Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

Ein anderer Punkt ist außerdem von Bedeutung:In aller Regel werden ‘Zufallsfolgen’ algorithmisch erzeugt (vgl. Schieberegisterfolgen).Was immer man auch unter ‘Zufall’ versteht, eine deterministischeErzeugung wird man nicht als zufällig ansehen. Aus diesem Grundspricht man in diesem Fall von Pseudozufallsfolgen. Es bleibt aber die Frage,was man unter Pseudozufallsfolgen verstehen soll.Ein sinnvoller Ansatz, diese Frage anzugehen, ist der folgende:Man testet nicht eine Folge, sondern vergleicht die Verteilung der vom Algorithmusproduzierten Folgen (einer gewissen Länge) mit der Gleichverteilungauf der Menge dieser Folgen (die von einer binären symmetrischen Quelleerzeugt wird). Dieser Ansatz liegt auch der Definition von Pseudozufälligkeitin einer für die Kryptographie geeigneten Weise zu Grunde. Er hat seineWurzeln in der Komplexitätstheorie und wurde in Arbeiten von Goldwasser/Micali,Blum/Micali und Yao im Jahr 1982 begründet.Grundidee: Die von einem 0-1-Folgen-Generator erzeugte Verteilung von 0-1-Folgen wird als pseudozufällig angesehen, wenn sie sich von der Gleichverteilungnicht durch einen effizienten Algorithmus unterscheiden lässt.Effiziente Algorithmen sind Algorithmen, die polynomiale Zeitkomplexitäthaben. Neben deterministischen polynomialen Algorithmen betrachten wirauch probabilistische Algorithmen mit polynomialer Zeitkomplexität.Probabilistische Algorithmen können bei gegebenem Input während der Berechnungdes Outputs endlich oft Zufallswahlen (Münzwurf) ausführen, sodass der nächste Schritt des Algorithmus vom Ausgang dieses Zufallsexperimentsabhängt. Daher: Bei gleichem Input kann ein probabilistischer Algorithmusverschiedene Outputs liefern.Probabilistische Algorithmen mit polynomialer Zeitkomplexität sind solche,für die die Anzahl der Schritte (jeder Münzwurf zählt als ein Schritt) durchein Polynom in der Länge des Inputs beschränkt ist.7.1 Wahrscheinlichkeitstheoretische Bezeichnungena) Ist p eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {0, 1} n , dem Raum der 0-1-Folgen der Länge n, so bedeutet x p ← {0, 1} n , dass Elemente x ∈ {0, 1} nzufällig bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung p ausgewählt werden.{0, 1} n mit der Gleichverteilung (p(x) = ( 1 2 )n ) bezeichnen wir mitΩ n und schreiben x ← Ω n , wenn Elemente x zufällig und mit gleicherWahrscheinlichkeit aus {0, 1} n ausgewählt werden.108