Skript ist für den Vorbereitungskurs

6 Abbildungen 372. g : M → N mit g =3. id : R → R : x ↦→ x4. id : N → Z : x ↦→ x5. | · | : Q → Q : x ↦→ |x|6. succ : N → N : x ↦→ x + 17. succ : N 0 → N : x ↦→ x + 1( ) 1 3 4b a c6.6 Hintereinanderausführung von AbbildungenSeien f : M → N und g : N → P zwei Abbildungen.Dann heißt die Abbildung g ◦ f : M → P : x ↦→ g(f(x)) (gesprochen ”g nach f“), die Hintereinanderausführungder Abbildungen f und g.6.6.1 AssoziativgesetzBehauptung: Seien f : M → N, g : N → P und h : P → Q Abbildungen. Dann gilt:h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ fBeweis: Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x))= h(g(f(x)))= (h ◦ g)(f(x))= ((h ◦ g) ◦ f)(x)6.6.2 KommutativgesetzBehauptung: Die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist nicht kommutativ.(Das heißt es gibt Abbildungen f und g, sodass g ◦ f ≠ f ◦ g)Beweis: Betrachte dazu f : R → R : x ↦→ x + 1 und g : R → R : x ↦→ x 2 .Dann gilt für beliebiges x ∈ R mit x ≠ 0:6.7 Umkehrabbildung(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1≠ x 2 + 1 = f(x 2 ) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x)Sei f : M → N eine Abbildung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:1. f ist bijektiv.2. Es gibt eine Abbildung g : N → M mit g ◦ f = id M und f ◦ g = id N . g ist eindeutigbestimmt und heißt Umkehrabbildung oder inverse Abbildung f −1 zu f.