Skript ist für den Vorbereitungskurs

14 Lösungen der Übungsaufgaben 795. | · | : Q → Q : x ↦→ |x|• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektivEEs ist zum Beispiel | − 1| = 1 = |1|, aber −1 ≠ 1.• surjektivEDas Element −1 ∈ Q wird nicht getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist weder injektiv noch surjektiv, also auch nicht bijektiv.6. succ : N → N : x ↦→ x + 1• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektivEDas Element 1 wird nicht getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv.7. succ : N 0 → N : x ↦→ x + 18.6 Lösung• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektiv ̌ Nun wird jedes Element des Wertebereichs getroffen.• bijektiv ̌ Die Abbildung ist sowohl injektiv, als auch surjektiv, also bijektiv.Ist die Funktion g : R → R : x ↦→ x 3 − 3 bijektiv? Wenn ja, berechne die Umkehrfunktion.• injektiv: Seien x 1 ,x 2 ∈ R.g(x 1 ) = g(x 2 ) ⇐⇒ x 3 1 − 3 = x 3 2 − 3⇐⇒ x 3 1 = x3 2⇐⇒ x 1 = x 2• surjektiv: Sei y ∈ R beliebig. Setze x := 3√ y + 3. Dann gilt( √ ) 33g(x) = y + 3 − 3 = y + 3 − 3 = y.Also ist die Funktion g bijektiv. Wir berechnen daher die Umkehrfunktion:x 3 − 3 = y ⇐⇒ x 3 = y + 3⇐⇒ x = 3√ y + 3Somit ist die Abbildung g −1 : R → R : x ↦→ 3√ x + 3 die Umkehrfunktion zu g.