Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

mit der Stirling-Approximation liefert eine Schlüssellänge von ≈ 1, 95 · 2 69Bits, also keine entscheidende Verbesserung.Zur Speicherung eines Schlüssels werden ca. 700 Millionen Festplatten miteiner Kapazität von je 200 GByte benötigt.Daher beschränkt man sich in der Praxis auf kleine Teilmengen von Blockchiffren,für die die Schlüssel (also die Permutationen) mit geringer Bitlänge codiertwerden können. Wir geben im Folgenden ein erstes Beispiel an, nämlichaffin-lineare Chiffren. Sie beruhen, wie viele andere Chiffren auch, auf Alphabeten,die kommutative Ringe sind. Dies hat den Vorteil, dass man dieElemente des Alphabets addieren und multiplizieren kann. Bei den affinenSubstitutionschiffren in 2.1(b) haben wir hiervon schon Gebrauch gemacht.Die affinen Blockchiffren, die wir jetzt behandeln, sind eine Verallgemeinerung(von “Blöcken“ der Länge 1 auf Blöcke der Länge n ∈Æ). Sie beruhenauf Operationen, die aus der linearen Algebra bekannt sind, nur dass die dortauftretenden Körper auch kommutative Ringe sein können. Wir stellen daherzunächst einmal die wesentlichen Hilfsmittel aus der linearen Algebra überkommutativen Ringen zusammen, wobei wir auf Beweise verzichten.4.1 Lineare Algebra über kommutativen RingenIm folgenden sei R immer ein kommutativer Ring mit 1. D.h. R erfüllt alleAxiome eines Körpers, nur müssen die von 0 verschiedenen Elemente von Rnicht notwendig ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzen. DiejenigenElemente, die ein multiplikatives Inverses besitzen, nennt man Einheiten vonR. Die Menge aller Einheiten des Rings R bezeichnet man mit R ∗ .Beispiele:a)ist kommutativer Ring mit 1. Die Einheiten sind 1 und −1, also∗ = {1, −1}.b) Sei n eine natürliche Zahl.n = {0, . . ., n − 1} ist der Ring der ganzen Zahlen modulo n. Manaddiert und multipliziert modulo n: Addition (Multiplikation) wie in, dann Division durch n mit Rest r, 0 ≤ r ≤ n − 1; der Rest ist dasErgebnis der Addition (Multiplikation) inn. Das additive Inverse voni ist also n − i.Welches sind die Einheiten inn?43