Skript ist für den Vorbereitungskurs

3 Elementare Rechenoperationen 15• Ist ∆ > 0, so gibt es zwei Lösungen.• Ist ∆ = 0, so gibt es eine Lösung.• Ist ∆ < 0, so gibt es keine Lösung.Die p-q-Formel“ ist zur Mitternachtsformel“ äquivalent. Betrachte dazu die Umbenennung” ”p := b a und q := c aund folgende Umformungen:ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ x 2 + b a x + c a = 0 ⇐⇒ x2 + px + q = 0⇐⇒ x 1,2 = −p ± √ p 2 − 4q2= − p 2 ± √p 24 − qBeispiel: Bestimme die Nullstellen von x 2 + 5x + 6.x 1,2 = −5 ± √ 5 2 − 4 · 1 · 62 · 1= −5 ± √ 25 − 242= −5 ± 12⇒ x 1 = −2, x 2 = −33.2.3 PolynomeHaben wir Zahlen a 0 ,...,a n ∈ R gegeben, dann nennen wir einen Term der Forma 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x nein Polynom. Die Spezialfälle Gerade a 1 x + a 0 und Parabel a 2 x 2 + a 1 x + a 0 haben wir ebenbesprochen.3.2.4 PolynomdivisionDie Nullstellen eines allgemeinen Polynoms zu finden ist sehr schwer, da es hierzu keine Formelgibt, in die wir einfach einsetzen können. Es bleibt die Möglichkeit, eine Nullstelle zu erratenund das Polynom durch Polynomdivision dann zu ”vereinfachen“. Schaffen wir es, das Polynomsoweit zu vereinfachen, dass ein quadratisches Polynom übrig bleibt, können wir mit derMitternachtsformel die übrigen zwei Nullstellen berechnen. Ist x 0 eine erratene Nullstelle, somüssen wir bei der Polynomdivision durch (x − x 0 ) dividieren. Da wir wissen, dass es sichhierbei um eine Nullstelle handelt, darf bei dieser Division kein Rest übrig bleiben.Wir betrachten nun folgendes Beispiel, an dem der allgemeine Algorithmus klar werden sollte:(x 3 + 5x 2 + 9x + 5 ) : ( x + 1 ) = x 2 + 4x + 5− x 3 − x 24x 2 + 9x− 4x 2 − 4x5x + 5− 5x − 5Übung: Finde die Nullstellen von x 3 − 2x 2 − 29x − 42. Hinweis: Eine Nullstelle ist 7.03.2.5 Anzahl der Nullstellen eines PolynomsEin Polynom n-ten Grades, das heißt ein Polynom a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n mit a n ≠ 0,hat maximal n reelle Nullstellen.