Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

(Mit geeigneten Verbesserungen benötigt man 2 47 gewählte Klartexte; diesist besser als 2 55 Versuche bei vollständiger Schlüsselsuche.)Weitere Einzelheiten: [13], [27, Kapitel 3.4] 20 , [38, Kapitel 5].Zur Beschreibung des AES benötigen wir einige Hilfsmittel über endlicheKörper.4.8 Endliche Körpera) Ein Körper K ist ein kommutativer Ring mit Eins, in dem jedes Elementb ≠ 0 ein Inverses b −1 bezüglich der Multiplikation besitzt.b) Ist |K| endlich, so ist |K| = p a , p eine Primzahl. Dann ist 1 + . . . + 1←− p −→0.c) Zu jeder Primzahlpotenz gibt es genau einen Körper dieser Ordnung(bis auf Isomorphie).d) Für |K| = p ist K ∼ =p.e) Konstruktion von Körpern der Ordnung p a , a > 1 (Bezeichnung:p a):Sei m(x) ∈p[x] ein (überp) irreduzibles Polynom vom Grad a.Ein Körper mit p a Elementen ist dannp a = {Polynome inp[x] vomGrad < a}, versehen mit der üblichen Addition. Die Multiplikation ⊙geschieht wie üblich, mit anschließender Reduktion mod m(x); dabeiliefert die Reduktion eines Polynoms a(x) (mod m(x)) den Rest r(x)bei der Division von a(x) durch m(x): Ist also a(x) = q(x) · m(x) +r(x), Grad r(x) < Grad m(x) (wobei Grad 0 = −1), dann ist r(x) =a(x) mod m(x).Beispiel: Konstruktion von2 8:m(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 ist irreduzibel über2.(x 6 + x 4 + x 2 + x + 1) ⊙ (x 7 + x + 1)= x 13 + x 11 + x 9 + x 8 + x 7 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x ++ x 6 + x 4 + x 2 + x + 1 mod m(x)= x 13 + x 11 + x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + 1 mod m(x)20 dort werden auch Design-Prinzipien für S-Boxen angegeben: Kapitel 3.6=75