Skript ist für den Vorbereitungskurs

22 Vorkurs Mathematik4 Summen- und Produktzeichen4.1 Summenzeichen4.1.1 DefinitionSeien a 1 ,...,a n ∈ R und k,n ∈ Z. Die Summe der Zahlen a k ,... ,a n wird bezeichnet mitn∑a i = a k + · · · + a ni=kDer Index i ist hierbei die Laufvariable (von i = k bis i = n), wie man es von der Programmierungmit for-Schleifen her vielleicht schon kennt und kann natürlich auch durch andereBuchstaben bezeichnet werden.4.1.2 Beispiele1.2.3.7∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7i=12∑log 2 i = log 2 1 + log 2 2 = 0 + 1 = 1i=14∑( 1 i − 1i+1 ) = ( 12 − 3) 1 (+13 − 1 (4)+14 − 1 )5 =12 − 1 5 = 510 − 210 = 3 10i=2∑4. 3+5+7+9+11+· · ·+23 = (2·1+1)+(2·2+1)+(2·3+1)+· · ·+(2·11+1) = 11 (2i+1)5. 1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 5 0 + 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 = 4 ∑4.1.3 Spezialfälle5 ii=01. Ist die untere Summationsgrenze geich der oberen, bedeutet dies, dass die Summe nuraus einem Summanden besteht:k∑a i = a ki=k2. Ist die untere Summationsgrenze größer als die obere Summationsgrenze, wird das Ergebnisder Summe als Null definiert:∑Formal: Seien k,n ∈ Z mit k > n. Dann ist n a i = 0.4.1.4 RechenregelnSeien im Folgenden a k ,... ,a n ,b k ,... ,b n ,c,d ∈ R und k,n ∈ Z. Dann gelten folgende Rechenregeln:i=ki=11.2.n∑∑a i = a k + · · · + a l + a l+1 + · · · + a n = l a i +i=ki=kn ∑i=l+1n∑∑(c · a i ) = ca k + ca 2 k + 1 + · · · + ca n = c · (a k + · · · + a n ) = c ni=ka i mit l ∈ N und k ≤ l ≤ n.a ii=k