Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

und a j −1+n}{{}≥0= a j−1+n+d = c 0 a j−1+d + c 1 a j+d}{{}a j+ . . . + c n−1 a j−2+n+d .} {{ }a j−2+nAlso c 0 a j−1 = c 0 a j−1+d und wegen c 0 ≠ 0 dann a j−1 = a j−1+d , Widerspruch.]c) Kommt unter den Zuständen eines LSR einmal (0, . . ., 0) vor, so verbleibtdas LSR immer im Zustand (0, . . .,0).Also nach b): Ein nicht singuläres LSR der Länge n mit dem Anfangszustand≠ (0, . . ., 0) hat eine Periode ≤ |K| n − 1, im binären Fall also≤ 2 n − 1.d) Man ist interessiert daran, LSR mit möglichst großer Periode zu konstruieren.Wir beschränken uns jetzt auf den binären Fall (der Fallallgemeiner endlicher Körper ist analog).Es stellt sich heraus, dass es für jedes n binäre LSR gibt, die die Periode2 n − 1 haben. Welche sind das?Dazu betrachtet man das sog. charakteristische Polynom des binärenLSR:p(t) = c 0 + c 1 t + . . . + c n−1 t n−1 + t n(Dies ist gerade das charakteristische Polynom der linearen Abbildungn2 →n 2 gegeben durch⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞0 1 0 . . . 0 x 0x 1x 10 0 1 0 . . . 0.... ... ... .⎜0 . . . 0 1 0.=.=.,⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝0 . . . 0 1 ⎠⎝. ⎠ ⎝ x n−1 ⎠ ⎝ . ⎠c 0 c 1 . . . c n−1 x n−1 c 0 x 0 + . . . + c n−1 x n−1 x ndie den Zustandsübergang des binären LSR beschreibt.)Man kann zeigen:Genau dann hat das (nicht singuläre) binäre LSR der Länge n Periode2 n − 1 (und das gilt dann für jeden Anfangszustand ≠ (0, . . ., 0)), falls(1) p(t) irreduzibel(2) p(t) ∤ t r − 1 für alle 1 ≤ r < 2 n − 1.[Bemerkung: (1) und (2) bedeuten, dass im Körper2n, der durch dasirreduzible Polynom p(t) definiert wird (siehe Seite 75), das Element tein erzeugendes Element der zyklischen Gruppe (2n\{0}, ·) ist.]99