Skript ist für den Vorbereitungskurs

12 Algebra 6312.2.3 Eindeutigkeit des NeutralelementsBehauptung: Das Neutralelement eines Monoids ist eindeutig.Beweis: Sei (H, ◦) eine Halbgruppe. Es gebe Elemente e 1 ,e 2 ∈ H mit∀x ∈ H : e 1 ◦ x = x = x ◦ e 1 und (1)∀x ∈ H : e 2 ◦ x = x = x ◦ e 2 (2)Dann folgt aus e 1(2)= e 1 ◦ e 2(1)= e 2 direkt die Eindeutigkeit. 12.3 Gruppen12.3.1 DefinitionEin Monoid (H, ◦,e), für das gilt:∀x ∈ H : ∃y ∈ H : x ◦ y = e = y ◦ xheißt Gruppe.Das zu x inverse Element y wird meist mit x −1 bezeichnet.12.3.2 Beispiele1. (Z,+,0)In 12.2.2 haben wir schon gesehen, dass (Z,+,0) ein Monoid ist. Betrachten wir einebeliebige Zahl n ∈ Z, so gilt n + (−n) = 0 = (−n) + n. Also ist −n das zu n inverseElement und damit (Z,+,0) eine Gruppe.2. (Q,+,0), (R,+,0), (C,+,0) sind Gruppen, jedoch ist (N 0 ,+,0) keine Gruppe.3. (Q \ {0}, ·,1)Wir müssen hier 0 aus Q herausnehmen, da kein y ∈ Q existiert, für das 0 · y = 1 undy · 0 = 1 gilt.Klar: (Q \ {0}, ·,1) ist ein Monoid. Für ein beliebiges x ∈ Q \ {0} ist x · 1x = 1 und1x · x = 1, also ist 1 xdas Inverse zu x. Damit ist (Q \ {0}, ·,1) eine Gruppe.4. (R \ {0}, ·,1), (C \ {0}, ·,1) sind Gruppen, jedoch sind (N, ·,1), (Z, ·,1), (Q, ·,1) keineGruppen und auch (Z \ {0}, ·,1) nicht (es gibt zum Beispiel kein inverses Element zu 2).5. (Bij(M,M), ◦,id)(Dabei bezeichnet Bij(M,N) die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach N.)In 12.2.2 haben wir schon gesehen, dass (Abb(M,M), ◦,id), also insbesondere auch(Bij(M,M), ◦,id) ein Monoid ist. In 6.7 haben wir gesehen, dass jede bijektive Abbildungf eine Umkehrabbildung f −1 besitzt, für die gilt: f ◦ f −1 = id = f −1 ◦ f. Damit ist dieUmkehrabbildung die inverse Abbildung. Also ist (Bij(M,M), ◦,id) eine Gruppe.Da nicht bijektive Abbildungen keine Umkehrabbildung besitzen, ist (Abb(M,M), ◦,id)jedoch keine Gruppe.6. Da bei (P(M), ∪, ∅) das neutrale Element die leere Menge ist und wir durch die Vereinigungdie Menge nur vergrößern können, ist (P(M), ∪, ∅) keine Gruppe. Umgekehrtverkleinert bei (P(M), ∩,M) der Schnitt immer die Menge, obwohl das neutrale Elementdie gesamte Menge M ist. Also ist auch (P(M), ∩,M) keine Gruppe.