80 Vorkurs Mathematik9.7 LösungBerechne für a,b,t ∈ R folgende Ableitungen:1.ddx 5 = 02.ddx 7x = 73.ddx 3t = 04.ddt 3t = 35.ddx (x + 2)2 = 2x + 4 (entweder über Kettenregel, oder Produktregel, oder nach ausmultiplizierenüber Linearität)6.ddx e5x = 5e 5x7.ddx e−x2 = −2xe −x28.ddx 7x · 2x2 = 42x 2d9.dx5x · cos(x) = 5 · cos(x) + 5x · (− sin(x)) = 5cos(x) − 5xsin(x)10.ddx sin2 (x) = 2sin(x)cos(x)11.12.d13.d14.d1dx 3x = − 13x 2x 4 −1dxx 2 +1 = 2xe xdx x= ex·x2 −e x·2x2 x 4ddx (sin4 (x) − cos 4 (x)) = 4sin 3 (x)cos(x) + 4cos 3 (x)sin(x)= xex −2e xx 315.ddx eax · cos(bx) = e ax · (acos(bx) − bsin(bx))d16.dx tan(x) = ddx17.sin(x)cos(x)d(lndx xcos ( 4x 3) + π )310.3.3 Lösung= 4sin(x)cos(x) · (sin 2 (x) + cos 2 (x))= 4sin(x)cos(x)=cos(x)cos(x)−sin(x)·(− sin(x))cos 2 (x)(= 1 · cos= cosln ( 4x 3) + π(3ln ( 4x 3) + π 3)= cos2 (x)+sin 2 (x)cos 2 (x)(+ x ·)− 3sin= 1 + tan 2 (x)− sin ( ln(4x 3) + π(3ln ( 4x 3) + π )3Finde einen Widerspruch zu einer anderen Eigenschaft der Äquivalenzrelation.Hier sind sogar beide weiteren Eigenschaften der Äquivalenzrelation verletzt:)·14x 3 · 12x2• Symmetrie: Zum Beispiel für x = 1, y = 2 <strong>ist</strong> zwar x ∼ y, aber wegen 2 · y = 4 ≠ 1 = xgilt y ≁ x.• Transitivität: Zum Beispiel für x = 1, y = 2, z = 4 <strong>ist</strong> zwar x ∼ y und y ∼ z, aberwegen 2 · x = 2 · 1 = 2 ≠ 4 = z gilt x ≁ z.
14 Lösungen der Übungsaufgaben 8110.3.5 Lösung1. Seien M := {1,2,3,4} und R 1 ,R 2 ⊆ M × M.• Ist R 1 := {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2, 3),(1,3), (3, 3),(4,4),(3, 2), (3,1)} eine Äquivalenzrelation?Ja, R 1 <strong>ist</strong> eine Äquivalenzrelation, da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv<strong>ist</strong>.• Ist R 2 := {(1,1),(2,2),(2,1), (3, 3),(3,4), (4, 3),(4,4)} eine Äquivalenzrelation?Nein, R 2 <strong>ist</strong> keine Äquivalenzrelation, da zum Beispiel (2,1) ∈ R 2 , aber (1,2) ∉ R 2und die Relation damit nicht symmetrisch <strong>ist</strong>.2. Sei ∼⊆ Z 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x − y <strong>ist</strong> gerade.Behauptung: ∼ <strong>ist</strong> eine Äquivalenzrelation.Beweis: Seien x,y,z ∈ Z.Reflexivität: Da x − x = 0 und 0 gerade <strong>ist</strong>, gilt x ∼ x.Symmetrie: Wenn x − y gerade <strong>ist</strong>, <strong>ist</strong> auch −(x − y) = y − x gerade und somitgilt: x ∼ y ⇒ y ∼ x.Transitivität: Wenn x − y und y − z gerade sind, dann auch x − z, da gilt x − z =(x − y) + (y − z) und die Summe zweier gerader Zahlen nach (5.1) wieder einegerade Zahl ergibt. Damit gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ zDie Äquivalenzklassen dieser Relation sind:[0] = {0,2, −2,4, −4,...} = {x ∈ Z : x <strong>ist</strong> gerade}[1] = {1, −1,3, −3,...} = {x ∈ Z : x <strong>ist</strong> ungerade}10.4.4 LösungSei ∼⊆ N 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x | y.Behauptung: ∼ <strong>ist</strong> eine Ordnungsrelation, die nicht linear <strong>ist</strong>.Beweis: Seien x,y,z ∈ N.Reflexivität: Da x = 1 · x gilt x | x.Antisymmetrie: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 ·x. (Wichtig: Hier reichtn 1 ∈ N anstatt n 1 ∈ Z, da x und y natürliche Zahlen sind.)Analog gibt es für y | x ein n 2 ∈ N mit x = n 2 · y. (∗)Wir können also schreiben y = n 1 · x = n 1 · n 2 · y.Damit muss n 1 · n 2 = 1 sein. Wegen n 1 ,n 2 ∈ N muss also n 1 = 1 = n 2 gelten.Also gilt x (∗)= 1 · y = y.Transitivität: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 · x.Analog gibt es für y | z ein n 2 ∈ N mit z = n 2 · y.Also <strong>ist</strong> z = n 2 · y = n 2 · n 1 · x.Da n 1 und n 2 natürliche Zahlen sind, <strong>ist</strong> es auch n 2 · n 1 .Somit gilt also x | z.Linearität: Es gilt zum Beispiel 2 ∤ 3 und 3 ∤ 2.