pyramide erhälst du mit der Formel
4. Aufgabe
VPyramide = 1
· G · hPyramide
3
Das Vorzelt ist auch eine Pyramide, deren Grundfläche die Vorderfläche ist; als zugehörige
Höhe verwende die Strecke SH.
a) Verwende die allgemeine exponentielle Wachstumsgleichung:
B(t) = B(0) · a t
Setze den gegebenen Anfangswert B(0) und die Anzahl nach 9 Monaten in die Wachstumsgleichung
ein und berechne den Wachstumsfaktor a, an dem du die prozentuale
Änderung ablesen kannst.
Setze B(t) = 1000 und berechne t durch Logarithmieren.
b) Bestimme die Schranke S und setze diese sowie die Anzahl der Mäuse zu Beginn und
nach einem Jahr in die Gleichung für logistisches Wachstum ein, so dass du k berechnen
kannst.
Die Anzahl der Mäuse der Folgejahre erhälst du, indem du in die Gleichung für logistisches
Wachstum jeweils das Ergebnis des vorhergehenden Jahres einsetzt.
c) Nur Gruppe B:
Forme die gegebene Wachstumsgleichung so um, dass sie die Form eines logistischen
Wachstums hat, bei dem du die Schranke ablesen kannst.
Zentrale Klassenarbeit 2004
1. Aufgabe
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a) Schreibe alle Zahlen soweit möglich als Potenz mit Basis 4.
Verwende die Potenzgesetze a m+n = a m · a n und am
a n = a m−n .
b) Verwende das Potenzgesetz a m+n = a m ·a n und löse die Gleichung durch Logarithmieren.
c) Überlege, wie das Schaubild von f (x) aus dem Schaubild der Grundfunktion g(x) = x −2
hervorgeht.
Berechne f (2x) und teile f (2x) durch f (x); bestimme daraus die prozentuale Änderung.

Lösungen Zentrale Klassenarbeit 2003
Lösungen
Zentrale Klassenarbeit 2003
1. Aufgabe
a) Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert;
anschließend wendet man die Potenzgesetze an und kürzt geeignet:
� b 3
b5
:
an−2 c2n �
: c2n
�
b3 c2n
= ·
an+3 an−2 b5 �
· an+3
c2n = an+3 · b3 · c2n an−2 · b5 · c
b 2
2n = a5
b) Die Gleichung 3 2x − 3 x = 6 löst man, indem man 3 x = z substituiert und die entstehende
quadratische Gleichung mit Hilfe der pq- oder abc-Formel löst:
z 2 − z − 6 = 0 ⇒ z1,2 = 1 ± � (−1) 2 − 4 · 1 · (−6)
2 · 1
= 1 ± 5
2
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind somit z1 = 3 und z2 = −2.
Die Resubstitution 3 x = 3 ergibt x = 1, die Resubstitution 3 x = −2 ergibt keine weitere
Lösung, da 3 x stets positiv ist.
Damit ist die einzige Lösung: x = 1
c) Die Zahl u = � 10 10� 10 = 10 100 hat 101 Stellen, nämlich eine 1 und 100 Nullen.
Die Zahl v = 10 (1010 ) = 10 10000000000 hat 10000000001 Stellen, nämlich eine 1 und 10
Milliarden Nullen.
Teilt man die Anzahl der Stellen der Zahl u durch 150, erhält man:
101
≈ 0,7
150
Teilt man die Anzahl der Stellen der Zahl v durch 150, erhält man:
1000000001
150
≈ 66666666,7
Die Zeit von 66666666,7Sekunden entspricht ≈ 2Jahren und 41,6 Tagen. Der Drucker
benötigt also für die Zahl u etwa 0,7Sekunden, für die Zahl v hingegen etwa 2 Jahre und
42 Tage.
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Zentrale Klassenarbeit 2003 Lösungen
2. Aufgabe
Eva gewinnt einen Satz mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 und Bettina mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,3.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Eva ein Match in zwei bzw. drei Sätzen gewinnt, erhält man durch
Anwenden der Pfadregeln (Additions- und Multiplikationsregel):
P(Eva gewinnt das Match) = P(EE) + P(EBE) + P(BEE)
= 0,7 · 0,7 + 0,7 · 0,3 · 0,7 + 0,3 · 0,7 · 0,7
= 0,784
Eva gewinnt das Match gegen Bettina, mit einer Wahrscheinlichkeit von 78,4%, wenn auf zwei
Gewinnsätze gespielt wird.
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl X der von Eva gewonnenen Sätze anzugeben,
berechnet man noch die Wahrscheinlichkeiten für keinen bzw. einen gewonnenen Satz:
P(Eva gewinnt keinenSatz) = P(BB)
= 0,3 · 0,3
= 0,09
P(Eva gewinnt genau einenSatz) = P(EBB) + P(BEB)
= 0,7 · 0,3 · 0,3 + 0,3 · 0,7 · 0,3
= 0,126
Damit erhält man für X folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
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X 0 1 2
P(X) 0,09 0,126 0,784

Lösungen Zentrale Klassenarbeit 2003
3. Aufgabe
a) Das Volumen des Packsacks erhält man mit der Formel
VZylinder = π·r 2 Zylinder · hZylinder
Der Radius r des Zylinders beträgt r = 6cm, die Höhe h = 60cm.
VZylinder = π·(6cm) 2 · 60cm ≈ 6785,84cm 3
Der Packsack hat ein Volumen von etwa 6785,84cm 3 .
Das zusammengelegte Zelt benötigt 5,0dm 3 = 5000cm 3 .
Also bleiben
Vleer = 6785,84cm 3 − 5000cm 3 = 1785,84cm 3
des Packsacks leer.
Damit erhält man folgenden prozentualen Anteil:
p = Vleer
VZylinder
Es bleiben etwa 26,32% des Packsacks leer.
= 1785,84cm3
≈ 0,2632
6785,84cm3 b) Es sind vier Zeltstangen der Länge a = 2,20m, zwei Zeltstangen des Vorzelts mit Länge
b und die Firststange zu berücksichtigen.
Da es sich um eine regelmäßige Pyramide handelt, ist die Firststange genau halb so lang,
wie die Kantenlänge a: SH = a
2 = 1,1m
b ist die Höhe einer Seitenfläche der quadratischen Pyramide, da die Länge der Firststange
a 2 entspricht:
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras erhält man:
b 2 + (1,1m) 2 = (2, 2m) 2 ⇒ b = � 4,84m 2 − 1,21m 2 ≈ 1,91m
Damit gilt für die Länge l der Zeltstangen:
l = 4 · a + 2 · b + SH = 4 · 2,20m + 2 · 1,91m + 1,1m ≈ 13,72m
Die Zeltstangen haben also zusammen eine Länge von etwa 13,72m.
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Zentrale Klassenarbeit 2003 Lösungen
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c) Die Außenfläche des Zeltes besteht aus drei Seitenflächen der quadratischen Pyramide,
dem Boden und drei Dreiecksflächen des Vorzeltes.
Eine Seitenfläche der Pyramide hat folgenden Flächeninhalt:
A1 = 1 1
· a · b = · 2,20m · 1,91m ≈ 2,10m2
2 2
Tipp: Die Höhe einer Zeltseitenfläche entspricht genau der Länge b (Siehe Zeichnung),
daher muss sie nicht extra bestimmt werden.
Der Boden ist ein Quadrat mit Flächeninhalt
A2 = a · a = 2,20m · 2,20m = 4,84m 2
Die zwei Seitenflächen des Vorzelts haben zusammen den gleichen Flächeninhalt A1 wie
eine Zeltseitenfläche.
Zur Bestimmung des Flächeninhalts A3 der senkrechten Vorderfläche des Vorzelts benötigt
man noch die Höhe h, die man mit dem Satz des Pythagoras erhält:
Damit erhält man:
h 2 + (1,1m) 2 = (1,91m) 2 ⇒ h = � 3,6481m 2 − 1,21m 2 ≈ 1,56m
A3 = 1 1
· a · h = · 2,20m · 1,56m ≈ 1,72m2
2 2
Somit gilt für den Flächeninhalt A der gesamten Außenfläche des Zelts:
A= 3 · A1 + A2 + A1 + A3
= 3 · 2,10m 2 + 4,84m 2 + 2,10m 2 + 1,72m 2 ≈ 14,96m 2
Die Außenfläche des Zelts hat einen Flächeninhalt von etwa 14,96m 2 .
d) Nur Gruppe A:
Das Volumen des Zelts erhält man, indem man das Volumen V1 der quadratischen Pyramide
und das Volumen V2 des Vorzelts berechnet.
Das Volumen einer Pyramide erhält man mit der Formel
VPyramide = 1
· G · hPyramide.
3
Die quadratische Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge a = 2,20m
und die Höhe h = 1,56m.
V1 = 1
3 · a2 · h = 1
3 · (2,20m)2 · 1,56m ≈ 2,52m 3

Lösungen Zentrale Klassenarbeit 2003
4. Aufgabe
Das Vorzelt ist eine Pyramide, deren Grundfläche die Vorderfläche A3 und die Höhe die
Strecke SH = 1,10m ist.
V2 = 1
3 · A3 · SH = 1
3 · 1,72m2 · 1,10m ≈ 0,63m 3
Damit gilt für das Volumen V des Zelts:
V = V1 + V2 = 2,52m 3 + 0,63m 3 = 3,15m 3
Das Zelt hat ein Volumen von etwa 3,15m 3 .
a) Da sich die Anzahl der Mäuse alle 9 Monate verdoppeln soll, handelt es sich um allgemeines
exponentielles Wachstum. Die allgemeine exponentielle Wachstumsgleichung
lautet hier:
B(t) = B(0) · a t (t in Monaten, B(t) : Anzahl der Mäuse)
Zu Beginn (t = 0) gibt es 50 Mäuse, also gilt: B(0) = 50 (Anfangswert)
Nach 9 Monaten (t = 9) gibt es 100 Mäuse, also gilt: B(9) = 100
Setzt man diese Werte in die Wachstumsgleichung ein, um a zu bestimmen, so erhält
man:
100 = 50 · a 9 ⇒ a = 9√ 2 ≈ 1,08
�√ �t 9
Damit lautet das Wachstumsgesetz: B(t) = 50 · 2
Anhand des Wachstumsfaktor a ≈ 1,08 kann man erkennen, dass sich die Anzahl der
Mäuse in einem Monat um 8% ändert.
Um zu berechnen, wann 1000 Mäuse vorhanden sind, setzt man in die Gleichung für
B(t) = 1000 ein und löst nach t auf:
�√ �t 9
1000 = 50 · 2
�√ �t 9
2
20 =
�√ �t 9
log20 = log 2
�√ �
9
log20 = t · log 2
t = log20
�√ �
9
log 2
t ≈ 38,9
Nach etwa 39 Monaten wären es damit 1000 Tiere.
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b) Die Gleichung für logistisches Wachstum lautet:
B(t + 1) = B(t) + B(t) · k · (S − B(t))
Da es höchstens 1000 Mäuse geben kann, ist diese Anzahl die Schranke S, also S = 1000.
Zu Beginn (t = 0) gibt es 50 Mäuse, also gilt: B(0) = 50.
Nach einem Jahr (t = 1) gibt es 120 Mäuse, also gilt: B(1) = 120.
Setzt man diese Daten in die Gleichung für logistisches Wachstum ein, erhält man:
120 = 50 + 50 · k · (1000 − 50)
70 = 50 · 950 · k
k = 70
50 · 950
k = 7
4750
Somit lautet die Gleichung für dieses logistische Wachstum:
B(t + 1) = B(t) + B(t) · 7
· (1000 − B(t))
4750
Die Anzahl der Mäuse der Folgejahre erhält man, indem man in die Geichung für logistisches
Wachstum jeweils das Ergebnis des vorhergehenden Jahres einsetzt:
B(2) = 120 + 120 · 7
· (1000 − 120) ≈ 276
4750
B(3) = 278 + 278 · 7
· (1000 − 278) ≈ 570
4750
Man würde am Ende des zweiten Jahres etwa 276 Mäuse und am Ende des dritten Jahres
etwa 570 Mäuse erwarten.
c) Nur Gruppe B:
Das gegebene Wachstumsgesetz
B(t + 1) − B(t) = 0,8 · B(t) − 0,0001 · (B(t)) 2
muss so umgeformt werden, dass es die gewöhnliche Form eines logistischen Wachstums
hat:
B(t + 1) = B(t) + B(t) · k · (S − B(t))
Denn dann kann die Schranke S direkt abgelesen werden:
B(t + 1) − B(t) = 0,8 · B(t) − 0,0001 · (B(t)) 2
B(t + 1) = B(t) + 0,8 · B(t) − 0,0001 · (B(t)) 2
B(t + 1) = B(t) + B(t) · (0,8 − 0,0001 · B(t))
� �
0,8
B(t + 1) = B(t) + B(t) · 0,0001 · − B(t)
0,0001
B(t + 1) = B(t) + B(t) · 0,0001 · (8000 − B(t))
Damit liegt logistisches Wachstum mit der neuen Schranke S = 8000 vor.
Somit ist in diesem Versuchsgelände langfristig mit 8000 Mäusen zu rechnen.