Skript ist für den Vorbereitungskurs
Skript ist für den Vorbereitungskurs
Skript ist für den Vorbereitungskurs
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
14 Lösungen der Übungsaufgaben 8110.3.5 Lösung1. Seien M := {1,2,3,4} und R 1 ,R 2 ⊆ M × M.• Ist R 1 := {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2, 3),(1,3), (3, 3),(4,4),(3, 2), (3,1)} eine Äquivalenzrelation?Ja, R 1 <strong>ist</strong> eine Äquivalenzrelation, da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv<strong>ist</strong>.• Ist R 2 := {(1,1),(2,2),(2,1), (3, 3),(3,4), (4, 3),(4,4)} eine Äquivalenzrelation?Nein, R 2 <strong>ist</strong> keine Äquivalenzrelation, da zum Beispiel (2,1) ∈ R 2 , aber (1,2) ∉ R 2und die Relation damit nicht symmetrisch <strong>ist</strong>.2. Sei ∼⊆ Z 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x − y <strong>ist</strong> gerade.Behauptung: ∼ <strong>ist</strong> eine Äquivalenzrelation.Beweis: Seien x,y,z ∈ Z.Reflexivität: Da x − x = 0 und 0 gerade <strong>ist</strong>, gilt x ∼ x.Symmetrie: Wenn x − y gerade <strong>ist</strong>, <strong>ist</strong> auch −(x − y) = y − x gerade und somitgilt: x ∼ y ⇒ y ∼ x.Transitivität: Wenn x − y und y − z gerade sind, dann auch x − z, da gilt x − z =(x − y) + (y − z) und die Summe zweier gerader Zahlen nach (5.1) wieder einegerade Zahl ergibt. Damit gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ zDie Äquivalenzklassen dieser Relation sind:[0] = {0,2, −2,4, −4,...} = {x ∈ Z : x <strong>ist</strong> gerade}[1] = {1, −1,3, −3,...} = {x ∈ Z : x <strong>ist</strong> ungerade}10.4.4 LösungSei ∼⊆ N 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x | y.Behauptung: ∼ <strong>ist</strong> eine Ordnungsrelation, die nicht linear <strong>ist</strong>.Beweis: Seien x,y,z ∈ N.Reflexivität: Da x = 1 · x gilt x | x.Antisymmetrie: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 ·x. (Wichtig: Hier reichtn 1 ∈ N anstatt n 1 ∈ Z, da x und y natürliche Zahlen sind.)Analog gibt es für y | x ein n 2 ∈ N mit x = n 2 · y. (∗)Wir können also schreiben y = n 1 · x = n 1 · n 2 · y.Damit muss n 1 · n 2 = 1 sein. Wegen n 1 ,n 2 ∈ N muss also n 1 = 1 = n 2 gelten.Also gilt x (∗)= 1 · y = y.Transitivität: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 · x.Analog gibt es für y | z ein n 2 ∈ N mit z = n 2 · y.Also <strong>ist</strong> z = n 2 · y = n 2 · n 1 · x.Da n 1 und n 2 natürliche Zahlen sind, <strong>ist</strong> es auch n 2 · n 1 .Somit gilt also x | z.Linearität: Es gilt zum Beispiel 2 ∤ 3 und 3 ∤ 2.