Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

Wir behaupten nun: Wenn s 0 zufällig und gleichverteilt aus {0, 1} n gewähltwird, so kann man h(s in ) aus f(s in ) mit Wahrscheinlichkeit > 1 + 1 vorhersagen:2 Q(n)Es sind nämlich f(s in ) = s in+1, . . .,f(s l(n)−1 ) = s l(n) aus f(s in ) berechenbar.Aus diesen erhält man h(s in+1), . . .,h(s l(n) ) und aus diesen ist nach obigerAnnahme h(s in ) mit Wahrscheinlichkeit > 1 + 1 vorhersagbar.2 Q(n)Da f längenerhaltend und bijektiv ist, gilt dies auch für f in , d.h. es istf in ({0, 1} n ) = {0, 1} n . Daher folgt aus s 0 ← Ω n auch s in = f in (s 0 ) ← Ω n .Damit widerspricht die vorher bewiesene Aussage der Definition des Hard-Core-Prädikats.Obige Annahme ist also nicht aufrechtzuhalten, d.h. G besteht alle Next-Bit-Tests (von rechts nach links). Nach dem Satz von Yao (siehe 7.6) ist G daherein kryptographisch sicherer Pseudozufallsfolgen-Generator.7.10 Die Frage nach der Existenz von EinwegfunktionenEs bleibt die Frage, ob Einwegfunktionen existieren. Dies ist nicht bekannt.Eine notwendige Bedingung für die Existenz von Einwegfunktionen ist P ≠NP. (Ob dies gilt, ist eines der berühmtesten offenen Probleme der Komplexitätstheorie.)Sei nämlich f eine polynomial berechenbare Funktion. Dann kann man inpolynomialer Zeit entscheiden, ob für gegebene x und y gilt: f(x) = y. Daherliegt die Berechnung eines Urbilds von y in NP (eine Lösung lässt sich inpolynomialer Zeit verifizieren). Ist also P = NP, so lässt sich jede polynomialberechenbare Funktion auch in polynomialer Zeit invertieren, und es gibtkeine Einwegfunktionen.Tatsächlich ist bei unserer Definition von Einwegfunktionen, in der die Invertierung(bis auf einen vernachlässigbaren Rest) auch durch probabilistischepolynomiale Algorithmen unmöglich sein muss, sogar eine weitergehende Bedingungnotwendig, nämlich NP BPP.BPP steht für Bounded-Probability Polynomial Time.BPP ist die Klasse aller Sprachen, die von einer probabilistischen, polynomiallaufzeitbeschränkten Turing-Maschine M (also von einem polynomialprobabilistischen Algorithmus) erkannt werden. Dies bedeutet:Für alle x ∈ L : pr[M(x) = 1] ≥ 2 3119