Skript ist für den Vorbereitungskurs

•52 Vorkurs Mathematikd5.dx(x + 2)26.ddx e5x7.ddx e−x2d8.dx7x · 2x2d9.dx5x · cos(x)10.ddx sin2 (x)11.ddx (sin4 (x) − cos 4 (x))12.d13.d14.d1dx 3xx 4 −1dx x 2 +1e xdx x 215.ddx eax · cos(bx)16.ddx tan(x)17.ddx xcos ( ln ( 4x 3) + π 3)9.8 Zusammenhang von Monotonie und AbleitungSeien a,b ∈ R mit a < b und f : ]a,b[ → R stetig differenzierbar.Ist f ′ (x) > 0 für alle x ∈ ]a,b[, so ist f streng monoton wachsend.Ist f ′ (x) < 0 für alle x ∈ ]a,b[, so ist f streng monoton fallend.9.9 Lokale ExtremaSeien a,b ∈ R mit a < b, f : ]a,b[ → R eine reelle Funktion und c ∈ ]a,b[.9.9.1 Definitionf(c) heißt lokales Maximum, falls gilt:∃δ > 0 : ∀x ∈ ]a,b[ : |x − c| < δ ⇒ f(c) ≥ f(x)f(c) heißt lokales Minimum, falls gilt:∃δ > 0 : ∀x ∈ ]a,b[ : |x − c| < δ ⇒ f(c) ≤ f(x)Liegt einer der beiden Fälle vor, so heißt f(c) lokalerExtremwert und c lokale Extremstelle.f(x)4321−1−19.9.2 Zusammenhang von lokalen Extremwerten und der AbleitungIst f differenzierbar, so gilt:Ist c eine Extremstelle, so ist f ′ (c) = 0.Ist f zusätzlich zweimal stetig differenzierbar, so gilt:Ist f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) < 0, so ist f(c) ein lokales Maximum.Ist f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) > 0, so ist f(c) ein lokales Minimum.δ = 3 21 2 3 4 5x