Skript ist für den Vorbereitungskurs

11 Komplexe Zahlen 5911.4.2 Multiplikation11.4.3 Divisionz 1 · z 2 = (a 1 + ib 1 ) · (a 2 + ib 2 )= a 1 a 2 + a 1 ib 2 + ib 1 a 2 + i 2 b 1 b 2= (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 )Wir versuchen wieder die Form x + iy mit x,y ∈ R zu erlangen und deswegen das i aus demNenner zu entfernen.z 1= a 1 + ib 1z 2 a 2 + ib 2= a 1 + ib 1a 2 + ib 2· a2 − ib 2a 2 − ib 2= (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + i(a 2 b 1 − a 1 b 2 )a 2 2 + b2 2= a 1a 2 + b 1 b 2a 2 2 + b2 2Damit gilt für a,b ∈ R also insbesondere11.5 Betrag1a + ib =+ i a 2b 1 − a 1 b 2a 2 2 + b2 2a − ib(a + ib)(a − ib) = aSei z = a + ib ∈ C. Dann ist der Betrag von z definiert als11.6 Fundamentalsatz der Algebra|z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2a 2 + b 2 − i ba 2 + b 2.Die komplexen Zahlen bieten uns den Vorteil, dass jedes Polynom n-ten Grades immer genaun (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen in C besitzt.11.7 ÜbungenSeien z 1 := 3 + 6i,z 2 := 10 − 5i. Berechne:1. ¯z 12. ¯z 23. z 1 + z 24. z 1 − z 25. z 1 · z 26.z 1z 27. |z 1 |8. |z 2 |9. Finde die Nullstellen von X 2 + 9.