Skript ist für den Vorbereitungskurs

••••••••42 Vorkurs MathematikBeweis: Sei ε > 0 beliebig und c := 0.Wähle n(ε) ∈ A k so, dass n(ε) > 1 ε. Dann gilt für ein beliebiges n ≥ n(ε) schon∣ |u n − c| =1 ∣∣∣∣n − 0 = 1 n ≤ 1n(ε) < 1 1= εε2. Betrachte die Folge (n) n≥1 .Egal um welchen Wert c wir hier einen ε-Schlauch legen wollen, wird es immer Folgegliedergeben, die außerhalb dieses Schlauches liegen. Damit erhalten wir dieBehauptung: Die Folge (n) n≥1divergiert.Beweis: Wir müssen (wegen A 1 = N) zeigen, dass die Aussage∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ N : ∀n ≥ n(ε) : |c − u n | < εmit einem c für diese Folge nicht gilt, also dass die Aussage∃ε > 0 : ∀n(ε) ∈ N : ∃n ≥ n(ε) : |c − u n | ≥ εfür jedes beliebige c gilt.Da ein negativer Grenzwert bei einer positiven Folge nicht möglich ist, betrachtenwir ein beliebiges c ≥ 0. Wählen wir dann zum Beispiel ε = 1 2, so ist für ein beliebigesn(ε) ∈ N und n := n(ε) + c (also n ≥ n(ε)) schon|u n − c| = |n − c| = |n(ε) + c − c| = |n(ε)| n(ε)∈N≥ 1 > 1 2 = ε 17.6 Cauchys KonvergenzkriteriumDie Folge u konvergiert genau dann, wenn∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ A k : ∀m,n ≥ n(ε) : |u m − u n | < εGrob gesprochen: Der Abstand zwischen zwei Folgengliedern u m und u n wird beliebig klein,wenn wir m und n genügend groß wählen.u n•1u n•0n(ε) = 4• • • • • • • • • • • • • • •2 4 6 8 10 12 14 16 18Im Beispiel ( )11nist für ε =n∈N 10eine Wahl von n(ε) = 4 noch nichtausreichend.n14 + 11014 − 110n(ε) = 10• • • • • • • • • • • • • • •110 + 110110 − 1100n2 4 6 8 10 12 14 16 18n(ε) = 10 reicht aus, da ab dem 10. Folgeglied alleFolgeglieder zwischen 0 und 210sind, also derAbstand zwischen beliebigen von diesen höchstensnoch 1 10sein kann.Vorteil: Die Konvergenz einer Folge kann ohne Wissen über den Grenzwert gezeigt werden.