Skript ist für den Vorbereitungskurs

66 Vorkurs Mathematik13 Lineare Gleichungssysteme13.1 BeispieleBeispiel 15x 1 − 2x 2 + x 3 = 411x 2 − 13x 3 = −1725x 3 = 75Nun wollen wir x 1 ,x 2 und x 3 so bestimmen, dass das Gleichungssystem erfüllt ist.Dazu lösen wir von der dritten Zeile beginnend auf:25x 3 = 75 ⇐⇒ x 3 = 7525 = 3Dieses Ergebnis von x 3 setzen wir nun in der zweiten Zeile ein:11x 2 − 13x 3 = −17 ⇐⇒ 11x 2 − 13 · 3 = −17⇐⇒ 11x 2 − 39 = −17⇐⇒ 11x 2 = 22⇐⇒ x 2 = 2Und nun setzen wir x 2 und x 3 in der ersten Zeile ein:5x 1 − 2x 2 + x 3 = 4 ⇐⇒ 5x 1 − 2 · 2 + 3 = 4Wir erhalten als Lösungsmenge also L = {(1,2,3)}⇐⇒ 5x 1 − 1 = 4⇐⇒ 5x 1 = 5⇐⇒ x 1 = 1Um das Ergebnis zu überprüfen, machen wir immer die Probe!Beispiel 25 · 1 − 2 · 2 + 3 = 411 · 2 − 13 · 3 = −1725 · 3 = 755x 1 − 2x 2 + x 3 = 43x 1 + x 2 − 2x 3 = −1−2x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 10⎛5 −2 1⎞4Wir übersetzen dies nun in eine Matrix: ⎝ 3 1 −2 −1⎠−2 3 2 10Mit Matrizen lassen sich nun folgende Äquivalenzumformungen durchführen:1. Zeilen vertauschen2. Multiplizieren einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl