Skript ist für den Vorbereitungskurs

78 Vorkurs MathematikIV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N 0 .IS (n → n + 1):n+1∑q k =k=0n∑q k + q n+1k=0IV 1 − q n+1= + q n+11 − q= 1 − qn+11 − q+ qn+1 · (1 − q)1 − q= 1 − qn+1 + q n+1 − q n+21 − q= 1 − qn+21 − q= 1 − q(n+1)+11 − q6.5 Lösung1. f : M → N mit( ) 1 2 3 4a c b c• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektivEEs ist f(2) = f(4), aber 2 ≠ 4.• surjektiv ̌ Alle Elemente aus N werden getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist nicht injektiv, also auch nicht bijektiv.( ) 1 3 42. g : M → N mit g =b a c• AbbildungEDa 2 kein Bild zugeordnet bekommt, ist g keine Abbildung. Also sindInjektivität, Surjektivität und Bijektivität ausgeschlossen.3. id : R → R : x ↦→ x• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektiv ̌ Alle Elemente aus N werden getroffen.• bijektiv ̌ Die Abbildung ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.4. id : N → Z : x ↦→ x• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektivEDas Element −1 ∈ Z wird nicht getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv.