Skript ist für den Vorbereitungskurs

64 Vorkurs Mathematik12.3.3 Eindeutigkeit des inversen ElementsSei (G, ◦,e) eine Gruppe und x ∈ G beliebig.Behauptung: Das zu x inverse Element ist eindeutig.Beweis: Es gebe Elemente x 1 ,x 2 ∈ G mitx ◦ x 1 = x 1 ◦ x = e und (1)x ◦ x 2 = x 2 ◦ x = e (2)Dann folgt aus x 1 = x 1 ◦ e (2)(1)= x 1 ◦ (x ◦ x 2 ) = (x 1 ◦ x) ◦ x 2 = e ◦ x 2 = x 2 direkt dieEindeutigkeit.Eben aus diesem Grund schreibt man für das zu x inverse Element meist x −1 .12.3.4 Abelsche GruppeEine Gruppe, in der die Verknüpfung kommutativ ist, heißt kommutative oder auch abelscheGruppe.12.3.5 Beispiele1. (Z,+,0), (Q,+,0), (R,+,0), (C,+,0)2. (Q \ {0}, ·,1), (R \ {0}, ·,1). (C \ {0}, ·,1)12.3.6 Eigenschaften des GruppenhomomorphismusBehauptung: Seien (H, ◦ H ,e H ) und (K, ◦ K ,e K ) Gruppen, ϕ : H → K ein Homomorphismusund x ∈ H beliebig. Dann gilt:1. ϕ(e H ) = e K2. ϕ(x −1 ) = (ϕ(x)) −1Beweis:1. Wir rechnen nach:ϕ(e H ) = ϕ(e H ) ◦ K e K= ϕ(e H ) ◦ K ϕ(e H ) ◦ K (ϕ(e H )) −1= ϕ(e H ◦ H e H ) ◦ K (ϕ(e H )) −1= ϕ(e H ) ◦ K (ϕ(e H )) −1= e K2. Um zu überprüfen, dass ein Element g einer beliebigen Gruppe (G, ◦,e) als inversesElement g −1 besitzt, muss g ◦ g −1 = e = g −1 ◦ g gelten:ϕ(x) ◦ K ϕ(x −1 ) = ϕ(x ◦ H x −1 ) = ϕ(e H ) = e Kϕ(x −1 ) ◦ K ϕ(x) = ϕ(x −1 ◦ H x) = ϕ(e H ) = e KWir haben also ein Element ϕ(x −1 ) gefunden, das wir sowohl von links, als auchvon rechts mit ϕ(x) verknüpfen können, so dass e K herauskommt.Damit gilt ϕ(x −1 ) = (ϕ(x)) −1 .