Kryptologie und Datensicherheit - Diskrete Mathematik - Universität ...

Es gilt: Es gibt genau ϕ(2n −1)n. 32nprimitive Polynome über2 von Grade) Ein binäres LSR der Länge n mit primitivem charakteristischen Polynomerzeugt für jeden Anfangszustand ≠ (0, . . .,0) eine periodischeFolge mit Periode 2 n −1. Solche Folgen heißen m-Folgen (m = maximalePeriode).f) m-Folgen haben gewisse statistische Eigenschaften, die sie als Pseudozufallsfolgengeeignet erscheinen lassen. Z. B. sind Einsen und Nullen(annähernd) gleich verteilt, ebenso die Paare 00, 01, 10, 11 etc.Für kryptographische Zwecke sind sie dennoch nicht tauglich. Aus einerTeilfolge der Länge 2n (deutlich kleiner als die Periode 2 n −1) lässt sichnämlich die gesamte Folge ermitteln, wie wir in Kürze sehen werden(Unterkapitel 6.6).6.6 Lineare KomplexitätIst (a 0 , a 1 , . . .) eine binäre Folge mit Periode d, so gibt es immer mindestensein binäres LSR, das diese Folge erzeugt:Wähle LSR von Länge d, c 0 = 1, c 1 = . . . = c d−1 = 0Anfangszustand (a 0 , a 1 , . . .,a d−1 )[I. Allg. gibt es mehrere: siehe Bsp. von Seite 98]Man kann zeigen: Ist (a 0 , a 1 , . . .) eine binäre periodische Folge, so gibt es eineindeutig bestimmtes binäres LSR von minimaler Länge n, so dass (a 0 , a 1 , . . .)als Outputfolge dieses LSR (mit Anfangszustand (a 0 , a 1 , . . ., a n−1 )) auftritt.Man sagt auch: n ist die lineare Komplexität von (a 0 , a 1 , . . .).[Beachte: Erzeugt ein LSR der Länge n eine Folge der Periode 2 n − 1, so hatdie Folge lineare Komplexität n.]Dieses binäre LSR minimaler Länge lässt sich folgendermaßen beschreiben:Hat (a 0 , a 1 , . . .) Periode d, so setze[36]a(t) = a 0 + a 1 t + . . . + a d−1 t d−132 Beweis: z.B. Lidl, Niederreiter: Introduction to Finite Fields and their applications100