Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

Das haben wir schon in 2.1(b) überlegt:a Einheit inn ⇔ ggT(a, n) = 1Z.B.: Einheiten in10:∗ 10 = {1, 3, 7, 9}Ist n = p eine Primzahl, so sind alle von 0 verschiedenen Elemente Einheiten:p ist Körper.Die Berechnung der multiplikativen Inversen der Einheiten in∗ n geschiehtz.B. mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, wie in 2.1(b) beschrieben.Wie über Körpern kann man über Ringen Vektoren und Matrizen bilden:R n = {(r 1 , . . .,r n )|r i ∈ R}R (n,k) =⎧⎛⎪⎨⎜⎝⎪⎩r 11.r n1⎞ ⎫. . . r 1k ⎪⎬⎟. ⎠ | r ij ∈ R. . . r⎪⎭ .nkAlso: Rn = R (1,n)Matrizenaddition und -multiplikation wie über Körpern.Ebenso kann man die Determinante einer quadratischen Matrix berechnen:n = 1 : A = (a 11 ) = (a) : det(a) = an > 1 : A ∈ R (n,n) :∑det A = nj=1(−1) i+j a ij det A i,j ∈ R(Entwicklung nach der i-ten Zeile)A i,j entsteht aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte.Ebenso:∑det A = n (−1) i+j a ij det A i,j (Entwicklung nach der j-ten Spalte)i=1Beispiel: R =6⎛ ⎞0 2 5A = ⎝ 1 3 1 ⎠ Rechne über, reduziere dann modulo 6.4 3 144