Skript ist für den Vorbereitungskurs

48 Vorkurs MathematikAlternativ über Folgenstetigkeit:Sei u n = 1 + 1 n mit lim n→∞ u n = 1. Da 1 + 1 n > 1 gilt:(1 +1lim f(u nn) = limn→∞ n→∞ 2+ 2)( 5= limn→∞ 2 + 1 )= 5 2n 2 ≠ 3 2 = f(1) 2. Dass Stetigkeit mehr bedeutet als Zeichnen ohne Stift absetzen“, sehen wir an folgendem”Beispiel:{sin ( )1Betrachte die Funktion g : R → R : x ↦→xfalls x ≠ 00 falls x = 0g(x)1−2−1−11 2x−2Behauptung: Diese Funktion ist nicht stetig, da sie in x 0 = 0 nicht stetig ist.Beweis: Wählen wir die Folge (u n ) n∈N mit u n := 12πn+ π .2Dann ist offensichtlich lim u n = 0, abern→∞( ) (lim g(u n) = lim g 1n→∞ n→∞ 2πn + π = sin2112πn+ π 2)(= sin 2πn + π )= 1 ≠ 0 = g(0)23. Da wir für eine stetige Funktion nur fordern, dass sie in jedem Punkt des Definitonsbereichsstetig ist, kann es sogar stetige Funktionen geben, bei denen wir den Stift (bei derDefinitionslücke) absetzen müssen, die aber trotzdem stetig ist.{x + 1Beispiel: Sei h : R \ {1} → R : x ↦→2falls x < 1x2 + 2 falls x > 1Vergleiche die stetige Funktion h mit der nicht stetigen Funktion f:Bei dieser Funktion müssen wir die Stetigkeit im Punkt x 0 = 1 nicht betrachten. In allenPunkten aus dem Definitionsbereich ist die Funktion stetig, also ist sie stetig.