Skript ist für den Vorbereitungskurs
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5 Beweise 33IS (n → n + 1):n+1∑k =k=1n∑k + (n + 1)k=1IV =n(n + 1)2+ n + 1= n2 + n+ 2n + 22 2= n2 + 3n + 22(n + 1)(n + 2)=2(n + 1)((n + 1) + 1)=22. Behauptung: Bernoulli-UngleichungFür −1 < x ∈ R gilt:∀n ∈ N : (1 + x) n ≥ 1 + nxBeweis: Sei −1 < x ∈ R beliebig.IA (n = 1):(1 + x) 1 = 1 + x = 1 + 1 · xalso insbesondere:(1 + x) 1 ≥ 1 + 1 · xIV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N.IS (n → n + 1):(1 + x) n+1 = (1 + x) n · (1 + x)IV≥ (1 + nx) · (1 + x)= 1 + nx + x + nx 2}{{}≥0≥ 1 + nx + x= 1 + (n + 1)x5.11 ÜbungenZeige folgende Behauptungen1. Behauptung:n∑∀n ∈ N 0 : k 2 =k=0n(n + 1)(2n + 1)62. Behauptung:n∑∀n ∈ N : (2k − 1) = n 2k=1