Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

det Adet A( 3 1= 0 · det3 1)( 1 1− 2 · det4 1)( 1 3+ 5 · det4 3= −2 · (1 − 4) + 5 · (3 − 12) = 6 − 45 = −39 ≡ 3 (mod 6)= 3 (in6))Wann besitzt eine Matrix A ∈ R (n,n) eine Inverse A −1 ?Forderung:A · A −1 = A −1 · A = E n =⎛⎜⎝1 0. ..0 1⎞⎟⎠Kriterium: A ∈ R (n,n) besitzt Inverse ⇔ det A ist Einheit in R.Setzt man b ij = (−1) i+j det A j,i , A j,i wie oben, B = (b ij ),so gilt A −1 = (det A) −1 · B.Beispiel: R =6a) Die obige 3 × 3-Matrix ist nicht invertierbar, da det A = 3, und 3 istkeine Einheit in6.( )1 3b) A =2 − 9 = −7 ≡ 5 (mod 6) ,3 2d.h. det A = 5 und A ist invertierbar in R (2,2) .(det A) −1 = 5 (denn 5 · 5 mod 6 = 1)( ) ( ) (2 −3 2 3 4 3A −1 = 5 · = 5 · =−3 1 3 1 3 5)4.2 Affine BlockchiffrenKlartexte seien codiert über einem Alphabetk für ein k ∈Æ. Klartextewerden zerlegt in Blöcke der Länge n, d.h. in Elemente ausn k . Die Blöckewerden einzeln in derselben Weise verschlüsselt:Eine affine Blockchiffre ordnet jedem v = (r 1 , . . .,r n ) ∈n k das ElementvA + b ∈n k zu, wobei A ∈(n,n)k, b ∈n k . Schlüssel ist das Paar (A, b).Damit die Chiffrierung v ↦→ vA+b injektiv ist, muss die Matrix A in(n,n)kinvertierbarsein, d.h. det A muss eine Einheit ink sein (also ggT(det A, k) = 1).45