Skript ist für den Vorbereitungskurs

60 Vorkurs Mathematik12 AlgebraEine algebraische Struktur besteht aus einer nichtleeren Grundmenge, auf der eine oder mehrereVerknüpfungen definiert sind, die bestimmte Bedingungen erfüllen müssen.Die Algebra erscheint am Anfang sehr abstrakt. Wir beschäftigen uns jedoch auch in derInformatik damit, da die gegebenen Strukturen immer wieder auftauchen.12.1 Halbgruppen12.1.1 DefinitionSei H ≠ ∅ eine Menge und◦ : H × H → H : (x,y) ↦→ ◦(x,y)eine Abbildung (in diesem Fall meist Verknüpfung genannt). Anstatt ◦(x,y) schreiben wireinfacher x ◦ y. Gilt für die Verknüpfung das Assoziativgesetz:dann heißt (H, ◦) Halbgruppe.∀x,y,z ∈ H : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)Bemerkung: Weil die Abbildung zwei Elemente aus H miteinander verknüpft und das Ergebniswieder in H liegt, ist sie abgeschlossen.12.1.2 Beispiele1. (N,+)Hier ist also H = N und ◦ = +. Wenn wir zwei natürliche Zahlen miteinander addieren(also verknüpfen), ist das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl. Damit ist die Additionabgeschlossen. Auch das Assoziativgesetz (k + m) + n = k + (m + n) ist für natürlicheZahlen aus der Schule schon bekannt.2. (N 0 ,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)3. (N, ·), (N 0 , ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·)4. Sei M eine beliebige Menge. Dann ist auch (P(M), ∪) eine Halbgruppe:Hier ist also H = P(M) und ◦ = ∪. Wenn wir zwei Teilmengen von M (also Elementeaus P(M)) vereinigen, entsteht wieder eine Teilmenge von M, wie wir in 2.8.2 gezeigthaben.Zur Verdeutlichung der Abgeschlossenheit schauen wir uns die Menge M = {1,2} alsBeispiel an (kein Beweis, nur ein Beispiel!).∪ ∅ {1} {2} {1,2}∅ ∅ {1} {2} {1,2}Verknüpfungstafel: {1} {1} {1} {1,2} {1,2}{2} {2} {1,2} {2} {1,2}{1,2} {1,2} {1,2} {1,2} {1,2}5. (P(M), ∩)Übung: Sei wieder M = {1,2}. Zeige die Abgeschlossenheit des Schnittes mithilfe einerVerknüpfungstafel.