Skript ist für den Vorbereitungskurs

12 Vorkurs Mathematik’⊇’ Dieses Mal fassen wir uns etwas kürzer:Sei x ∈ (M c ∪ N c ).Also ist x ∈ M c oder x ∈ N c und damit x ∉ M oder x ∉ N. Das heißt x ∉ (M ∩N),also x ∈ (M ∩ N) c .Insgesamt haben wir also gezeigt: x ∈ (M c ∪ N c ) ⇒ x ∈ (M ∩ N) c und damitM c ∪ N c ⊆ (M ∩ N) c .Wir haben also beide Richtungen gezeigt und damit gilt die Behauptung.Analog beweist man die zweite DeMorgan’sche Regel: (M ∪ N) c = M c ∩ N c .2.8.2 Assoziativität der VereinigungSeien M 1 ,M 2 ,M 3 Mengen.Behauptung: Es gilt (M 1 ∪ M 2 ) ∪ M 3 = M 1 ∪ (M 2 ∪ M 3 )Beweis: Wir zeigen hier beide Richtungen auf einmal:x ∈ ((M 1 ∪ M 2 ) ∪ M 3 ) (2.6.2) ⇐⇒ (x ∈ (M 1 ∪ M 2 )) ∨ (x ∈ M 3 )(2.6.2)⇐⇒ ((x ∈ M 1 ) ∨ (x ∈ M 2 )) ∨ (x ∈ M 3 )(1.4.3)⇐⇒ (x ∈ M 1 ) ∨ ((x ∈ M 2 ) ∨ (x ∈ M 3 ))(2.6.2)⇐⇒ (x ∈ M 1 ) ∨ (x ∈ (M 2 ∪ M 3 ))(2.6.2)⇐⇒ x ∈ (M 1 ∪ (M 2 ∪ M 3 ))Aus diesem Grund können wir die Klammern auch weglassen, wir schreiben also M 1 ∪M 2 ∪M 3 .Analog zeigt man auch, dass (M 1 ∩ M 2 ) ∩ M 3 = M 1 ∩ (M 2 ∩ M 3 ) gilt.2.9 ÜbungenAufgabe 1Betrachte:M 1 := {1,2}M 2 := {2,3}M 3 := {X,y,3}M 4 := {x,y,z}M 5 := {2,4,6}Bestimme:1. M 1 ∩ M 22. M 2 ∩ M 33. M 3 ∪ M 44. M 1 ∪ M 2 ∪ M 3 ∪ M 4 ∪ M 55. M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ∩ M 5