Skript ist für den Vorbereitungskurs

•••••7 Folgen 417.3 Beobachtungen1. Die Folge geht gegen ±∞. (siehe Beispiel 1.)2. Die Folge häuft sich an genau einem Punkt. (siehe 2., 3. und 4.)3. Die Folge häuft sich an mehreren Punkten. (siehe 5.)4. Die Folge liegt komplett zwischen zwei Zahlen c und d. (siehe 2., 3., 4., 5.)Ziel: Wir wollen Begiffe finden, um diese Eigenschaften von Folgen zu beschreiben.Im Folgenden bezeichnen wir mit u die Folge (u n ) n≥k .7.4 Beschränkte FolgenDie Folge u heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl s ≥ 0 gibt, so dass für alle n ≥ k gilt:−s ≤ u n ≤ s. Formal geschrieben:7.5 Konvergente Folgen, Grenzwert∃s ≥ 0 : ∀n ≥ k : |u n | ≤ sDie Folge u konvergiert gegen die Zahl c, wenn für jede beliebig kleine positive Zahl ε alleFolgenglieder ab einem bestimmten Index sich um maximal ε von c unterscheiden.Formal geschrieben:Ist dies erfüllt, schreiben wir∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ A k : ∀n ≥ n(ε) : |u n − c| < εc = limn→∞ u nund sagen c ist Grenzwert der Folge.Ist eine Folge nicht konvergent, so nennen wir sie divergent.Beispiele:1. Betrachte die Folge ( )1n. Nehmen wir c = 0 und wählen zum Beispiel ε = 1, son≥1ist obige Aussage für jedes n(ε) ≥ 2 erfüllt. Wählen wir hingegegen ε = 1100 , müssten(ε) ≥ 101 sein um die Aussage zu erfüllen.1u nε = 1 4Skizze:0c + 1 • • •4• •n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10c − 1 4Bei ε = 1 4sind ab dem fünftenGlied alle Glieder innerhalb desε-Schlauchs.Damit kommen wir zu folgenderBehauptung: Die Folge ( )11nkonvergiert gegen 0. Formal: limn≥1 n→∞ n = 0.