Skript ist für den Vorbereitungskurs

12 Algebra 616. Sei M eine beliebige nichtleere Menge: (Abb(M,M), ◦)(Dabei bezeichnet für zwei Mengen M,N der Ausdruck Abb(M,N) die Menge allerAbbildungen von M nach N und ◦ wie in 6.6 die Hintereinanderausführung von Abbildungen.)Betrachten wir zwei beliebige Abbildungen f : M → M und g : M → M, so ist auch f ◦geine Abbildung von M nach M. Dadurch können also Abbildungen beliebig ineinanderverschachtelt werden. Das Assoziativgesetz haben wir in 6.6.1 schon gezeigt.Zur Verdeutlichung der Abgeschlossenheit schauen wir uns die Menge aller Abbildungenfür M = {1,2} an (wieder kein Beweis, sondern nur ein Beispiel!). Damit istAbb(M,M) ={( ) 1 2,1 1( ) 1 2,1 2Übung: Berechne hierzu die Verknüpfungstafel.12.1.3 Gegenbeispiele1. Behauptung: (N, −) ist keine Halbgruppe.( ) 1 2,2 1( )} 1 22 2Beweis: Zum Beispiel ist 5 ∈ N und 7 ∈ N, aber 5−7 = −2 ∉ N, somit ist N bezüglich −nicht abgeschlossen, also keine Halbgruppe. Ebenso könnten wir die Assoziativitätwiderlegen: 10 − (5 − 2) = 10 − 3 = 7 ≠ 3 = 5 − 2 = (10 − 5) − 2.2. Übung: Zeige, dass (Z, ÷) keine Halbgruppe ist.3. (Abb(M,N), ◦) mit N ⊈ M ist keine Halbgruppe.Hierzu schauen wir uns das Beispiel M = {1,2}, N = {3,4} an (Beispiel, kein Beweis):Abb(M,N) ={( ) 1 2,3 3( ) 1 2,3 4( ) 1 2,4 3( )} 1 2.4 4( )( )1 21 2Wählen wir dann f = ∈ Abb(M,N) und g = ∈ Abb(M,N) so sehen3 33 4wir sofort, dass es keinen Sinn macht über f ◦ g oder g ◦ f zu reden, da diese nichtdefiniert sind. Damit ist ◦ hier keine gültige Verknüpfung und somit (Abb(M,N), ◦)keine Halbgruppe.12.1.4 KommutativitätEine Halbgruppe (H, ◦) heißt kommutativ (also kommutative Halbgruppe), wenn die Verknüpfungkommutativ ist:∀x,y ∈ H : x ◦ y = y ◦ x12.1.5 Beispiele1. (N,+), (N 0 ,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)2. (N, ·), (N 0 , ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·)3. (P(M), ∪), (P(M), ∩)4. (Abb(M,M), ◦) ist nicht kommutativ (siehe 6.6.2).