Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

Sei R = {r 1 , . . .,r n }. Sei l die Länge der Zeichenfolge m und l i die Häufigkeitdes Auftretens von r i in m.Also: l = n ∑l ii=1Gesamtzahl aller (ungeordneten) Paare von Positionen in m ist ( )l2 =l(l−1)Gesamtzahl aller (ungeordneten) Paare von Positionen mit gleichen Zeichenn∑ (istlin∑2)=i=1i=1l i (l i −1)2.Die Wahrscheinlichkeit, dass an zwei zufällig gewählten Positionen in m dergleiche Buchstabe steht, ist also:2.κ(m) =n∑l i (l i − 1)i=1l(l − 1)Ist l groß und setzen wir p i = l ilfür die Wahrscheinlichkeit des Auftretens∑des Zeichens r i , so gilt: κ(m) ≈ n p 2 i .i=1i=1∑(Tatsächlich ist n p 2 i die Wahrscheinlichkeit, an zwei (nicht notwendig verschiedenen!)zufällig gewählten Positionen ein gleiches Zeichen zu finden.Durch leichte Umformungen in der Definition von κ(m) zeigt manκ(m) =n∑p 2 ii=11 − 1 l− 1l − 1≈l großn∑p 2 i .)i=1Wir nehmen jetzt n = 26 an, R = {0, 1, . . ., 25} als Codierung für {A, ...,Z}.In langen deutschsprachigen Texten m ist κ(m) ≈ κ d := 0, 0762 (ergibt sichaus den Buchstabenhäufigkeiten in deutschen Texten).Für lange Texte m mit l 1 = l 2 = . . .l 26 (Zufallstexte) gilt: κ(m) ≈ κ z :=26∑i=1( 1 26 )2 = 1 26≈ 0, 0385.Also: In deutschsprachigen Texten treten gleiche Buchstaben an zwei zufällig(unabhängig) gewählten Positionen etwa doppelt so häufig auf wie in zufällig31