Skript ist für den Vorbereitungskurs

56 Vorkurs Mathematik10.4 Ordnungsrelation10.4.1 DefinitionSei M eine nichtleere Menge und ≼ ⊆ M 2 eine Relation, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:∀x ∈ M : x ≼ x∀x,y ∈ M : x ≼ y ∧ y ≼ x ⇒ x = y∀x,y,z ∈ M : (x ≼ y ∧ y ≼ z) ⇒ x ≼ z(Reflexivität)(Antisymmetrie)(Transitivität)Man spricht dann von einer Ordnungsrelation. Man sagt auch ≼ ist eine (partielle) Ordnungauf M oder (M, ≼) ist eine (partielle) Ordnung.Gilt zusätzlich:∀x,y ∈ M : (x ≼ y) ∨ (y ≼ x)dann heißt (M, ≼) lineare (oder vollständige) Ordnung.10.4.2 Beispiele1. Betrachte M := {1,2,3}, also P(M) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2, 3}, {1,2,3}}Behauptung: ⊆ auf P(M) ist eine partielle Ordnung, die nicht linear ist.Beweis: Seien X,Y,Z ∈ P(M) beliebig.Reflexivität: Es gilt immer X ⊆ X.Antisymmetrie: Wenn X ⊆ Y und Y ⊆ X, dann gilt nach (2.7.5) X = Y . ̌Transitivität: Wenn X ⊆ Y und Y ⊆ Z, dann ist auch X ⊆ Z.Linearität: Es ist {1} ⊈ {2} und {2} ⊈ {1}. Somit ist diese Bedingung nicht erfüllt.Betrachten wir die graphische Veranschaulichung der nicht linearen Ordnung. Ein Strichdeutet hierbei die Teilmengen-Relation an:∅{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}2. Betrachtet man die Relation (N, ≤), also das gewöhnliche ≤ auf den natürlichen Zahlen,ist direkt aus der Definition die lineare Ordnung abzulesen.Schauen wir uns auch hier einen Ausschnitt aus der graphischen Veranschaulichung derlinearen Ordnung an. Ein Strich deutet hierbei die ”kleiner gleich“-Relation an:1 2 3 4 5 ...3. Wird das gewöhnliche < auf den reellen Zahlen als Relation verwendet, so gilt die Reflexivitätnicht mehr, da für kein x ∈ R gilt x < x. Also ist < keine Ordnungsrelation.10.4.3 Einschub TeilbarkeitFür x,y ∈ Z schreiben wir x | y und sagen ”x teilt y“, wenn x ein Teiler von y ist, also fallsgilt:∃n ∈ Z : y = nxBeispiele: 3 | 6, 4 | 64, 3 ∤ 2, 9 ∤ 3