Skript ist für den Vorbereitungskurs

••58 Vorkurs Mathematik11 Komplexe Zahlen11.1 MotivationIn der Menge N der natürlichen Zahlen kann man nicht uneingeschränkt subtrahieren, unddaher hat z.B. eine Gleichung wie n + 2 = 1 keine Lösung n ∈ N.Dies wird möglich durch Erweiterung von N zur Menge Z der ganzen Zahlen.In der Menge Z kann man allerdings weiterhin nicht uneingeschränkt (durch Zahlen ≠ 0)dividieren, und daher hat z.B. eine Gleichung wie 2z = 1 keine Lösung z ∈ Z.Dies wird möglich durch Erweiterung von Z zur Menge Q der rationalen Zahlen.In der Menge Q kann man nicht uneingeschränkt Wurzeln aus nicht-negativen Zahlen ziehen,und daher hat z.B. die Gleichung q 2 = 2 keine Lösung q ∈ Q.Dies wird möglich in der Menge R der reellen Zahlen.Neue Problemstellung: Löse r 2 + 1 = 0Lösung: Die komplexen Zahlen C11.2 DefinitionEine komplexe Zahl z ∈ C wird durch z = a + ib mit a,b ∈ R definiert. Dabei ist i bestimmtdurch i 2 = −1. a heißt Realteil (abgekürzt mit Re(z) oder R(z)) und b Imaginärteil (Im(z)oder I(z)) von z.Mit ¯z bezeichnen wir die zu z konjugiert komplexe Zahl. Diese ist definiert durch ¯z = a − ib.Konvention: Wir schreiben a + ib für zwei Variablen a und b, aber mit Zahlen verdrehen wirdie Reihenfolge von i und b. Zum Beispiel 2 + 3i.11.3 Gaußsche ZahlenebeneDie komplexen Zahlen werden graphisch in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulicht. Diex-Koordinate bestimmt dabei den Realteil und die y-Koordinate den Imaginärteil.Re(z)3√22 + √ 3i21•5 + 2iIm(z)−3 −21 2 3 4 5 6 7−1,5 − i−1−111.4 RechenregelnSeien im Folgenden z 1 = a 1 + ib 1 , z 2 = a 2 + ib 2 ∈ C.11.4.1 Addition / Subtraktionz 1 ± z 2 = (a 1 + ib 1 ) ± (a 2 + ib 2 )= (a 1 ± a 2 ) + i(b 1 ± b 2 )