Skript ist für den Vorbereitungskurs

62 Vorkurs Mathematik12.1.6 HomomorphismusSeien (H, ◦ H ) und (K, ◦ K ) Halbgruppen.Eine Abbildung ϕ : H → K heißt Homomorphismus, wenn gilt:12.1.7 Beispiele∀x,y ∈ H : ϕ(x ◦ H y) = ϕ(x) ◦ K ϕ(y)1. Behauptung: ln : R + → R : x ↦→ ln(x) ist ein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen(R + , ·) und (R,+).Beweis: Seien x,y ∈ R + beliebig.Dann gilt: ln(x · y) = ln(x) + ln(y) (wie wir schon in 3.8.3 gesehen haben)2. Behauptung: f : R → R : x ↦→ 3x ist ein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen(R,+) und (R,+).Beweis: Seien x,y ∈ R beliebig.Es gilt: f(x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f(x) + f(y)3. Behauptung: g : R → R : x ↦→ 3x + 2 ist kein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen(R,+) und (R,+).Beweis: Betrachte: g(2 + 3) = g(5) = 3 · 5 + 2 = 17Aber: g(2) + g(3) = (3 · 2 + 2) + (3 · 3 + 2) = 8 + 11 = 19Damit ist g(2 + 3) ≠ g(2) + g(3).12.2 Monoide12.2.1 DefinitionEine Halbgruppe (H, ◦) in der es ein Element e gibt, für das gilt:∀x ∈ H : e ◦ x = x = x ◦ eheißt Monoid. Das Element e wird neutrales Element oder Neutralelement genannt. Wir schreibendas Monoid als (H, ◦,e).12.2.2 Beispiele1. (N 0 ,+,0)In 12.1.2 haben wir schon gesehen, dass (N 0 ,+) eine Halbgruppe ist. Für jede Zahl n ∈ N 0gilt 0 + n = n. Da + in N 0 kommutativ ist, gilt auch n + 0 = n. Damit ist (N 0 ,+,0) ein(kommutatives) Monoid.2. (Z,+,0), (Q,+,0), (R,+,0), (C,+,0)3. (N, ·,1), (N 0 , ·,1), (Z, ·,1), (Q, ·,1), (R, ·,1), (C, ·,1)4. (P(M), ∪, ∅), (P(M), ∩,M)5. (Abb(M,M), ◦,id)In 12.1.2 haben wir schon gesehen, dass (Abb(M,M), ◦) eine Halbgruppe ist. Weil füralle f ∈ Abb(M,M) und ein beliebiges x ∈ M schon (id ◦f)(x) = id(f(x)) = f(x) und(f ◦ id)(x) = f(id(x)) = f(x) gilt, ist auch id ◦f = f = f ◦ id.6. (N,+) ist kein Monoid.Wir finden keine natürliche Zahl e ∈ N, so dass e + n = n = n + e für alle n ∈ N gilt.