Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

2.1 Beispiele(a) Verschiebechiffre 1 :m → m + i mod nn verschiedene Schlüssel (nämlich alle i ∈ {0, 1, . . ., n − 1}.)(b) Affine Chiffren:Affine Chiffren sind eine Verallgemeinerung von Verschiebechiffren:m → am + b mod n, a, b ∈ {0, 1, . . ., n − 1}Diese Zuordnung ist bijektiv, falls ggT(a, n) = 1.Dann existiert nämlich a ′ ∈ {0, . . .,n−1} mit aa ′ ≡ 1 (mod n), und dieZuordnung m → a ′ m −a ′ b mod n ist die Inverse zu m → am+b mod n(m → am + b mod n → a ′ (am + b) − a ′ b mod n = m).Wie bestimmt man a ′ , das multiplikative Inverse mod n zu a?Erweiterter Euklidischer Algorithmus liefert s, t ∈mit as+nt = 1, daggT(a, n) = 1. Dann 1 = as mod n = a(s mod n), d.h. a ′ = s mod n.Die Umkehrung gilt ebenfalls, d.h. m → am + b mod n bijektiv ⇔ggT(a, n) = 1.Damit hat man ϕ(n) Möglichkeiten für a und insgesamt n·ϕ(n) Schlüssel(a, b). (ϕ ist die Eulersche ϕ-Funktion, d.h. für n ∈Æist ϕ(n) =|{i ∈Æ:1≤i≤n, ggT(i, n) = 1}|.)n = 26 :Beispiel:R= {0,1,. . .25}↑ ↑ ↑ ↑ ↑⏐ ⏐ ⏐ ⏐R= {a,b,. . . z }12 · 26 = 312 Schlüssel⏐⏐codierem → 7m + 12 mod 261 s. Kap. 1TEXT codiere−−−−→ 19, 4, 23, 19 chiffriere−−−−−−→ 15, 14, 17, 15 decodiere−−−−−→ PORP16