Skript ist für den Vorbereitungskurs

••••••50 Vorkurs Mathematik9 Differentialrechnung9.1 Sekantef(x) x 24Die Sekante (Schneidende) ist eine Gerade durch zweiPunkte einer Funktion f. Wir können mit der Sekanteeinfach die Steigung zwischen zwei Punkten darstellen.Haben wir die Punkte (x,f(x)) und (c,f(c)), so ist dieSteigung der Sekante:9.2 Tangentef(x) − f(c)x − c−2321−1−11 2Die Tangente ist eine Gerade, die an einem Punkt (c,f(c)) einer Funktion f anliegt und derenSteigung dadurch approximiert, dass sie die Sekante zu einem ”unendlich nahen Punkt“ ist.f(x) x 2f(x) x 2f(x) x 2xf(x) x 233332222−21−1−11• 1x−2−1−11• 1x−2−1−1• 1x1 −2 −1−11x9.3 AbleitungDie Tangente existiert genau dann, wennf(x) − f(c)limx→c x − cexistiert. Dieser Grenzwert heißt dann Ableitung von f an der Stelle c und wird mit f ′ (c),(c) oder f(c) ˙ bezeichnet. Die Funktion heißt dann differenzierbar im Punkt c.dfdx9.4 DifferenzierbarkeitIst die Funktion f an jeder Stelle c ∈ D differenzierbar, so heißt die Funktion differenzierbar.Es gilt ”differenzierbar ⇒ stetig“.Dies bedeutet aber auch ”nicht stetig ⇒ nicht differenzierbar“ (5.7.1 Kontraposition).9.5 Stetig differenzierbarDie Funktion f heißt stetig differenzierbar, wenn f differenzierbar und die Ableitung f ′ von fstetig ist.Stetig differenzierbar heißt also nicht, dass die Funkton f stetig und differenzierbar ist. Diesist klar, da aus Differenzierbarkeit schon Stetigkeit folgt.