Skript ist für den Vorbereitungskurs

10 Relationen 55Behauptung: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.Beweis: Seien x,y,z ∈ R.Reflexivität: Wie wir wissen, gilt |x| = |x|, also gilt x ∼ x.Symmetrie: Wenn wir schon wissen, dass |x| = |y|, gilt natürlich auch |y| = |x|.Also gilt: x ∼ y ⇒ y ∼ xTransitivität: Ebenso gilt wenn |x| = |y| und |y| = |z| auch schon |x| = |z|.Damit gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ zAlle 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, somit ist die gegebene Relationalso eine Äquivalenzrelation.10.3.3 GegenbeispielSeien x,y ∈ Q und ∼⊆ Q 2 .Es sei x ∼ y ⇐⇒ 2x = y (vergleiche mit R 3 von oben).Behauptung: ∼ ist keine Äquivalenzrelation.Beweis: Um zu zeigen, dass ∼ keine Äquivalenzrelation ist, reicht es schon zu zeigen, dass dieRelation ∼ eines der drei Kriterien verletzt. Und dazu muss man für das entsprechendeKriterium geeignete Elemente angeben, für die das Kriterium nicht erfüllt ist.Für beispielsweise x = 1 ist 2·x = 2·1 = 2 ≠ 1 = x, also x ≁ x. Somit ist die Reflexivitätverletzt und damit ∼ keine Äquivalenzrelation.Übung: Finde einen Widerspruch zu einer anderen Eigenschaft der Äquivalenzrelation.10.3.4 ÄquivalenzklassenSei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M und x ∈ M ein beliebiges Element. Dann nennt man dieMenge [x] := {y ∈ M : x ∼ y} = {y ∈ M : y ∼ x} die Äquivalenzklasse von x.Beispiele von Äquivalenzklassen zu obiger Äquivalenzrelation x ∼ y ⇐⇒ |x| = |y|:• [1] = {1, −1}• [ ]73 = {73 , −7 3 }• [−23] = {23, −23}• [0] = {0}Diese Liste könnte man unendlich fortsetzen.10.3.5 Übungen1. Seien M := {1,2,3,4} und R 1 ,R 2 ⊆ M × M.• Ist R 1 := {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2, 3),(1,3), (3, 3),(4,4),(3, 2), (3,1)} eine Äquivalenzrelation?• Ist R 2 := {(1,1),(2,2),(2,1), (3, 3),(3,4), (4, 3),(4,4)} eine Äquivalenzrelation?2. Sei ∼⊆ Z 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x − y ist gerade.Ist ∼ eine Äquivalenzrelation? Wenn ja, bestimme die Äquivalenzklassen.