Skript ist für den Vorbereitungskurs

14 Lösungen der Übungsaufgaben 77IS (n → n + 1):2. Behauptung:Beweis: IA (n = 1):n+1∑k 2 =k=0n∑k 2 + (n + 1) 2k=0IV =n(n + 1)(2n + 1)6= (n2 + n)(2n + 1)6+ (n 2 + 2n + 1)+ 6n2 + 12n + 66= 2n3 + 3n 2 + n + 6n 2 + 12n + 66= 2n3 + 9n 2 + 13n + 66= (n2 + 3n + 2)(2n + 3)6(n + 1)(n + 2)(2n + 3)=6(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)=6∀n ∈ N :n∑(2k − 1) = n 2k=11∑(2k − 1) = 2 · 1 − 1 = 1 = 1 2k=1IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N.IS (n → n + 1):n+1∑n∑(2k − 1) = (2k − 1) + (2(n + 1) − 1)k=1k=1IV = n 2 + (2n + 2 − 1)= n 2 + 2n + 1= (n + 1) 2 3. Behauptung: Geometrische ReiheFür 1 ≠ q ∈ R gilt:k=0∀n ∈ N 0 :n∑k=0q k = 1 − qn+11 − qBeweis: Sei 1 ≠ q ∈ R beliebig.IA (n = 0):0∑q k = q 0 = 1 = 1 − q1 − q = 1 − q0+11 − q