Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

(∗) 7 Kryptographisch sichere Pseudozufallsfolgen- Generatoren und EinwegfunktionenFür Stromchiffren (aber auch in anderen kryptologischen Zusammenhängen)werden häufig ‘Zufallsfolgen’ von Bits benötigt.Frage: Was versteht man unter einer Zufallsfolge?Eine Zufallsfolge stellt man sich vor als Folge von Werten unabhängiger,gleich verteilter Boolescher Zufallsvariablen, d.h. als Output einer Quelle,die mit gleicher Wahrscheinlichkeit Bits 0 und 1 unabhängig von den schonerzeugten Bits ausgibt (binäre symmetrische Quelle).Dann sind aber zwei Bitfolgen gleicher (endl.) Länge gleich wahrscheinlich.Da wir es stets nur mit endlichen Folgen zu tun haben, legt dieser Befundnahe, dass man den Begriff endlicher Zufallsfolgen nicht sinnvoll definierenkann.Andererseits folgt aus dem Gesetz der großen Zahlen, dass bei genügendlangen Folgen, die von einer binären symmetrischen Quelle erzeugt werden,z.B. annähernd gleich viele Einsen und Nullen vorkommen oder dass diePaare 00, 01, 10, 11 annähernd gleich oft auftreten, etc.Darauf beruhen Tests auf Zufälligkeit. Mögliche Vorgehensweisen sind z.B.:• Möglichst genaue Übereinstimmung von Merkmalen einer endlichenbinären Folge mit dem Erwartungswert. Beispiele sind m-Folgen einesLSR (siehe 6.5); sie erfüllen die sog. Golomb-Postulate. Diese fordernfür eine Zufallsfolge z.B., dass die Anzahl der Einsen und die Anzahlder Nullen sich um höchstens 1 unterscheiden. Außerdem wird eine genaueÜbereinstimmung der Anzahl der sog. runs (maximale Teilfolgenaufeinanderfolgender Einsen/Nullen) gegebener Länge mit dem Erwartungswertgefordert, und die Unabhängigkeit der Folgenglieder wirddurch die Konstanz der sog. Autokorrelationsfunktion beschrieben.(Näheres siehe Beker, Piper [8]...)• Keine extrem hohe Abweichung einzelner Merkmale vom Erwartungswert.Dazu führt man statistische Tests durch (z.B. den χ 2 -Test beimTest auf Häufigkeit von Einsen oder von Paaren).(Näheres siehe z.B. Knuth [33, Chapter 3] oder Menezes et al. [37]...)In jedem Fall besteht eine gewisse Willkür, welche Eigenschaften man testet.Eine Folge kann viele Tests bestehen, einen weiteren vielleicht nicht.107