Skript ist für den Vorbereitungskurs

54 Vorkurs Mathematik10 RelationenWollen wir zusammengesetzte Daten, wie zum Beispiel Telefonbucheinträge, Namenslisten oderKlassenlisten mit Noten untersuchen, so verwenden wir Relationen.10.1 DefinitionSeien M 1 ,M 2 ,...,M n beliebige nichtleere Mengen.Eine n-stellige Relation R über M 1 ×M 2 ×...×M n ist eine Teilmenge von M 1 ×M 2 ×...×M n .Schreibweise: Für eine zweistellige Relation ∼ schreiben wir statt (x,y) ∈∼ oft einfacherx ∼ y und sagen x steht in Relation zu y.10.2 Beispiele1. Betrachte die Mengen:Personen := {Michael, Claudia}Einkommen := {1000e, 2000e, 3000e}Autos := {VW, Ferrari, Porsche, Mercedes}Wir definieren auf Personen × Einkommen × Autos zum Beispiel die RelationR 1 := {(Michael, 1000e, Ferrari), (Claudia, 3000e, Porsche)}.2. Betrachte die Relation R 2 ⊆ Z × Z mit R 2 := {(2,5),(23,42), (−7, 6)}.3. R 3 ⊆ Q × Q mit R 3 := {(z,2z) : z ∈ Q}Hier gilt zum Beispiel: (2,4) ∈ R 3 ,( 1 4 , 1 2 ) ∈ R 3,(1,1) ∉ R 310.3 Äquivalenzrelation10.3.1 DefinitionSei M eine nichtleere Menge und ∼⊆ M 2 := M ×M eine Relation mit folgenden Eigenschaften:∀x ∈ M : x ∼ x∀x,y ∈ M : x ∼ y ⇒ y ∼ x∀x,y,z ∈ M : (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ z(Reflexivität)(Symmetrie)(Transitivität)Sind alle diese 3 Eigenschaften erfüllt, so spricht man von einer Äquivalenzrelation (auf M).MotivationGrob gesprochen nennt man zwei Objekte äquivalent, wenn sie sich in Bezug auf eine bestimmteEigenschaft gleichen. Betrachten wir die Menge aller T-Shirts, so kann man sie farblicheinteilen. Alternativ könnten wir sie auch in die Kategorien V-Ausschnitt, Rundkragen oderSonstige einteilen. Verwenden wir die Farben-Eigenschaft, so nennen wir alle T-Shirts gleicherFarbe (z.B. gelb) äquivalent, egal welchen Ausschnitt, welche Marke oder welchen Aufdrucksie besitzen.10.3.2 BeispieleSeien x,y ∈ R und ∼⊆ R 2 .Es sei x ∼ y ⇐⇒ |x| = |y|.