Skript ist für den Vorbereitungskurs

3. (a + b)(a − b) = a · a + a · (−b) + a · (−b) + b · (−b) = a 2 − b 2 14 Lösungen der Übungsaufgaben 717. P(∅) = {∅}8. M 1 × M 2 × M 3 = { (1,2,X),(1,2,y),(1, 2, 3),(1,3,X),(1,3,y), (1,3,3),(2,2,X),(2,2,y),(2, 2, 3),(2,3,X),(2,3,y), (2,3,3)}9. Bestimme alle Paare disjunkter Mengen:{{M 1 ,M 3 }, {M 1 ,M 4 }, {M 2 ,M 4 }, {M 3 ,M 5 }, {M 4 ,M 5 }}10. M 1 \ M 2 = {1}11. M 3 \ M 4 = {X,3}12. Gilt (M 1 ∩ M 2 ) ⊆ M 5 ? Ja, weil M 1 ∩ M 2 = {2} und 2 ∈ {2,4,6}, also {2} ⊆ {2,4,6}Aufgabe 2Gib die Elemente der folgenden Mengen an:1. {x ∈ N : x < 4} = {1,2,3}2. {x ∈ R : x 2 = 1} = {1, −1}3. {x ∈ Z : ∃y ∈ Z : xy = 1} = {1, −1}4. {x ∈ Z : x < 100 ∧ ∃y ∈ Z : y 2 = x} = {0,1,4,9,16,25, 36,49,64, 81}3.2.4 LösungFinde die Nullstellen von x 3 − 2x 2 − 29x − 42. Hinweis: Eine Nullstelle ist 7.(x 3 − 2x 2 − 29x − 42 ) : ( x − 7 ) = x 2 + 5x + 6− x 3 + 7x 25x 2 − 29x− 5x 2 + 35x6x − 42− 6x + 420Also ist die Menge der Nullstellen: {−3, −2,7}, da x 2 +5x+6, wie schon bei der Mitternachtsformel(in 3.2.2) gesehen, die Nullstellen −3 und −2 hat.3.3 LösungBehauptung: Für zwei Zahlen a,b ∈ R gilt:1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 22. (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 23. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2Beweis: Seien a,b ∈ R. Dann rechnen wir einfach nach:1. (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a · a + b · a + a · b + b · b = a 2 + 2ab + b 22. (a − b) 2 = (a − b) · (a − b) = a · a + (−b) · a + a · (−b) + (−b) · (−b) = a 2 − 2ab + b 2