Skript ist für den Vorbereitungskurs

14 Lösungen der Übungsaufgaben 8110.3.5 Lösung1. Seien M := {1,2,3,4} und R 1 ,R 2 ⊆ M × M.• Ist R 1 := {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2, 3),(1,3), (3, 3),(4,4),(3, 2), (3,1)} eine Äquivalenzrelation?Ja, R 1 ist eine Äquivalenzrelation, da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitivist.• Ist R 2 := {(1,1),(2,2),(2,1), (3, 3),(3,4), (4, 3),(4,4)} eine Äquivalenzrelation?Nein, R 2 ist keine Äquivalenzrelation, da zum Beispiel (2,1) ∈ R 2 , aber (1,2) ∉ R 2und die Relation damit nicht symmetrisch ist.2. Sei ∼⊆ Z 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x − y ist gerade.Behauptung: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.Beweis: Seien x,y,z ∈ Z.Reflexivität: Da x − x = 0 und 0 gerade ist, gilt x ∼ x.Symmetrie: Wenn x − y gerade ist, ist auch −(x − y) = y − x gerade und somitgilt: x ∼ y ⇒ y ∼ x.Transitivität: Wenn x − y und y − z gerade sind, dann auch x − z, da gilt x − z =(x − y) + (y − z) und die Summe zweier gerader Zahlen nach (5.1) wieder einegerade Zahl ergibt. Damit gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ zDie Äquivalenzklassen dieser Relation sind:[0] = {0,2, −2,4, −4,...} = {x ∈ Z : x ist gerade}[1] = {1, −1,3, −3,...} = {x ∈ Z : x ist ungerade}10.4.4 LösungSei ∼⊆ N 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x | y.Behauptung: ∼ ist eine Ordnungsrelation, die nicht linear ist.Beweis: Seien x,y,z ∈ N.Reflexivität: Da x = 1 · x gilt x | x.Antisymmetrie: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 ·x. (Wichtig: Hier reichtn 1 ∈ N anstatt n 1 ∈ Z, da x und y natürliche Zahlen sind.)Analog gibt es für y | x ein n 2 ∈ N mit x = n 2 · y. (∗)Wir können also schreiben y = n 1 · x = n 1 · n 2 · y.Damit muss n 1 · n 2 = 1 sein. Wegen n 1 ,n 2 ∈ N muss also n 1 = 1 = n 2 gelten.Also gilt x (∗)= 1 · y = y.Transitivität: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 · x.Analog gibt es für y | z ein n 2 ∈ N mit z = n 2 · y.Also ist z = n 2 · y = n 2 · n 1 · x.Da n 1 und n 2 natürliche Zahlen sind, ist es auch n 2 · n 1 .Somit gilt also x | z.Linearität: Es gilt zum Beispiel 2 ∤ 3 und 3 ∤ 2.