Skript ist für den Vorbereitungskurs

4 Summen- und Produktzeichen 254.3.3 BinomiallehrsatzMithilfe der Binomialkoeffizienten können wir die binomischen Formeln für allgemeine Potenzenerweitern. Es gilt für beliebige a,b ∈ R und n ∈ N:(a + b) n =n∑k=0( nk)a n−k b k .Dabei lässt sich die Formel aufgrund der Kommutativität der Addition genauso schreiben als(a + b) n = (b + a) n =n∑k=0( nk)b n−k a k =n∑k=0( nk)a k b n−kSetzt man statt b einfach −b ein, erhält man die Verallgemeinerung der zweiten binomischenFormel:n∑( nn∑( n(a − b) n = (a + (−b)) n = ak)n−k (−b) k = ak)n−k (−1) k b kk=04.3.4 Pascal’sches DreieckWegen ( n) (k + n) (k−1 = n+1)k können wir die dazu benötigten Binomialkoeffizienten mithilfe desPascale’schen Dreiecks berechnen:( 50( 0( 0)1) ( 1( 0 1)2) ( 2) ( 2( 0 1 2)0) ( 3) ( 3) ( 3( 0 1 2 3)4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 0 ( 1 2 3 4)5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 51 2 3 4 5)=k=011 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1