Skript ist für den Vorbereitungskurs

82 Vorkurs Mathematik11.7 LösungSeien z 1 := 3 + 6i,z 2 := 10 − 5i. Berechne:1. ¯z 1 = 3 − 6i2. ¯z 2 = 10 + 5i3. z 1 + z 2 = 13 + i4. z 1 − z 2 = −7 + 11i5. z 1 · z 2 = (30 − (−30)) + (−15 + 60)i = 60 + 45i6.z 1z 2= 3+6i10−5i · 10+5i10+5i = (30−30)+(15+60)i100+25= 75125 i = 3 5 i7. |z 1 | = √ 9 + 36 = √ 45 = 3 √ 58. |z 2 | = √ 100 + 25 = √ 125 = 5 √ 59. Finde die Nullstellen von X 2 + 9.Es ist X 2 + 9 = (X + 3i)(X − 3i), also sind die Nullstellen {−3i,3i}.12.1.2, 5. LösungSei M = {1,2}. Zeige die Abgeschlossenheit des Schnittes mithilfe einer Verknüpfungstafel:∩ ∅ {1} {2} {1,2}∅ ∅ ∅ ∅ ∅{1} ∅ {1} ∅ {1}{2} ∅ ∅ {2} {2}{1,2} ∅ {1} {2} {1,2}12.1.2, 6. LösungVerknüpfungstafel:( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2◦( ) (1 1) (1 2) (2 1) (2 2)1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 2) (1 1) (1 2) (2 1) (2 2)1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(2 1) (2 2) (2 1) (1 2) (1 1)1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 212.1.3, 2. LösungBehauptung: (Z, ÷) ist keine Halbgruppe.Beweis: Zum Beispiel ist 5 ∈ Z und 7 ∈ Z, aber 5 7 ∉ Z, somit ist Z bezüglich ÷ nichtabgeschlossen, also keine Halbgruppe. Ebenso könnten wir die Assoziativität widerlegen:10 ÷ (5 ÷ 2) = 10 ÷ 5 2= 4 ≠ 1 = 2 ÷ 2 = (10 ÷ 5) ÷ 2.