Skript ist für den Vorbereitungskurs

44 Vorkurs Mathematik2. Identische Funktion: id : D → R : x ↦→ xBeispiel: D = [ − 1 2 ,2] f(x)321−2−1−11 2 3 4 5x3. Indikatorfunktion: Die Indikatorfunktion gibt für B ⊆ A an, ob ein Element x in Benthalten ist:{0 falls x ∉ B1 B : A → {0,1} : x ↦→1 falls x ∈ BBeispiel: A = R, B = [−1,3]f(x)321−2−1−11 2 3 4 5x8.5 MonotonieEine Funktion f heißt (streng) monoton wachsend, wenn für x 1 < x 2 stets f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (bzw.f(x 1 ) < f(x 2 )) gilt. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend.8.6 UmkehrfunktionenAnalog zu Umkehrabbildungen existieren zu bijektiven Funktionen Umkehrfunktionen. Diesezeichnen sich dadurch aus, dass der Graph der Funktion an der ersten Winkelhalbierendengespiegelt wird.Bemerkung: Ist eine Funktion streng monoton, so ist sie innerhalb ihres Bildbereichs stetsumkehrbar.Berechnung der Umkehrfunktion:Löse die Gleichung f(x) = y nach x auf und vertausche am Ende die Variablennamen.Beispiel: Betrachte die (offensichtlich bijektive) Funktion f : R → R : x ↦→ 5x + 2. Hier isty = 5x + 2, also x = y−25 .Also ist die Umkehrfunktion: f −1 : R → R : x ↦→ x−25Übung: Ist die Funktion g : R → R : x ↦→ x 3 − 3 bijektiv? Wenn ja, berechne die Umkehrfunktion.