Skript ist für den Vorbereitungskurs

Fakultät für Informations- und KognitionswissenschaftenWilhelm-Schickard-Institut für InformatikVorkurs MathematikBarbara Rakitsch und Thomas NestmeyerOktober 2010VorwortDieses Skript ist für den Vorbereitungskurs Mathematik des WSI. Es soll sowohl eine Wiederholungvon Schulwissen sein, als auch einen ersten Eindruck der Mathematik im Studium undinsbesondere deren Notation vermitteln.Wer Fehler findet wird ausdrücklich gebeten, einem von uns, das heißt Barbara Rakitsch(b.rak@onlinehome.de) oder Thomas Nestmeyer (T.Nestmeyer@arcor.de), eine Mail zu schreiben.Auch bei sonstigen Fragen könnt ihr euch gerne an uns wenden.Dieses Skript unterliegt einem Creative Commons Lizenzvertrag. Es gelten die Bedingungen(Weitergabe unter: Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung). Dievollständige Lizenz ist einzusehen unter:http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/Als Quelle diente hauptsächlich das Buch ”Mathematik für Informatik und BioInformatik“ vonWolff, Hauck und Küchlin.Viel Spaß im Studium!

2 Vorkurs MathematikInhaltsverzeichnis1 Aussagenlogik 61.1 Beispiele von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Beispiele für logische Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Mengen 92.1 Definition (Georg Cantor, 1895) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Elementare Rechenoperationen 143.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Lösungen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Summen- und Produktzeichen 224.1 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Fakultät und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Beweise 265.1 Behauptung - Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Genau dann, wenn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.6 Zyklisches Beweisverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7 Indirekte Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.8 Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.9 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.10 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.11 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Abbildungen 356.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Inhaltsverzeichnis 36.2 Injektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Surjektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 Bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.6 Hintereinanderausführung von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.7 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.8 Kardinalität von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.9 Hilbert’s Hotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.10 Mathematisches Analogon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Folgen 407.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.3 Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.4 Beschränkte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Konvergente Folgen, Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.6 Cauchys Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Funktionen 438.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.4 Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.6 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.7 Wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.8 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.9 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Differentialrechnung 509.1 Sekante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.4 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.5 Stetig differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.6 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.8 Zusammenhang von Monotonie und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.9 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.10 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310 Relationen 5410.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.3 Äquivalenzrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.4 Ordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611 Komplexe Zahlen 5811.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.3 Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Vorkurs Mathematik11.4 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.5 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.6 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912 Algebra 6012.1 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.2 Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6513 Lineare Gleichungssysteme 6613.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6613.2 Zusammenfassung der drei möglichen Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914 Lösungen der Übungsaufgaben 70

Inhaltsverzeichnis 5Griechisches AlphabetGroßbuchstabe Kleinbuchstabe NameA α AlphaB β BetaΓ γ Gamma∆ δ DeltaE ǫ, ε EpsilonZ ζ ZetaE η EtaΘ θ, ϑ ThetaI ι IotaK κ KappaΛ λ LambdaM µ MyN ν NyΞ ξ XiO o OmikronΠ π PiP ρ, ̺ RhoΣ σ SigmaT τ TauY υ YpsilonΦ φ, ϕ PhiX χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega

6 Vorkurs Mathematik1 Aussagenlogik1.1 Beispiele von Aussagen1. Alle Professoren sind Menschen.2. Alle Menschen sind Professoren.3. Wenn Weihnachten und Ostern auf einen Tag fällt, dann bekommt jeder Teilnehmer desVorkurses ein Mensaessen vom Tutor geschenkt.4. Es gibt Außerirdische.Wir erkennen, dass Aussage 1 immer wahr ist, während Aussage 2 nicht wahr ist, so lange esMenschen gibt, die keine Professoren sind.Die dritte Aussage besteht aus zwei Teilaussagen: ”Weihnachten und Ostern fallen auf einenTag“ und ”Jeder Teilnehmer des Vorkurses bekommt ein Mensaessen vom Tutor geschenkt“.Vorausgesetzt Weihnachten und Ostern fallen auf einen Tag, dann muss der Tutor die Mensaessenausgeben, damit die Aussage wahr ist. Da das jedoch nicht passiert, kann der Tutor machenwas er will und die Gesamtaussage ist wahr.Der Wahrheitswert der vierten Aussage ist (wenigstens im Moment) nicht zu beantworten, daniemand weiß, ob Außerirdische existieren.1.2 DefinitionWir sprechen von einer Aussage im mathematischen Sinne, wenn diese einen eindeutigenWahrheitswert annimmt. Dieser Wahrheitswert kann beschrieben werden durch {wahr, falsch},{true, false} oder {1, 0}. Wir werden im Folgenden stets die Bezeichnungen 0 für ”Aussagenicht erfüllt“ und 1 für ”Aussage erfüllt“ verwenden.1.3 VerknüpfungenSeien A und B Aussagen.1. Verneinung / Negation: ¬A (gesprochen: ”nicht A“)A ¬A0 11 02. Und / Konjunktion: A ∧ B (gesprochen: ”A und B“)A B A ∧ B0 0 00 1 01 0 01 1 13. Oder / Disjunktion: A ∨ B (gesprochen: ”A oder B“)A B A ∨ B0 0 00 1 11 0 11 1 1

1 Aussagenlogik 7Wichtig ist, dass die Oder-Verknüpfung auch den ”Und-Fall“ beinhaltet: A ∨ B ist wahr,wenn die Aussage A oder die Aussage B wahr ist, aber auch wenn beide Aussagen wahrsind.Wenn wir fordern wollen, dass wirklich nur eine der beiden Aussagen wahr ist, damit dieGesamtaussage wahr ist, verwenden wir das exklusive Oder.4. Exklusives Oder / XOR: (A ⊕ B) (gesprochen: ”Entweder A oder B “)A B A ⊕ B0 0 00 1 11 0 11 1 0Beispiel: Entweder wir fahren mit dem Bus, oder wir fahren mit dem Rad.5. Folgerung / Implikation: A ⇒ B (gesprochen: ”Wenn A, dann B“, oder ”Aus A folgtB“)A B A ⇒ B0 0 10 1 11 0 01 1 1A ⇒ B ist also wahr, wenn die Aussage A und die Aussage B wahr sind oder wenn dieAussage A falsch ist.Beispiel: Aussage 3 von oben.6. Äquivalenz: A ⇐⇒ B (gesprochen: ”A genau dann, wenn B“)A B A ⇔ B0 0 10 1 01 0 01 1 1Beispiel: Eine ganze Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3teilbar ist.Wenn man die Äquivalenz verneint (Antivalenz genannt), ergibt sich die gleiche Wahrheitstafelwie die bei XOR. Man sagt dann, dass ¬(A ⇔ B) und A ⊕B logisch äquivalentsind. Den Begriff der ”logischen Äquivalenz “ muss man aber von der Aussagenverknüpfung” Äquivalenz “ unterscheiden. .1.4 Beispiele für logische Äquivalenzen1.4.1 Beweis der logischen Äquivalenz von A ⇒ B und ¬A ∨ BDies bestimmen wir, indem wir die Wahrheitstafeln der beiden Aussagen aufstellen und miteinandervergleichen.

8 Vorkurs MathematikA B A ⇒ B ¬A ¬A ∨ B0 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 1 1 0 1Da die beiden Spalten A ⇒ B und ¬A ∨ B die gleichen Einträge haben, sind die AussagenA ⇒ B und ¬A ∨ B logisch äquivalent.1.4.2 Genau dann, wennIst A ⇐⇒ B logisch äquivalent zu (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)?1.4.3 AssoziativgesetzA B A ⇐⇒ B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 01 0 0 0 1 01 1 1 1 1 1Ist (A ∨ B) ∨ C logisch äquivalent zu A ∨ (B ∨ C)?A B C A ∨ B (A ∨ B) ∨ C (B ∨ C) A ∨ (B ∨ C)0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1Analog zeigt man auch das Assoziativgesetz für das logische ”Und“: (A∧B)∧C und A∧(B∧C)sind logisch äquivalent.1.5 Übungen1.5.1 DeMorgan’sche RegelnIst ¬(A ∨ B) logisch äquivalent zu ¬A ∧ ¬B?1.5.2 DistributivgesetzeIst A ∧ (B ∨ C) logisch äquivalent zu (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)?

2 Mengen 92 Mengen2.1 Definition (Georg Cantor, 1895)Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unsererAnschauung und unseres Denkens (welche Elemente der Menge genannt werden) zu einemGanzen.2.2 Beispiele• {1,2,3}• {7,8,9,10,B,D,K,A}• {α,β,γ,... ,ω} (griechisches Alphabet)• {Mercedes, BMW, Porsche, Audi, VW}• {5, a, A, Haus, Zahl}• ∅ := {} Leere Menge2.3 Schreibweise• M := {a,b,c,...}gesprochen: ”M wird definiert als die Menge aus den Elementen a,b,c,...“• a ∈ Mgesprochen: ”a ist ein Element von M“ oder kurz ”a Element M“• 1 /∈ Mgesprochen: ”1 ist nicht Element von M“ oder ”1 ist kein Element von M“• {x ∈ M : x hat die Eigenschaft ...}, oft auch {x ∈ M | x hat die Eigenschaft . ..}gesprochen: ”Die Menge aller x aus M, für die gilt: x hat die Eigenschaft ...“2.4 ZahlbereicheN = {1,2,3,...} natürliche Zahlen (ohne 0)N 0 = {0,1,2,3,...} natürliche Zahlen mit 0Z = {...{, −2, −1,0,1,2,3,...}}ganze ZahlenQ = pq : p,q ∈ Z,q ≠ 0 rationale ZahlenRR >0 = {x ∈ R : x > 0}C2.5 Quantorenreelle Zahlenpositive reelle Zahlen.Analog für R ≥0 , R

10 Vorkurs Mathematik• ∃x ∈ M (Existenzquantor)gesprochen: ”Es existiert ein x ∈ M“Beispiel: ∃x ∈ {3,5,7} : x ≤ 5• Vorsicht: ∃ schließt nicht aus, dass auch ∀ gelten kann!Beispiel: ∃x ∈ {2,3,5,7} : x ≤ 10• Die Quantoren können auch hintereinander benutzt werden, wobei die Reihenfolge wichtigist!Beispiele: ∀0 ≠ x ∈ R : ∃y ∈ R : xy = 1 (ist erfüllt mit y = 1 x )∃y ∈ R : ∀0 ≠ x ∈ R : xy = 1 (ist nicht erfüllt, da es keine Zahl gibt, diemit jeder Zahl ≠ 0 multipliziert Eins ergibt)” kompliziertes“ Beispiel: ∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ N : ∀n ≥ n(ε) : 1 n < ε2.6 VerknüpfungenSeien im Folgenden M und N stets Mengen.2.6.1 SchnittM ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N}Beispiel:Für M = {1,2,3,4} und N = {4,5,6}ist M ∩ N = {4}.Venn-Diagramm:2.6.2 VereinigungM ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N}Beispiel:Für M = {1,2,3,4} und N = {4,5,6}ist M ∪ N = {1,2,3,4,5,6}.Venn-Diagramm:2.6.3 DifferenzmengeM \ N := {x : x ∈ M ∧ x ∉ N}Beispiel:Für M = {1,2,3,4} und N = {4,5,6}ist M \ N = {1,2,3}.Venn-Diagramm:Falls N Teilmenge von M ist (siehe 2.7.2), so schreibtman manchmal anstatt M \ N auch N c (sprich ”NKomplement“), wenn klar ist, welche Obermenge (hierM) gemeint ist.2.7 Grundbegriffe2.7.1 Disjunkte MengenWenn M ∩ N = ∅, also wenn M und N keine gemeinsamen Elemente besitzen, sagt man Mund N sind disjunkt.

2 Mengen 112.7.2 TeilmengeGilt ”x ∈ N ⇒ x ∈ M “ oder analog ”∀x ∈ N : x ∈ M“, so schreiben wir N ⊆ M und sagen ”N ist Teilmengevon M“.Anstatt N ⊆ M schreiben wir auch M ⊇ N und sagen”M ist Obermenge von N“, falls dies im Kontextgeschickter erscheint.Venn-Diagramm:NM2.7.3 PotenzmengeDie Potenzmenge P(M) enthält alle Teilmengen von M, also P(M) := {X : X ⊆ M}.Beispiel: Ist M := {1,2}, dann ist P(M) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}.2.7.4 Kartesisches ProduktSei n ∈ N mit n ≥ 2 und seien M 1 ,M 2 ,... ,M n nichtleere Mengen.Dann heißt die Menge der geordneten n-TupelM 1 × M 2 × · · · × M n := {(x 1 ,x 2 ,... ,x n ) : x 1 ∈ M 1 ,x 2 ∈ M 2 ,...,x n ∈ M n }kartesisches Produkt oder auch Kreuzprodukt.Beispiel: {a,b,c} × {0,1} = {(a,0),(a,1),(b,0), (b,1), (c, 0), (c,1)}Behauptung: Das Kartesische Produkt ist nicht kommutativ.Beweis: Da Tupel geordnet sind, gilt (x,y) ≠ (y,x) für beliebige x ≠ y und damit{0,1} × {a,b,c} = {(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)} ≠ {a,b,c} × {0,1} 2.7.5 Gleichheit zweier MengenGilt M ⊆ N und N ⊆ M, so heißen die beiden Mengen M und N gleich (Schreibweise M = N).Dann ist jedes Element aus M auch Element von N und umgekehrt.2.8 Gesetze2.8.1 DeMorgan’sche RegelnSeien M,N Mengen.Behauptung: Es gilt (M ∩ N) c = M c ∪ N c . (Die Komplemente sind in irgendeiner Mengegebildet, die Obermenge von M und N ist.)Beweis: Wir müssen die zwei Richtungen (M ∩ N) c ⊆ M c ∪ N c und (M ∩ N) c ⊇ M c ∪ N czeigen.’⊆’ Sei x ∈ (M ∩ N) c beliebig.Also ist x ∉ (M ∩ N) oder anders geschrieben ¬(x ∈ (M ∩ N)). Nach Definitiondes Schnitts also ¬((x ∈ M) ∧ (x ∈ N)) und mit den DeMorgan’schen Regeln fürAussagen (1.5.1) ¬(x ∈ M) ∨ ¬(x ∈ N), was wieder ”normal“ geschrieben bedeutetx ∉ M ∨ x ∉ N. Das heißt x ∈ M c ∨ x ∈ N c und somit nach Definition derVereinigung x ∈ (M c ∪ N c ).Insgesamt haben wir also für beliebiges x gezeigt: x ∈ (M ∩ N) c ⇒ x ∈ (M c ∪ N c )und damit (M ∩ N) c ⊆ M c ∪ N c .

12 Vorkurs Mathematik’⊇’ Dieses Mal fassen wir uns etwas kürzer:Sei x ∈ (M c ∪ N c ).Also ist x ∈ M c oder x ∈ N c und damit x ∉ M oder x ∉ N. Das heißt x ∉ (M ∩N),also x ∈ (M ∩ N) c .Insgesamt haben wir also gezeigt: x ∈ (M c ∪ N c ) ⇒ x ∈ (M ∩ N) c und damitM c ∪ N c ⊆ (M ∩ N) c .Wir haben also beide Richtungen gezeigt und damit gilt die Behauptung.Analog beweist man die zweite DeMorgan’sche Regel: (M ∪ N) c = M c ∩ N c .2.8.2 Assoziativität der VereinigungSeien M 1 ,M 2 ,M 3 Mengen.Behauptung: Es gilt (M 1 ∪ M 2 ) ∪ M 3 = M 1 ∪ (M 2 ∪ M 3 )Beweis: Wir zeigen hier beide Richtungen auf einmal:x ∈ ((M 1 ∪ M 2 ) ∪ M 3 ) (2.6.2) ⇐⇒ (x ∈ (M 1 ∪ M 2 )) ∨ (x ∈ M 3 )(2.6.2)⇐⇒ ((x ∈ M 1 ) ∨ (x ∈ M 2 )) ∨ (x ∈ M 3 )(1.4.3)⇐⇒ (x ∈ M 1 ) ∨ ((x ∈ M 2 ) ∨ (x ∈ M 3 ))(2.6.2)⇐⇒ (x ∈ M 1 ) ∨ (x ∈ (M 2 ∪ M 3 ))(2.6.2)⇐⇒ x ∈ (M 1 ∪ (M 2 ∪ M 3 ))Aus diesem Grund können wir die Klammern auch weglassen, wir schreiben also M 1 ∪M 2 ∪M 3 .Analog zeigt man auch, dass (M 1 ∩ M 2 ) ∩ M 3 = M 1 ∩ (M 2 ∩ M 3 ) gilt.2.9 ÜbungenAufgabe 1Betrachte:M 1 := {1,2}M 2 := {2,3}M 3 := {X,y,3}M 4 := {x,y,z}M 5 := {2,4,6}Bestimme:1. M 1 ∩ M 22. M 2 ∩ M 33. M 3 ∪ M 44. M 1 ∪ M 2 ∪ M 3 ∪ M 4 ∪ M 55. M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ∩ M 5

2 Mengen 136. P(M 3 )7. P(∅)8. M 1 × M 2 × M 39. Bestimme alle Paare disjunkter Mengen.10. M 1 \ M 211. M 3 \ M 412. Gilt (M 1 ∩ M 2 ) ⊆ M 5 ?Aufgabe 2Gib die Elemente der folgenden Mengen an:1. {x ∈ N : x < 4}2. {x ∈ R : x 2 = 1}3. {x ∈ Z : ∃y ∈ Z : xy = 1}4. {x ∈ Z : x < 100 ∧ ∃y ∈ Z : y 2 = x}

14 Vorkurs Mathematik3 Elementare Rechenoperationen3.1 Begriffe3.1.1 TermEin Term ist ein mathematischer Ausdruck, der zum Beispiel aus Zahlen, Variablen, Klammernund Verknüpfungen (wie + oder ·) besteht.Grob gesprochen sind Terme also die korrekten Wörter der mathematischen Sprache.3.1.2 FormelBeispiele für Terme Keine gültigen Terme23 )5 − 3)5x + 3 4+ : 3· (4 + 8) a·12Setzen wir Terme mit Vergleichsoperatoren (=, ≤,,≠) zusammen, erhalten wir Formeln.Beispiel: a 2 + b 2 = c 2 oder |a + b| ≤ |a| + |b|. (Zur Definition des Betrags siehe 3.4.)Für Formeln der Form a 2 +b 2 = c 2 sagen wir meist Gleichung, für |a+b| ≤ |a|+|b| Ungleichung.3.1.3 ÄquivalenzumformungenÄquivalenzumformungen sind diejenigen Umformungen, welche den Wahrheitsgehalt einer Formelerhalten. Dazu gehören Addition und Subtraktion von beliebigen Zahlen und Multiplikationund Division mit beliebigen Zahlen ≠ 0 auf beiden Seiten. Bei Multiplikation und Divisionmit negativen Zahlen muss dabei bei Ungleichungen der Vergleichsoperator herumgedreht“”werden (≤ ↔ ≥, < ↔ >). Vorsicht aber, wenn Variablen vorkommen, da dann nicht immersofort offensichtlich ist, ob mit negativen Werten oder Nullwerten multipliziert / dividiert wird.3.2 Lösungen von GleichungenHaben wir zwei Terme T 1 und T 2 , in denen eine Variable vorkommt, so möchten wir herausfinden,für welche(n) Wert(e) der Variablen die Gleichung T 1 = T 2 erfüllt ist. Da sich diesumformen lässt zu T 1 − T 2 = 0, können wir also die Nullstellen des Terms T 1 − T 2 bestimmen.3.2.1 GeradenDie Nullstellen eines Terms ax + b mit a,b ∈ R und a ≠ 0 bestimmen wir duch einfachesUmstellen:ax + b = 0 ⇐⇒ x = − b aZu diesem Problem gibt es also immer genau eine Lösung.3.2.2 ParabelnDie Nullstellen eines Terms ax 2 + bx + c mit a,b,c ∈ R und a ≠ 0 finden wir mithilfe der” Mitternachtsformel“: x 1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac2aIn Abhängigkeit der Diskriminanten ∆ = b 2 −4ac können wir die Anzahl der reellen Lösungender Gleichung ax 2 + bx + c = 0 bestimmen:

3 Elementare Rechenoperationen 15• Ist ∆ > 0, so gibt es zwei Lösungen.• Ist ∆ = 0, so gibt es eine Lösung.• Ist ∆ < 0, so gibt es keine Lösung.Die p-q-Formel“ ist zur Mitternachtsformel“ äquivalent. Betrachte dazu die Umbenennung” ”p := b a und q := c aund folgende Umformungen:ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ x 2 + b a x + c a = 0 ⇐⇒ x2 + px + q = 0⇐⇒ x 1,2 = −p ± √ p 2 − 4q2= − p 2 ± √p 24 − qBeispiel: Bestimme die Nullstellen von x 2 + 5x + 6.x 1,2 = −5 ± √ 5 2 − 4 · 1 · 62 · 1= −5 ± √ 25 − 242= −5 ± 12⇒ x 1 = −2, x 2 = −33.2.3 PolynomeHaben wir Zahlen a 0 ,...,a n ∈ R gegeben, dann nennen wir einen Term der Forma 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x nein Polynom. Die Spezialfälle Gerade a 1 x + a 0 und Parabel a 2 x 2 + a 1 x + a 0 haben wir ebenbesprochen.3.2.4 PolynomdivisionDie Nullstellen eines allgemeinen Polynoms zu finden ist sehr schwer, da es hierzu keine Formelgibt, in die wir einfach einsetzen können. Es bleibt die Möglichkeit, eine Nullstelle zu erratenund das Polynom durch Polynomdivision dann zu ”vereinfachen“. Schaffen wir es, das Polynomsoweit zu vereinfachen, dass ein quadratisches Polynom übrig bleibt, können wir mit derMitternachtsformel die übrigen zwei Nullstellen berechnen. Ist x 0 eine erratene Nullstelle, somüssen wir bei der Polynomdivision durch (x − x 0 ) dividieren. Da wir wissen, dass es sichhierbei um eine Nullstelle handelt, darf bei dieser Division kein Rest übrig bleiben.Wir betrachten nun folgendes Beispiel, an dem der allgemeine Algorithmus klar werden sollte:(x 3 + 5x 2 + 9x + 5 ) : ( x + 1 ) = x 2 + 4x + 5− x 3 − x 24x 2 + 9x− 4x 2 − 4x5x + 5− 5x − 5Übung: Finde die Nullstellen von x 3 − 2x 2 − 29x − 42. Hinweis: Eine Nullstelle ist 7.03.2.5 Anzahl der Nullstellen eines PolynomsEin Polynom n-ten Grades, das heißt ein Polynom a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n mit a n ≠ 0,hat maximal n reelle Nullstellen.

3 Elementare Rechenoperationen 173.5.3 Addition und Subtraktion von BrüchenBrüche werden addiert / subtrahiert, indem beide Brüche auf den gleichen Nenner (Hauptnennergenannt) gebracht werden und anschließend die Zähler addiert / subtrahiert werden:3.5.4 Multiplikation von Brüchena 1b 1± a 2b 2= a 1 · b 2b 1 b 2± a 2 · b 1b 1 b 2= a 1b 2 ± a 2 b 1b 1 b 2Brüche werden multipliziert, indem Zähler und Nenner jeweils multipliziert werden:a 1· a2 = a 1 · a 2b 1 b 2 b 1 · b 23.5.5 Division von BrüchenBrüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:3.5.6 Übungena 1b 1: a 2b 2= a 1b 1· b2a 2= a 1 · b 2b 1 · a 2Betrachte die auftretenden Variablen stets so, dass der Nenner ≠ 0 ist.1. Kürze:a) 64x12yb) 12xy+5y4xy−8xyc) 56x2 y−16xy 224yz+40y 2d) a2 −b 25a+5b2. Berechne:a) 5 7 + 4 7b) x2 +y 2 +3xy5x−5y− xyx−y4c)7x · 21x8d) 1 7 + 1 8e) 5a2a−b : 357a−7bf) ( 4a3b : 7a9ab ) : 42ab53. Löse die Gleichungen:Motivationa) 3z−83z+8 = 1 2b) 2x+1x+5 = 2x−1x+2Sei die Gleichung a n = b gegeben.• Ist a und n bekannt, können wir durch Potenzieren b bestimmen.• Ist n und b bekannt, können wir durch Wurzelziehen a bestimmen.• Ist a und b bekannt, können wir durch Logarithmieren n bestimmen.

18 Vorkurs Mathematik3.6 Potenzen3.6.1 DefinitionSeien im Folgendem a ∈ R, n ∈ N 0 .Dann ist die n-te Potenz von a definiert durch{a n 1 für n = 0=a n−1 · a für n > 0dabei heißt a Basis und n Exponent. Dies bedeutet anschaulich a n = a } · ... {{ · a}.n-malDamit gilt insbesondere 0 0 = 1 und ∀n ≠ 0 : 0 n = 0.Für n ∈ Z erweitern wir obige Formel mit a n = ( a −1) −n , falls n < 0.3.6.2 PotenzgesetzeSeien im Folgenden a,b ∈ R, n,m ∈ Z. Dann gilt:1. a n · a m = a n+m2. a n · b n = (ab) na3. nb= ( an b) n4. (a n ) m = a n·m5.a na m = a n−m3.6.3 Übungen1. Berechne:a) 2 10b) (−2) 3c) 2 −32. Fasse zusammen:a) 5 2 3x 3 y 3 z 2 · 5 2 3 3 xyz 2b) 3 2 a −2 b 5 · 3 −1 a 2 b −3c) Achtung: Potenz vor Punkt vor Strich!−63ab 3 − (4ab) 3 · 2 −1 · (−2a −2 )d)x 10 x ny 7 y −m x 3e)( )a 2 −2b: n a3b :a 22 b 43.7 Wurzeln3.7.1 DefinitionSeien a ∈ R >0 und n ∈ N. Dann besitzt die Gleichung b n = a eine eindeutig bestimmtenichtnegative Lösung für b. Diese wird als die n-te Wurzel von a (in Zeichen:n √ a) bezeichnet.Die Zahl a heißt Radikand.Damit gilt insbesondere auch √ x 2 = |x|.

3 Elementare Rechenoperationen 193.7.2 WurzelgesetzeSeien a,b ∈ R >0 , n,k ∈ N und m ∈ Z.1.n√a m = ( n√ a) m und n√ a n = ( n√ a) n = |a|2.n √ a · n√ b = n√ ab3.4.n√ an√ = n√ ab b√n k√ √ a =nka = k√ √ na3.7.3 Zusammenhang zwischen Wurzeln und PotenzenSeien a ∈ R,n ∈ N. Dann ist die Potenz von a mit den Exponenten 1 ndefiniert durcha 1 n =n √ aMithilfe der Wurzel-Gesetze können wir dadurch die Potenzgesetze auf rationale Exponentenerweitern.3.7.4 Anzahl der Lösungen der PotenzgleichungIn Abhängigkeit von a und n kann man die Anzahl der Lösungen von b für b n = a bestimmen:1. Für ein ungerades n ∈ N existiert genau eine Lösung:n √ a.2. Für ein gerades n und a > 0 existieren sowohl eine positive Lösung n√ a als auch einenegative Lösung − n√ a.3. Für ein gerades n und a < 0 existiert keine reelle Lösung.3.7.5 Übungen1. Berechne:a) 7 √ x − √ 25x − √ 2xb) √ 140 · √7· √20c)√ a−√b√ a+√b · a+2√ ab+ba−bd) 7√ 9 √ xe)4√x· 7√ x 37√y2·√y2. Erweitere so, dass der Nenner rational wird:a)7 √abb)63√4c)283+ √ 23. Löse die Gleichung:√ 3x − 21 = x − 7

20 Vorkurs Mathematik3.8 Logarithmen3.8.1 DefinitionSeien a,b ∈ R mit a,b > 0, b ≠ 1. Die eindeutig bestimmte Zahl x ∈ R mit b x = a heißtLogarithmus von a zur Basis b. Sie wird mit x = log b a bezeichnet.Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, da für a,b ≤ 0 die Gleichung nicht immerlösbar ist. Ist zum Beispiel a negativ und b positiv, so existiert kein x, das die Gleichung erfüllt.Der Fall b = 1 muss ausgeschlossen werden, da 1 x immer den Wert Eins hat, das heißt dieGleichung ist nur für a = 1 lösbar, aber dann nicht eindeutig bestimmt (da unendlich vieleLösungen existieren).Beispiele: log 2 1024 = 10, da 2 10 = 1024log 10 1000 = 3, da 10 3 = 1000log 212 = −1, da 2−1 = 1 2Der Logarithmus zur Basis 10 kann mit lg, der Logarithmus naturalis (mit der Eulerschen Zahle ≈ 2,718281828 als Basis) mit ln abgekürzt werden. Wird log ohne Basis angegeben, so mussaus dem Kontext gelesen werden, welche Basis gemeint ist.3.8.2 Wichtige Werte des LogarithmusFür a,b ∈ R >0 mit b ≠ 1 gilt:1. log b 1 = 02. log b b = 13. b log b a = a4. log b b a = a3.8.3 LogarithmusgesetzeSeien im Folgenden a,b,c ∈ R >0 mit c ≠ 1. Dann gilt:1. log c (a · b) = log c a + log c b2. log cab = log c a − log c b3. log a b = logcblog ca, wenn zusätzlich gilt a ≠ 14. log c a b = b · log c a3.8.4 Übungen1. Berechne:a) log 4 64b) log 2116c) log 3√3Fasse zusammen:a) ln 2 + ln5

3 Elementare Rechenoperationen 21b) 1 5 ln x − 110 ln x2 + 3ln x − 1 2ln x22. Forme so um, dass nur Vielfache von ln 5 verwendet werden: ln3. Löse die Gleichungen:a) log 3 (x − 1) = 2b) log 2 x = log 3 xc) lg(5x) + lg 2 = 3 − lg(4x)d) ( 7 x−1) x+2 (= 7x+2 ) x+53√e) 3 x+6 = 4√ 3 2x−2√15

22 Vorkurs Mathematik4 Summen- und Produktzeichen4.1 Summenzeichen4.1.1 DefinitionSeien a 1 ,...,a n ∈ R und k,n ∈ Z. Die Summe der Zahlen a k ,... ,a n wird bezeichnet mitn∑a i = a k + · · · + a ni=kDer Index i ist hierbei die Laufvariable (von i = k bis i = n), wie man es von der Programmierungmit for-Schleifen her vielleicht schon kennt und kann natürlich auch durch andereBuchstaben bezeichnet werden.4.1.2 Beispiele1.2.3.7∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7i=12∑log 2 i = log 2 1 + log 2 2 = 0 + 1 = 1i=14∑( 1 i − 1i+1 ) = ( 12 − 3) 1 (+13 − 1 (4)+14 − 1 )5 =12 − 1 5 = 510 − 210 = 3 10i=2∑4. 3+5+7+9+11+· · ·+23 = (2·1+1)+(2·2+1)+(2·3+1)+· · ·+(2·11+1) = 11 (2i+1)5. 1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 5 0 + 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 = 4 ∑4.1.3 Spezialfälle5 ii=01. Ist die untere Summationsgrenze geich der oberen, bedeutet dies, dass die Summe nuraus einem Summanden besteht:k∑a i = a ki=k2. Ist die untere Summationsgrenze größer als die obere Summationsgrenze, wird das Ergebnisder Summe als Null definiert:∑Formal: Seien k,n ∈ Z mit k > n. Dann ist n a i = 0.4.1.4 RechenregelnSeien im Folgenden a k ,... ,a n ,b k ,... ,b n ,c,d ∈ R und k,n ∈ Z. Dann gelten folgende Rechenregeln:i=ki=11.2.n∑∑a i = a k + · · · + a l + a l+1 + · · · + a n = l a i +i=ki=kn ∑i=l+1n∑∑(c · a i ) = ca k + ca 2 k + 1 + · · · + ca n = c · (a k + · · · + a n ) = c ni=ka i mit l ∈ N und k ≤ l ≤ n.a ii=k

4 Summen- und Produktzeichen 233.n∑(a i + b i ) = (a k + b k ) + (a k+1 + b k+1 ) + · · · + (a n + b n )i=k= (a k + a k+1 + · · · + a n ) + (b k + b k+1 + · · · + b n )n∑ n∑= a i +i=k i=kb i4.1.5 IndexverschiebungManchmal will man die Summationsgrenzen einer Summe verschieben. Dabei ändert sich derWert der Summe nicht, aber die Indizes werden nach oben/unten verschoben:4.1.6 Beispiele1.4∑i=2(i − 1) = 4−1 ∑i=2−12. Teleskopsumme:4.2 Produktzeichenn∑a i =i=k∑n±li=k±la i∓l∑(i + 1 − 1) = 3 i = 1 + 2 + 3 = 6i=1n∑(a i − a i−1 ) =i=1===n∑a i −i=1n∑a i −i=1n∑i=1( n−1 ∑i=1= a n − a 0n∑a i−1i=1n−1∑a i+1−1i=1−1n−1∑a i −i=0a i) ( )∑n−1a i + a n − a 0 + a iAnalog zum Summenzeichen wird das Produktzeichen definiert.4.2.1 DefinitionSeien a k ,... ,a n ∈ R und k,n ∈ Z. Das Produkt der Zahlen a k ,... ,a n wird bezeichnet mitn∏a i = a k · ... · a n∏Das leere Produkt n a i mit n < k wird hierbei definiert als Eins.i=ki=ki=1

24 Vorkurs Mathematik4.2.2 Übungen1. Schreibe mit Summenzeichen:a) −1 + 4 + 9 + 14 + 19b) 1 4 + 1 2 + 1 + 2 + 42. Berechne für c ∈ R:4∑a) 3ii=1∑b) m cc)d)i=14∏2 kk=14∑4∑iji=1 j=1∑e) 10 ∑(2i − 3) − 2 8 i − 8f)i=31∏ii=3i=14.3 Fakultät und Binomialkoeffizient4.3.1 Defintion (Fakultät)Sei n ∈ N 0 . Dann istn! :=Dabei wird n! gelesen als n Fakultät“. ”∏Beispiele: 6! = 6 i = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720i=1∏0! = 0 i = 1i=14.3.2 Defintion (Binomialkoeffizient)n∏ii=1Seien n,k ∈ N 0 . Dann ist( n:=k){ n!k!(n−k)!für 0 ≤ k ≤ n0 für k > nder Binomialkoeffizient.Dabei wird ( nk)gelesen als n über k“. ”Beispiel: ( 7) 2 =7!2!·5! = 7·6·5·4·3·2·1(2·1)·(5·4·3·2·1) = 7·62 = 21

4 Summen- und Produktzeichen 254.3.3 BinomiallehrsatzMithilfe der Binomialkoeffizienten können wir die binomischen Formeln für allgemeine Potenzenerweitern. Es gilt für beliebige a,b ∈ R und n ∈ N:(a + b) n =n∑k=0( nk)a n−k b k .Dabei lässt sich die Formel aufgrund der Kommutativität der Addition genauso schreiben als(a + b) n = (b + a) n =n∑k=0( nk)b n−k a k =n∑k=0( nk)a k b n−kSetzt man statt b einfach −b ein, erhält man die Verallgemeinerung der zweiten binomischenFormel:n∑( nn∑( n(a − b) n = (a + (−b)) n = ak)n−k (−b) k = ak)n−k (−1) k b kk=04.3.4 Pascal’sches DreieckWegen ( n) (k + n) (k−1 = n+1)k können wir die dazu benötigten Binomialkoeffizienten mithilfe desPascale’schen Dreiecks berechnen:( 50( 0( 0)1) ( 1( 0 1)2) ( 2) ( 2( 0 1 2)0) ( 3) ( 3) ( 3( 0 1 2 3)4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 0 ( 1 2 3 4)5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 51 2 3 4 5)=k=011 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

26 Vorkurs Mathematik5 BeweiseIn diesem Abschnitt wollen wir vorführen, wie mathematische Beweise strukturiert sein sollenund auf was zu achten ist.5.1 Behauptung - BeweisEin mathematischer Satz besteht immer aus zwei Teilen: Einer Behauptung in Form einerAussage und einem Beweis der Gültigkeit dieser Behauptung. Dabei besteht die Behauptungselbst aus Voraussetzungen und der daraus resultierenden Schlussfolgerung. Wenn man alsomit V die Konjunktion aller Voraussetzungen bezeichnet und mit S die Schlussfolgerung, sohat ein mathematischer Satz die Form ”Es gilt V ⇒ S “. Es wird also behauptet, dass dieseImplikation wahr ist. Wenn man sich die Wahrheitstafel für die Implikation ansieht, bedeutetdas, dass man Folgendes zeigen muss: Wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, d.h. wenn V wahrist, dann ist auch S wahr. Dies muss dann mit einem Beweis nachgewiesen werden. Manchmalgibt es auch keine Voraussetzungen. Dann muss man beweisen, dass S ohne Voraussetzungenwahr ist (z.B. ”5 ist eine Primzahl “).Beispiel:Behauptung: Seien m und n gerade Zahlen.} {{ }VoraussetzungDann ist auch m + n gerade.} {{ }SchlussfolgerungBeweis: Seien m,n gerade Zahlen. Das heißt es gibt zwei ganze Zahlen m ′ und n ′ , für die gilt:m = 2m ′ und n = 2n ′ . Dann istm + n = 2m ′ + 2n ′ = 2(m ′ + n ′ ),also m + n auch gerade.Das Ende eines Beweises markieren wir oft durch das Symbol wozu wir sagen ”Beweis abgeschlossen“.Hierfür sieht man auch viele andere Symbole, wie zum Beispiel: q.e.d. (quod eratdemonstrandum, aus dem Lateinischen: was zu zeigen war) oder auch .Bei einem selbst durchgeführten Beweis ist es immer klug darauf zu achten, ob alle Voraussetzungenverwendet wurden. Ist dies nicht der Fall, ist mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Fehlerim Beweis, da mathematische Aussagen normalerweise nur die nötigsten Voraussetzungen fordern.So kann zum Beispiel obige Behauptung nicht bewiesen werden, wenn wir in unseremBeweis nur von beliebigen ganzen Zahlen anstatt von geraden Zahlen ausgegangen wären.5.2 AxiomeZum Beweis einer Aussage dürfen immer nur diejenigen Aussagen verwendet werden, die bisherschon gezeigt wurden. Das Grundgerüst dazu bilden Axiome, also unstrittige Voraussetzungen,auf denen die gesamte Mathematik aufgebaut ist. Zum Beispiel werden die natürlichen Zahlenformal mithilfe der Peano-Axiome eingeführt, was wir hier aber vermeiden wollen, da dies sehrviel Zeit in Anspruch nehmen würde.Vorsicht mit Sätzen aus der Schule! Da diese nur selten bewiesen werden, darf man sie nichtin Beweisen benutzen.5.3 BegriffeJe nach Art und Wichtigkeit einer Aussage unterscheiden wir mit folgenden Namen:• Definition: Eine Namensgebung für einen Sachverhalt.

5 Beweise 27• Satz: Eine wichtige Aussage.• Theorem: Eine sehr wichtige Aussage.• Lemma: Ein Hilfssatz, zur Hinführung auf einen Satz.• Korollar: Eine direkte Folgerung aus einem Satz.5.4 Genau dann, wennManche mathematischen Sätze sind von der Form: Die Aussage A gilt genau dann, wenn Bgilt. Das bedeutet, dass man zu zeigen hat, dass A ⇐⇒ B eine wahre Aussage ist. Dazu zeigtman meist, dass die beiden ”Richtungen “, also Implikationen, A ⇒ B und B ⇒ A gelten.Dieses Vorgehen ist in Ordnung, da wir in 1.4.2 die logische Äquivalenz von A ⇐⇒ B und(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) bewiesen haben.Bei dieser Gelegenheit noch ein Wort zur Sprechweise: Statt ”Wir zeigen, dass A ⇒ B einewahre Aussage ist. “ oder ”Wir zeigen, dass A ⇒ B gilt. “ sagt man in der Mathematikmeistens kurz ”Wir zeigen A ⇒ B. “. Genauso ist die Sprechweise ”Wir zeigen A ⇐⇒ B. “zu verstehen.5.5 Quantoren5.5.1 Verwendung von BeispielenAufpassen muss man bei der Verwendung von Beispielen.Wollen wir eine Aussage mit Allquantor beweisen, reichen Beispiele nicht aus, da die Aussagefür jedes Element bewiesen werden muss. Hier tappt man sonst leicht in die Falle, da esAussagen gibt, die für sehr viele Beispiele korrekt sind, aber nicht im Allgemeinen gelten. Beikleinen endlichen Mengen kann es zwar möglich sein, die Aussage für jedes Element einzelnnachzurechnen, bei unendlichen Mengen ist dies jedoch nicht möglich. Das sollte aber niemandendavon abhalten, sich selbst Beispiele zum besseren Verständnis der Aussage zu machen!Wollen wir wiederum eine Aussage mit Existenzquantor beweisen, genügt es uns, die Aussagefür ein Beispiel zu beweisen. Denn wenn wir ein spezielles Beispiel angeben können, so ist dieExistenz eines solchen gewiss.Kommt ein Existenzquantor in einer Voraussetzung vor, können wir mit dem gegebenen Elementarbeiten, ohne den konkreten Wert zu kennen.Beispiele:• Behauptung: ∀x ∈ {1,3,6,7} : x < 10. (Diese Behauptung könnte man in der Voraussetzung-Schlussfolgerung-Formulierung auch so schreiben: Sei x ∈ {1,3,6,7}. Dann istx < 10.)Beweis: Lassen wir hier x nacheinander alle Werte aus {1,3,6,7} annehmen, so könnenwir die Aussage für jedes Element aus der Menge zeigen: 1 < 10,3 < 10,6 < 10 und7 < 10. Wir haben damit die komplette Aussage bewiesen. • Behauptung: ∀a,b ∈ R >0 : a+b2≥ √ a · b.Erklärung: Hier können wir nicht mehr alle möglichen Beispiele durchrechnen, da diesunendlich viele sind.Beweis: siehe (5.9 Beispiel)• Behauptung: ∃x ∈ {1,3,6,7} : x ist gerade.

28 Vorkurs MathematikBeweis: Wählen wir hier x = 6, so ist x gerade. Also gibt es ein x in {1,3,6,7}, dasgerade ist.• Behauptung: Für n ∈ N ist n 2 − n + 41 im Allgemeinen keine Primzahl.Erklärung: Beginnt man hier, sich Beispiele zu überlegen, besteht die Gefahr zu glauben,dass der Term bei Einsetzen von natürlichen Zahlen nur Primzahlen liefert. Dieskommt davon, dass für 1 ≤ n ≤ 40 tatsächlich nur Primzahlen herauskommen.Beweis: Wählen wir n = 41, so ergibt sich die Zahl n 2 − n + 41 = 41 2 − 41 + 41 = 41 2 ,welche offensichtlich keine Primzahl ist, da sie Quadratzahl ist.5.5.2 Verneinung von QuantorenWollen wir zeigen, dass eine Eigenschaft nicht für alle x ∈ M gilt, so ist ein x ∈ M ausreichend,das diese Eigenschaft nicht mehr erfüllt. Damit gilt:¬(∀x ∈ M : A(x)) ist logisch äquivalent zu ∃x ∈ M : ¬A(x)Ebenso muss eine Eigenschaft für alle Elemente nicht erfüllt sein, damit wir sagen können,dass kein Element existiert, das diese Eigenschaft besitzt. Damit gilt:¬(∃x ∈ M : A(x)) ist logisch äquivalent zu ∀x ∈ M : ¬A(x)Beispiel: Betrachten wir die oben gemachte Aussage ∀x ∈ R \ {0} : ∃y ∈ R : xy = 1 diesmalfür Z, also ∀x ∈ Z \ {0} : ∃y ∈ Z : xy = 1, so gilt diese nicht mehr:¬(∀x ∈ Z \ {0} : ∃y ∈ Z : xy = 1) ⇐⇒ ∃x ∈ Z \ {0} : ¬(∃y ∈ Z : xy = 1)⇐⇒ ∃x ∈ Z \ {0} : ∀y ∈ Z : ¬(xy = 1)⇐⇒ ∃x ∈ Z \ {0} : ∀y ∈ Z : xy ≠ 1Wählen wir zum Beispiel x = 2, so ist für alle ganzen Zahlen y schon xy ≠ 1, da x · 2 geradeund 1 ungerade ist.5.6 Zyklisches BeweisverfahrenWollen wir beweisen, dass mehrere Aussagen äquivalent sind, so können wir dies mithilfemehrerer Folgerungen zeigen. Angenommen wir wollen die Äquivalenz der Aussagen A,B,C,Dzeigen. Ohne den Zirkelschluss müssten wir zeigen:(A ⇐⇒ B) ∧ (A ⇐⇒ C) ∧ (A ⇐⇒ D) ∧ (B ⇐⇒ C) ∧ (B ⇐⇒ D) ∧ (C ⇐⇒ D)Wir müssen dabei daran denken, dass ⇐⇒ meist in zwei Richtungen gezeigt wird. Es sindhier also zwölf Richtungen zu zeigen.Mit den Zirkelschluss müssen wir nur noch folgende vier Aussagen zeigen:(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ∧ (C ⇒ D) ∧ (D ⇒ A)Dies reicht aus, da wir so implizit schon alle zwölf Richtungen gezeigt haben. Zum Beispielfolgt die Aussage C ⇒ B durch C ⇒ D ⇒ A ⇒ B.5.7 Indirekte BeweiseAllgemein sind wir daran interessiert, die Aussage A ⇒ B zu zeigen. Dabei spielt A die Rolle derVoraussetzung und B die daraus ableitbare Aussage. Manchmal können wir die Aussage A ⇒ Bnicht direkt zeigen oder der direkte Weg ist komplizierter als eine dazu logisch äquivalenteAussage zu zeigen. Dann können wir eine der folgenden Beweisverfahren verwenden:

5 Beweise 295.7.1 KontrapositionBehauptung: (A ⇒ B) ist logisch äquivalent zu (¬B ⇒ ¬A).Beweis: Wir stellen dazu die Wahrheitstafel auf:A B A ⇒ B ¬B ¬A ¬B ⇒ ¬A0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 1 0 0 1Wir können also eine Aussage B auch aus den Voraussetzungen A folgern, indem wir von dernegierten Schlussfolgerung ¬B ausgehen und zeigen, dass dann die Voraussetzungen auch nichterfüllt sein können (¬A).Beispiel:Behauptung: Sei n ∈ N. Ist n 2 gerade, so ist auch n gerade.Erklärung: Wir zeigen die Aussage durch einen indirekten Beweis. Wir wollen also die Aussage” Ist n nicht gerade, so ist auch n2 nicht gerade“ beweisen.Beweis: Sei n ∈ N.Ist n nicht gerade, also ungerade, so gibt es ein k ∈ N 0 mit n = 2k + 1. Dann gilt abern 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 und damit ist n 2 auch ungerade, alsonicht gerade, und damit die Aussage bewiesen.5.7.2 WiderspruchWollen wir die Aussage A beweisen, so können wir folgendermaßen vorgehen:Wir gehen davon aus, die Aussage A gelte nicht. Nun versuchen wir durch logische Schlüsseaus ¬A eine zweite Aussage B zu folgern, von der wir wissen, dass sie falsch ist. Haben wirdiesen Widerspruch erkannt, so kennzeichnen wir ihn mit einem BlitzE. Es muss also ¬A falschgewesen sein und damit A eine wahre Aussage.Die Korrektheit dieses Beweisverfahrens beruht auf folgender Wahrheitstafel:A B ¬A ¬A ⇒ B ¬B (¬A ⇒ B) ∧ (¬B) (¬A ⇒ B) ∧ (¬B)) ⇒ A0 0 1 0 1 0 10 1 1 1 0 0 11 0 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 1Da die Aussage (¬A ⇒ B) ∧ (¬B)) ⇒ A immer wahr ist (Tautologie genannt) und wir inunserem Beweis den ersten Teil der Aussage, also (¬A ⇒ B) ∧ (¬B)), zeigen, muss nun also Agelten.Beispiel: Die Irrationalität von √ 2Euklid lieferte schon ca. 300 v. Chr. in seinem Buch ”Elemente“ einen zahlentheoretischenBeweis der Irrationalität von √ 2. Auf der 1999 von den Mathematikern Paul und Jack Abadpräsentierten Liste der (nach ihrer Meinung) 100 wichtigsten mathematischen Sätze tauchtunter anderem auch diese Aussage auf:Behauptung: √ 2 ist irrational.

30 Vorkurs MathematikBeweis: Angenommen √ 2 wäre rational. Dann gibt es zwei ganze Zahlen a und b, so dass fürden vollständig gekürzten Bruch a b gilt a b = √ 2. Also gilt auch a2 = ( a 2 √ 2b b)= 2 = 2,2oder umgeformt a 2 = 2b 2 . Somit muss a 2 eine gerade Zahl sein. Das geht nur, wenn aselbst schon gerade ist (siehe 5.7.1 Beispiel). Also gibt es ein k ∈ Z mit a = 2k. Es giltdamit auch (2k) 2 = a 2 = 2b 2 oder umgeformt 4k 2 = 2b 2 . Kürzen wir nun mit 2, erhaltenwir 2k 2 = b 2 . Damit ist aber auch b 2 und damit b gerade. Also lässt sich der Bruch a bmindestens mit 2 kürzen.EAlso war die Annahme falsch und somit muss √ 2 irrational sein.5.8 FallunterscheidungManchmal kann man eine Aussage mit einer Schlussweise nicht vollständig beweisen. Dannbietet sich eventuell eine Fallunterscheidung an. Jeder Fall wird einzeln bewiesen und dieZusammenfassung aller Fälle muss dann die Gesamtaussage abdecken.Beispiel:Behauptung: Es gibt zwei irrationale Zahlen x und y, so dass x y eine rationale Zahl ist.Beweis:Fall 1: Angenommen √ 2√2ist rational.Wähle x = √ 2 und y = √ 2, also x und y irrational.Dann ist x y nach Annahme rational.Fall 2: Angenommen √ 2√2ist irrational.Wähle x = √ 2 √2√und y = 2, also x (nach Annahme) und y irrational.( √2√ ) √ 2Dann ist x y 2= = (√ 2 )√ 2·√2(√ ) 2= 2 = 2 und damit rational.Wir sehen, dass wir diesen Satz sogar beweisen können, ohne zu wissen, ob √ 2√2rational ist.Tatsächlich kann man zeigen, dass √ 2√2irrational ist.5.9 Ohne Beschränkung der AllgemeinheitDie Abkürzung o.B.d.A. bedeutet ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Wir wollen damitaussagen, dass nur ein Teil der Aussage wirklich bewiesen wird, die Gesamtaussage darausaber einfach gefolgert werden kann.Beispiel:Behauptung: Seien a und b positive reelle Zahlen. Dann gilta + b2≥ √ a · bBeweis: Seien a,b ∈ R >0 .Es ist o.B.d.A a ≥ b (ansonsten vertausche die Bezeichnungen von a und b).

5 Beweise 31Es gibt also ein x ≥ 0 mit a = b + x. Dann ist auch x24≥ 0 und damita + b2(b + x) + b=2= 2b2 + x 2= b + x√2(= b + x 2√) 2= b 2 + 2b x ( x2 + 2√= b 2 + bx + x24x 24 ≥0≥√ b 2 + bx= √ (b + x) · b= √ a · b) 2

32 Vorkurs Mathematik5.10 Vollständige Induktion5.10.1 Beweisprinzip der vollständigen InduktionSei n 0 ∈ N 0 fest. Für jedes n ≥ n 0 sei A(n) eine Aussage. Es gelte:• A(n 0 ) ist wahr.• Für jedes n ≥ n 0 ist ’A(n) ⇒ A(n + 1)’ wahr.Dann ist die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n 0 wahr.5.10.2 ErklärungWollen wir von einer Aussage zeigen, dass sie für alle natürlichen Zahlen (oder ab einembestimmten Wert an) gilt, so teilen wir den Beweis in 3 Teile auf:• Den Induktionsanfang (IA) beim kleinsten Element n 0 rechnen wir für diese feste Zahleinfach nach.• In der Induktionsvoraussetzung (IV) legen wir die Grundlage für den Induktionsschritt,indem wir von der Richtigkeit der Aussage für ein beliebiges aber festes n ≥ n 0 ausgehen.• Im Induktionsschritt (IS) versuchen wir nun die Aussage, basierend auf der Induktionsvoraussetzung,auch für n+1 zu zeigen. Ist die zu beweisende Aussage zum Beispiel eineGleichung (oder Ungleichung), so formen wir den linken Teil der Gleichung für n + 1 soum, dass ein Teil genau den linken Teil der Gleichung für n darstellt. Nun setzen wirfür diesen mithilfe der Induktionsvoraussetzung den rechten Teil der Gleichung für n ein.Wenn wir jetzt den gesamten Term wieder in den rechten Teil der Gleichung für n + 1umformen, so sind wir fertig.Nun ergibt sich die Aussage folgendermaßen für alle Zahlen n ≥ n 0 :Im Induktionsanfang zeigen wir, dass die Aussage für n 0 gilt. In der Induktionsvoraussetzungsetzen wir nun in Gedanken n := n 0 . Im Induktionsschritt haben wir gezeigt, dass die Aussagealso auch für n + 1 = n 0 + 1 gilt. Nun setzen wir in der IV n := n 0 + 1 und zeigen im IS, dassdie Aussage für n + 1 = (n 0 + 1) + 1 = n 0 + 2 gilt. Dann n := n 0 + 2, also gilt die Aussageauch für n + 1 = (n 0 + 2) + 1 = n 0 + 3 und so weiter.5.10.3 Beispiele1. Behauptung: Der kleine Gaußn∑∀n ∈ N : k =k=1n(n + 1)2Beweis: IA (n = 1):1∑k=1k = 1 = 1 · 22=1 · (1 + 1)2IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N.

5 Beweise 33IS (n → n + 1):n+1∑k =k=1n∑k + (n + 1)k=1IV =n(n + 1)2+ n + 1= n2 + n+ 2n + 22 2= n2 + 3n + 22(n + 1)(n + 2)=2(n + 1)((n + 1) + 1)=22. Behauptung: Bernoulli-UngleichungFür −1 < x ∈ R gilt:∀n ∈ N : (1 + x) n ≥ 1 + nxBeweis: Sei −1 < x ∈ R beliebig.IA (n = 1):(1 + x) 1 = 1 + x = 1 + 1 · xalso insbesondere:(1 + x) 1 ≥ 1 + 1 · xIV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N.IS (n → n + 1):(1 + x) n+1 = (1 + x) n · (1 + x)IV≥ (1 + nx) · (1 + x)= 1 + nx + x + nx 2}{{}≥0≥ 1 + nx + x= 1 + (n + 1)x5.11 ÜbungenZeige folgende Behauptungen1. Behauptung:n∑∀n ∈ N 0 : k 2 =k=0n(n + 1)(2n + 1)62. Behauptung:n∑∀n ∈ N : (2k − 1) = n 2k=1

34 Vorkurs Mathematik3. Behauptung: Geometrische ReiheFür 1 ≠ q ∈ R gilt:∀n ∈ N 0 :n∑k=0q k = 1 − qn+11 − q

•••••••••••••••••••••••••••••••6 Abbildungen 356 Abbildungen6.1 DefinitionSeien M, N nichtleere Mengen. Eine Abbildung f : M → N : x ↦→ f(x) (gesprochen ”f vonM nach N mit x bildet ab auf f(x)“) ist eine Zuordnung, die jedem Element des DefinitionsbereichsM eindeutig ein Element des Wertebereichs N zuordnet.Das Bild von x ∈ M bezeichnen wir mit f(x) ∈ N, x selbst wird Urbild von f(x) genannt. DerBildbereich f(M) := {f(x) : x ∈ M} ⊆ N sind alle Punkte, die durch die Abbildung f vonder Menge M aus erreichbar sind.Beispiel: Sei M := {a,b,c,d} und N := {1,2,3,4,5}und f : M → N mit a ↦→ 1, b ↦→ 4, c ↦→ 4, d ↦→ 2.Dann ( können wir die ) Abbildung auch verkürzt in dera b c dFormschreiben.1 4 4 2Keine Abbildungen sind hingegen zum Beispielabcd12•3• 4• 5( )a b b c d•1 3 4 4 2Hier hat b kein eindeutiges Bild.abcd12•3• 4• 5( ) a c d•1 4 2Hier wird b gar kein Bild zugeordnet.abcd12•3• 4• 5( )a b c d e•1 4 4 2 3Hier wird dem Element e, das nicht im Definitionsbereichliegt, ein Bild zugeordnet.abcde12•3• 4• 5( ) a b c d•1 4 4 6Hier wird dem Element d ein Bild zugeordnet,das nicht im Wertebereich liegt.6.2 Injektive AbbildungenEine Abbildung f : M → N heißt injektiv, wenn gilt:abcd12•3• 4• 5•6∀x,y ∈ M : x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••36 Vorkurs MathematikAlternativ lässt sich auch nachweisen (siehe 5.7.1 Kontraposition):∀x,y ∈ M : f(x) = f(y) ⇒ x = yIn Worten: Für jedes Element im Wertebereich gibt es höchstens ein Urbild.abcd12•3• 4• 5abcd12•3• 4• 5injektive Abbildungnicht injektive Abbildung6.3 Surjektive AbbildungenEine Abbildung f heißt surjektiv, wenn gilt:f(M) = NDies ist äquivalent zu∀y ∈ N : ∃x ∈ M : f(x) = yIn Worten: Für jedes Element im Wertebereich gibt es mindestens ein Urbild.abcde12• 3• 4abcde12• 3• 4surjektive Abbildungnicht surjektive Abbildung6.4 Bijektive AbbildungenEine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.In Worten: Für jedes Element im Wertebereich gibt es genau ein Urbild.abcd12• 3• 4abcd12• 3• 4bijektive Abbildungnicht bijektive Abbildung6.5 ÜbungenSeien M := {1,2,3,4} und N := {a,b,c}. Finde jeweils heraus, ob eine Abbildung vorliegt undwenn ja, welche Art von Abbildung vorliegt:( ) 1 2 3 41. f : M → N mita c b c

6 Abbildungen 372. g : M → N mit g =3. id : R → R : x ↦→ x4. id : N → Z : x ↦→ x5. | · | : Q → Q : x ↦→ |x|6. succ : N → N : x ↦→ x + 17. succ : N 0 → N : x ↦→ x + 1( ) 1 3 4b a c6.6 Hintereinanderausführung von AbbildungenSeien f : M → N und g : N → P zwei Abbildungen.Dann heißt die Abbildung g ◦ f : M → P : x ↦→ g(f(x)) (gesprochen ”g nach f“), die Hintereinanderausführungder Abbildungen f und g.6.6.1 AssoziativgesetzBehauptung: Seien f : M → N, g : N → P und h : P → Q Abbildungen. Dann gilt:h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ fBeweis: Sei x ∈ M beliebig. Dann gilt(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x))= h(g(f(x)))= (h ◦ g)(f(x))= ((h ◦ g) ◦ f)(x)6.6.2 KommutativgesetzBehauptung: Die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist nicht kommutativ.(Das heißt es gibt Abbildungen f und g, sodass g ◦ f ≠ f ◦ g)Beweis: Betrachte dazu f : R → R : x ↦→ x + 1 und g : R → R : x ↦→ x 2 .Dann gilt für beliebiges x ∈ R mit x ≠ 0:6.7 Umkehrabbildung(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1≠ x 2 + 1 = f(x 2 ) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x)Sei f : M → N eine Abbildung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:1. f ist bijektiv.2. Es gibt eine Abbildung g : N → M mit g ◦ f = id M und f ◦ g = id N . g ist eindeutigbestimmt und heißt Umkehrabbildung oder inverse Abbildung f −1 zu f.

38 Vorkurs Mathematik6.8 Kardinalität von MengenEine Menge M heißt endlich, wenn sie leer ist, oder es ein n ∈ N und eine bijektive Abbildungvon {1,... ,n} auf M gibt. Wir sagen dann M hat n Elemente und schreiben dafür |M| = noder auch #M = n. Eine nicht-endliche Menge M heißt unendlich. Wir schreiben |M| = ∞.Sie heißt abzählbar unendlich oder kurz abzählbar, falls es eine bijektive Abbildung von N aufM gibt. Andernfalls heißt sie überabzählbar.Beispiel: |{2,3,5,7}| = 4, |∅| = 0, |Z| = ∞.6.9 Hilbert’s HotelWir nehmen an, es gäbe ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern. Nun kommt ein Bus mitunendlich vielen Sitzplätzen und das bisher leere Hotel wird somit ausgebucht. Besucher vonSitzplatz 1 bekommt Hotelzimmer 1, usw.Jetzt will der Besitzer David Hilbert selbst in seinem Hotel übernachten. Ist dies möglich,obwohl das Hotel schon ausgebucht ist. Wenn ja, wie?Ja es ist möglich, indem Hotelgast von Zimmer 1 in Zimmer 2, Hotelgast von Zimmer 2 inZimmer 3, usw. geht. Dabei wird Zimmer 1 frei und Hilbert kann dort übernachten.In einem anderen Fall kommt ein Bus mit Hilberts abzählbar unendlich großer Verwandschaftan. Schafft Hilbert es auch hier wieder, seine Familie unterzubringen?Auch dies ist möglich. Er versetzt Gast 1 in Zimmer 1, Gast 2 in Zimmer 3, Gast 3 in Zimmer 5usw. Damit sind alle geraden Zimmer frei und diese vergibt er an seine Familie: Familienmitglied1 in Zimmer 2, Mitglied 2 in Zimmer 4, Mitglied 3 in Zimmer 6 usw.6.10 Mathematisches AnalogonAnalog zum ersten Fall in Hilberts Hotel betrachten wir Folgendes:Behauptung: N 0 und N haben die gleiche Kardinalität (Hilbert ist Gast 0).Beweis: Betrachte dazu die in (6.5.7) definierte Abbildung succ : N 0 → N. Wir haben dortherausgefunden, dass diese Abbildung bijektiv ist, also die Mengen N 0 und N gleicheKardinalität besitzen.Der zweite Fall veranschaulicht Folgendes:Behauptung: Z und N haben die gleiche Kardinalität.Erklärung: Betrachte dazu, dass die positiven Zahlen die schon vorhandenen Hotelgäste sindund die negativen Zahlen die neu eintreffende Verwandschaft ist. Damit stellen die Personendie ganzen Zahlen dar. Das Problem besteht nun darin alle Gäste auf nur positivdurchnummerierte Zimmer (also die natürlichen Zahlen) zu verteilen.Beweis: Wir zeigen, dass die Abbildungϕ : Z → N : x ↦→{2x + 1 falls x ≥ 0−2x falls x < 0bijektiv ist. Dazu versuchen wir den Satz 6.7 über Umkehrabbildungen zu verwenden.Betrachte also die Abbildung:{− xψ : N → Z : x ↦→2falls x geradex−12falls x ungerade

6 Abbildungen 39• Dann ist für x ∈ Z mit– Fall 1: x ≥ 0(ψ ◦ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ(2x + 1)2x+1ungerade=(2x + 1) − 12= x– Fall 2: x < 0Also ist ψ ◦ ϕ = id Z .• Für x ∈ N gilt(ψ ◦ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ(−2x)– Fall 1: x gerade (also − x 2 ∈ Z

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••40 Vorkurs Mathematik7 Folgen7.1 DefinitionSei k ∈ Z und A k = {n ∈ Z : n ≥ k}.Eine Abbildung u : A k → R heißt bei k beginnende Folge reeller Zahlen, in Zeichen: (u n ) n≥k .u n selbst heißt Glied der Folge oder Folgenglied, n der Index des Folgengliedes.Schreiben wir (u n ) n∈N , so meinen wir (u n ) n≥1 .7.2 BeispieleBestimme jeweils die ersten 5 Folgenglieder und zeichne sie je in ein Koordinatensystem:1. (u n ) n≥0 mit u n := 1 2 n.n 0 1 2 3 41 3u n 021222. (u n ) n≥1 mit u n := 1 n .n 1 2 3 4 51 1 1 1u n 12 3 4 53. (u n ) n≥0 mit u n := 2 −n .n 0 1 2 3 41 1 1u n 12 4 81165432101010u n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10u n• • • • •0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10u n•• • • • • •0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10u nnnn4. (u n ) n≥1 mit u n := n22 n .1n 1 2 3 4 51 9 25u n 21813200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n5. (u n ) n≥−3 mit u n := (−1) n .n −3 −2 −1 0 1u n −1 1 −1 1 −11−3−2−1−1u n1 2 3 4 5 6 7•n

•••••7 Folgen 417.3 Beobachtungen1. Die Folge geht gegen ±∞. (siehe Beispiel 1.)2. Die Folge häuft sich an genau einem Punkt. (siehe 2., 3. und 4.)3. Die Folge häuft sich an mehreren Punkten. (siehe 5.)4. Die Folge liegt komplett zwischen zwei Zahlen c und d. (siehe 2., 3., 4., 5.)Ziel: Wir wollen Begiffe finden, um diese Eigenschaften von Folgen zu beschreiben.Im Folgenden bezeichnen wir mit u die Folge (u n ) n≥k .7.4 Beschränkte FolgenDie Folge u heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl s ≥ 0 gibt, so dass für alle n ≥ k gilt:−s ≤ u n ≤ s. Formal geschrieben:7.5 Konvergente Folgen, Grenzwert∃s ≥ 0 : ∀n ≥ k : |u n | ≤ sDie Folge u konvergiert gegen die Zahl c, wenn für jede beliebig kleine positive Zahl ε alleFolgenglieder ab einem bestimmten Index sich um maximal ε von c unterscheiden.Formal geschrieben:Ist dies erfüllt, schreiben wir∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ A k : ∀n ≥ n(ε) : |u n − c| < εc = limn→∞ u nund sagen c ist Grenzwert der Folge.Ist eine Folge nicht konvergent, so nennen wir sie divergent.Beispiele:1. Betrachte die Folge ( )1n. Nehmen wir c = 0 und wählen zum Beispiel ε = 1, son≥1ist obige Aussage für jedes n(ε) ≥ 2 erfüllt. Wählen wir hingegegen ε = 1100 , müssten(ε) ≥ 101 sein um die Aussage zu erfüllen.1u nε = 1 4Skizze:0c + 1 • • •4• •n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10c − 1 4Bei ε = 1 4sind ab dem fünftenGlied alle Glieder innerhalb desε-Schlauchs.Damit kommen wir zu folgenderBehauptung: Die Folge ( )11nkonvergiert gegen 0. Formal: limn≥1 n→∞ n = 0.

••••••••42 Vorkurs MathematikBeweis: Sei ε > 0 beliebig und c := 0.Wähle n(ε) ∈ A k so, dass n(ε) > 1 ε. Dann gilt für ein beliebiges n ≥ n(ε) schon∣ |u n − c| =1 ∣∣∣∣n − 0 = 1 n ≤ 1n(ε) < 1 1= εε2. Betrachte die Folge (n) n≥1 .Egal um welchen Wert c wir hier einen ε-Schlauch legen wollen, wird es immer Folgegliedergeben, die außerhalb dieses Schlauches liegen. Damit erhalten wir dieBehauptung: Die Folge (n) n≥1divergiert.Beweis: Wir müssen (wegen A 1 = N) zeigen, dass die Aussage∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ N : ∀n ≥ n(ε) : |c − u n | < εmit einem c für diese Folge nicht gilt, also dass die Aussage∃ε > 0 : ∀n(ε) ∈ N : ∃n ≥ n(ε) : |c − u n | ≥ εfür jedes beliebige c gilt.Da ein negativer Grenzwert bei einer positiven Folge nicht möglich ist, betrachtenwir ein beliebiges c ≥ 0. Wählen wir dann zum Beispiel ε = 1 2, so ist für ein beliebigesn(ε) ∈ N und n := n(ε) + c (also n ≥ n(ε)) schon|u n − c| = |n − c| = |n(ε) + c − c| = |n(ε)| n(ε)∈N≥ 1 > 1 2 = ε 17.6 Cauchys KonvergenzkriteriumDie Folge u konvergiert genau dann, wenn∀ε > 0 : ∃n(ε) ∈ A k : ∀m,n ≥ n(ε) : |u m − u n | < εGrob gesprochen: Der Abstand zwischen zwei Folgengliedern u m und u n wird beliebig klein,wenn wir m und n genügend groß wählen.u n•1u n•0n(ε) = 4• • • • • • • • • • • • • • •2 4 6 8 10 12 14 16 18Im Beispiel ( )11nist für ε =n∈N 10eine Wahl von n(ε) = 4 noch nichtausreichend.n14 + 11014 − 110n(ε) = 10• • • • • • • • • • • • • • •110 + 110110 − 1100n2 4 6 8 10 12 14 16 18n(ε) = 10 reicht aus, da ab dem 10. Folgeglied alleFolgeglieder zwischen 0 und 210sind, also derAbstand zwischen beliebigen von diesen höchstensnoch 1 10sein kann.Vorteil: Die Konvergenz einer Folge kann ohne Wissen über den Grenzwert gezeigt werden.

8 Funktionen 438 Funktionen8.1 DefinitionEine reelle Funktion f einer Veränderlichen (Variablen) ist eine Abbildung von D ⊆ R nach R.8.2 Geometrische Interpretationf(x)Ordinate43Definitionsbereich D21Bildbereich f(D)Abszisse−3−2−1−11 2 3 4 5 6 7Bemerkung: Praktisch sprechen wir nur dann von Funktionen, wenn der Definitionsbereicheine Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Intervallen ist.8.3 IntervalleWir definieren für a,b ∈ R mit a < b:[a,b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}]a,b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}[a,b[ := {x ∈ R : a ≤ x < b}]a,b[ := {x ∈ R : a < x < b}Dabei kann der Begriff auch mit ±∞ erweitert werden. Da +∞ oder −∞ keine reellen Zahlensind, müssen sie aber immer aus dem Intervall ausgeschlossen sein.Beispiele: [a, ∞[ := {x ∈ R : a ≤ x}]−∞,b] := {x ∈ R : x ≤ b}]−∞, ∞[ := R8.4 Elementarfunktionen1. Konstante Funktion: f : R → R : x ↦→ c mit c ∈ R beliebig.xBeispiel: c = 3 2f(x)21−2−11 2 3 4 5x

44 Vorkurs Mathematik2. Identische Funktion: id : D → R : x ↦→ xBeispiel: D = [ − 1 2 ,2] f(x)321−2−1−11 2 3 4 5x3. Indikatorfunktion: Die Indikatorfunktion gibt für B ⊆ A an, ob ein Element x in Benthalten ist:{0 falls x ∉ B1 B : A → {0,1} : x ↦→1 falls x ∈ BBeispiel: A = R, B = [−1,3]f(x)321−2−1−11 2 3 4 5x8.5 MonotonieEine Funktion f heißt (streng) monoton wachsend, wenn für x 1 < x 2 stets f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (bzw.f(x 1 ) < f(x 2 )) gilt. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend.8.6 UmkehrfunktionenAnalog zu Umkehrabbildungen existieren zu bijektiven Funktionen Umkehrfunktionen. Diesezeichnen sich dadurch aus, dass der Graph der Funktion an der ersten Winkelhalbierendengespiegelt wird.Bemerkung: Ist eine Funktion streng monoton, so ist sie innerhalb ihres Bildbereichs stetsumkehrbar.Berechnung der Umkehrfunktion:Löse die Gleichung f(x) = y nach x auf und vertausche am Ende die Variablennamen.Beispiel: Betrachte die (offensichtlich bijektive) Funktion f : R → R : x ↦→ 5x + 2. Hier isty = 5x + 2, also x = y−25 .Also ist die Umkehrfunktion: f −1 : R → R : x ↦→ x−25Übung: Ist die Funktion g : R → R : x ↦→ x 3 − 3 bijektiv? Wenn ja, berechne die Umkehrfunktion.

8 Funktionen 458.7 Wichtige Funktionen8.7.1 Exponentialfunktion und Logarithmus1. Die Exponentialfunktion exp(x):exp(x)10987654321−3−2−1−11 2 3xDie zugehörige Umkehrfunktion auf R + := {x ∈ R : x ≥ 0} ist der natürliche Logarithmusln(x).2. Die Logarithmusfunktion ln(x) (mit der natürlichen Basis e ≈ 2,718281828):ln(x)321−1−210 20 30 40 50x−3

46 Vorkurs Mathematik8.7.2 Trigonometrische Funktionen1. Der Sinus sin(x):sin(x)1− π 2−1π2π 32 π 2π 52 π 3πx−2Wir sehen an der Skizze, dass die Sinusfunktion 2π-periodisch ist. Wichtige Werte sind:π 3x 02π2 π 2πsin(x) 0 1 0 -1 02. Der Cosinus cos(x):cos(x)1− π 2−1π2π 32 π 2π 52 π 3πx−2Wir sehen an der Skizze, dass die Cosinusfunktion 2π-periodisch ist. Wichtige Werte sind:3. Der Tangens tan(x) = sin(x)cos(x) :tan(x)π 3x 02π2 π 2πcos(x) 1 0 -1 0 121− π 2−1π2π 32 π 2π 52 π 3π−2Wir sehen an der Skizze, dass die Tangensfunktion π-periodisch ist.

•8 Funktionen 478.8 StetigkeitDa in der Natur meistens keine unerwarteten Sprünge auftreten (Aristoteles: natura non facitsaltus), betrachten wir in der Mathematik stetige Funktionen.8.8.1 DefinitionEine reelle Funktion f : D ⊆ R → R ist an der Stelle x 0 ∈ D stetig, wenn für jede beliebigeFolge (u n ) n≥k in D mit limn→∞ u n = x 0 gilt:lim f(u n) = f(x 0 )n→∞Dies bedeutet, wir können den Limes mit der Funktion vertauschen, also:lim f(u n) = f( lim u n)n→∞ n→∞Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt x 0 ∈ D stetig ist.8.8.2 ε-δ-KriteriumFolgende Charakterisierung der Stetigkeit in x 0 ist äquivalent:∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x ∈ D : (|x − x 0 | < δ ⇒ |f(x) − f(x 0 )| < ε)Erklärung: Wir wählen einen Punktx 0 ∈ D und betrachten den dazugehörigenFunktionswert f(x 0 ). Nun legen wir einenSchlauch der Höhe ε um diesen Wert.Können wir dann einen Schlauch der Breiteδ um x 0 finden, dessen alle Funktionswerteim ε-Schlauch liegen, so nennen wirdie Funktion stetig im Punkt x 0 .f(x)4321δ1 2 3 4 5 6εx8.8.3 Beispiel1. Sei f : R → R : x ↦→{x + 1 2falls x ≤ 1x2 + 2 falls x > 1Behauptung: Diese Funktion ist nicht stetig, dasie in x 0 = 1 nicht stetig ist.f(x)543Beweis: Wählen wir hier zum Beispiel ε = 1 2 ,so sehen wir an der Skizze sofort, dasswir rechtsseitig kein passendes δ findenkönnen.21•ε1 2 3 4 5x

48 Vorkurs MathematikAlternativ über Folgenstetigkeit:Sei u n = 1 + 1 n mit lim n→∞ u n = 1. Da 1 + 1 n > 1 gilt:(1 +1lim f(u nn) = limn→∞ n→∞ 2+ 2)( 5= limn→∞ 2 + 1 )= 5 2n 2 ≠ 3 2 = f(1) 2. Dass Stetigkeit mehr bedeutet als Zeichnen ohne Stift absetzen“, sehen wir an folgendem”Beispiel:{sin ( )1Betrachte die Funktion g : R → R : x ↦→xfalls x ≠ 00 falls x = 0g(x)1−2−1−11 2x−2Behauptung: Diese Funktion ist nicht stetig, da sie in x 0 = 0 nicht stetig ist.Beweis: Wählen wir die Folge (u n ) n∈N mit u n := 12πn+ π .2Dann ist offensichtlich lim u n = 0, abern→∞( ) (lim g(u n) = lim g 1n→∞ n→∞ 2πn + π = sin2112πn+ π 2)(= sin 2πn + π )= 1 ≠ 0 = g(0)23. Da wir für eine stetige Funktion nur fordern, dass sie in jedem Punkt des Definitonsbereichsstetig ist, kann es sogar stetige Funktionen geben, bei denen wir den Stift (bei derDefinitionslücke) absetzen müssen, die aber trotzdem stetig ist.{x + 1Beispiel: Sei h : R \ {1} → R : x ↦→2falls x < 1x2 + 2 falls x > 1Vergleiche die stetige Funktion h mit der nicht stetigen Funktion f:Bei dieser Funktion müssen wir die Stetigkeit im Punkt x 0 = 1 nicht betrachten. In allenPunkten aus dem Definitionsbereich ist die Funktion stetig, also ist sie stetig.

8 Funktionen 498.9 Eigenschaften stetiger Funktionen8.9.1 ZwischenwertsatzSeien a,b ∈ R mit a < b und f : [a,b] → R stetig. Sind u,v ∈ [a,b] mit u < v, dann nimmt fauf [u,v] jeden Wert zwischen f(u) und f(v) an.Als wichtigen Spezialfall hiervon gibt es folgenden Satz:8.9.2 NullstellensatzIst f stetig, f(u) < 0 und f(v) > 0 (oder umgekehrt), so besitzt f mindestens eine Nullstelleim Intervall [u,v].Beispiel: Polynomfunktionen ungeraden Grades haben immer mindestens eine Nullstelle, daPolynomfunktionen stetig sind!

••••••50 Vorkurs Mathematik9 Differentialrechnung9.1 Sekantef(x) x 24Die Sekante (Schneidende) ist eine Gerade durch zweiPunkte einer Funktion f. Wir können mit der Sekanteeinfach die Steigung zwischen zwei Punkten darstellen.Haben wir die Punkte (x,f(x)) und (c,f(c)), so ist dieSteigung der Sekante:9.2 Tangentef(x) − f(c)x − c−2321−1−11 2Die Tangente ist eine Gerade, die an einem Punkt (c,f(c)) einer Funktion f anliegt und derenSteigung dadurch approximiert, dass sie die Sekante zu einem ”unendlich nahen Punkt“ ist.f(x) x 2f(x) x 2f(x) x 2xf(x) x 233332222−21−1−11• 1x−2−1−11• 1x−2−1−1• 1x1 −2 −1−11x9.3 AbleitungDie Tangente existiert genau dann, wennf(x) − f(c)limx→c x − cexistiert. Dieser Grenzwert heißt dann Ableitung von f an der Stelle c und wird mit f ′ (c),(c) oder f(c) ˙ bezeichnet. Die Funktion heißt dann differenzierbar im Punkt c.dfdx9.4 DifferenzierbarkeitIst die Funktion f an jeder Stelle c ∈ D differenzierbar, so heißt die Funktion differenzierbar.Es gilt ”differenzierbar ⇒ stetig“.Dies bedeutet aber auch ”nicht stetig ⇒ nicht differenzierbar“ (5.7.1 Kontraposition).9.5 Stetig differenzierbarDie Funktion f heißt stetig differenzierbar, wenn f differenzierbar und die Ableitung f ′ von fstetig ist.Stetig differenzierbar heißt also nicht, dass die Funkton f stetig und differenzierbar ist. Diesist klar, da aus Differenzierbarkeit schon Stetigkeit folgt.

9 Differentialrechnung 519.6 Ableitungsregeln9.6.1 Bekannte AbleitungenSeien a,c ∈ R.• ddx c = 0• ddx xn = nx n−1• ddx ex = e x• ddxsin(x) = cos(x)• ddxcos(x) = − sin(x)• ddx ln(x) = 1 x9.6.2 Linearität der AbleitungSeien f,g differenzierbar und α,β ∈ R. Dann gilt:(αf + βg) ′ = αf ′ + βg ′Beispiel:ddx axn = anx n−1 (Wähle β = 0 und g beliebig)9.6.3 ProduktregelSeien f,g differenzierbar.(f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′9.6.4 QuotientenregelSeien f,g differenzierbar und g(x) ≠ 0 für alle x ∈ R.( ) f ′= f ′ · g − f · g ′gg 29.6.5 KettenregelSeien f,g differenzierbar und c ∈ D beliebig.Beispiel:ddx eax = ae ax9.7 ÜbungenBerechne für a,b,t ∈ R folgende Ableitungen:1.ddx 52.ddx 7x3.ddx 3t4.ddt 3t(g ◦ f) ′ (c) = g ′ (f(c)) · f ′ (c)

•52 Vorkurs Mathematikd5.dx(x + 2)26.ddx e5x7.ddx e−x2d8.dx7x · 2x2d9.dx5x · cos(x)10.ddx sin2 (x)11.ddx (sin4 (x) − cos 4 (x))12.d13.d14.d1dx 3xx 4 −1dx x 2 +1e xdx x 215.ddx eax · cos(bx)16.ddx tan(x)17.ddx xcos ( ln ( 4x 3) + π 3)9.8 Zusammenhang von Monotonie und AbleitungSeien a,b ∈ R mit a < b und f : ]a,b[ → R stetig differenzierbar.Ist f ′ (x) > 0 für alle x ∈ ]a,b[, so ist f streng monoton wachsend.Ist f ′ (x) < 0 für alle x ∈ ]a,b[, so ist f streng monoton fallend.9.9 Lokale ExtremaSeien a,b ∈ R mit a < b, f : ]a,b[ → R eine reelle Funktion und c ∈ ]a,b[.9.9.1 Definitionf(c) heißt lokales Maximum, falls gilt:∃δ > 0 : ∀x ∈ ]a,b[ : |x − c| < δ ⇒ f(c) ≥ f(x)f(c) heißt lokales Minimum, falls gilt:∃δ > 0 : ∀x ∈ ]a,b[ : |x − c| < δ ⇒ f(c) ≤ f(x)Liegt einer der beiden Fälle vor, so heißt f(c) lokalerExtremwert und c lokale Extremstelle.f(x)4321−1−19.9.2 Zusammenhang von lokalen Extremwerten und der AbleitungIst f differenzierbar, so gilt:Ist c eine Extremstelle, so ist f ′ (c) = 0.Ist f zusätzlich zweimal stetig differenzierbar, so gilt:Ist f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) < 0, so ist f(c) ein lokales Maximum.Ist f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) > 0, so ist f(c) ein lokales Minimum.δ = 3 21 2 3 4 5x

•9 Differentialrechnung 539.10 MittelwertsatzSei J ein Intervall und f : J → R sei differenzierbar.Seien u,v ∈ J mit u < v.Dann gibt es ein ξ ∈ ]u,v[ mitf(v) − f(u)v − u= f ′ (ξ).uf(x) x 24321v•−2−1−1•ξ1 2x

54 Vorkurs Mathematik10 RelationenWollen wir zusammengesetzte Daten, wie zum Beispiel Telefonbucheinträge, Namenslisten oderKlassenlisten mit Noten untersuchen, so verwenden wir Relationen.10.1 DefinitionSeien M 1 ,M 2 ,...,M n beliebige nichtleere Mengen.Eine n-stellige Relation R über M 1 ×M 2 ×...×M n ist eine Teilmenge von M 1 ×M 2 ×...×M n .Schreibweise: Für eine zweistellige Relation ∼ schreiben wir statt (x,y) ∈∼ oft einfacherx ∼ y und sagen x steht in Relation zu y.10.2 Beispiele1. Betrachte die Mengen:Personen := {Michael, Claudia}Einkommen := {1000e, 2000e, 3000e}Autos := {VW, Ferrari, Porsche, Mercedes}Wir definieren auf Personen × Einkommen × Autos zum Beispiel die RelationR 1 := {(Michael, 1000e, Ferrari), (Claudia, 3000e, Porsche)}.2. Betrachte die Relation R 2 ⊆ Z × Z mit R 2 := {(2,5),(23,42), (−7, 6)}.3. R 3 ⊆ Q × Q mit R 3 := {(z,2z) : z ∈ Q}Hier gilt zum Beispiel: (2,4) ∈ R 3 ,( 1 4 , 1 2 ) ∈ R 3,(1,1) ∉ R 310.3 Äquivalenzrelation10.3.1 DefinitionSei M eine nichtleere Menge und ∼⊆ M 2 := M ×M eine Relation mit folgenden Eigenschaften:∀x ∈ M : x ∼ x∀x,y ∈ M : x ∼ y ⇒ y ∼ x∀x,y,z ∈ M : (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ z(Reflexivität)(Symmetrie)(Transitivität)Sind alle diese 3 Eigenschaften erfüllt, so spricht man von einer Äquivalenzrelation (auf M).MotivationGrob gesprochen nennt man zwei Objekte äquivalent, wenn sie sich in Bezug auf eine bestimmteEigenschaft gleichen. Betrachten wir die Menge aller T-Shirts, so kann man sie farblicheinteilen. Alternativ könnten wir sie auch in die Kategorien V-Ausschnitt, Rundkragen oderSonstige einteilen. Verwenden wir die Farben-Eigenschaft, so nennen wir alle T-Shirts gleicherFarbe (z.B. gelb) äquivalent, egal welchen Ausschnitt, welche Marke oder welchen Aufdrucksie besitzen.10.3.2 BeispieleSeien x,y ∈ R und ∼⊆ R 2 .Es sei x ∼ y ⇐⇒ |x| = |y|.

10 Relationen 55Behauptung: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.Beweis: Seien x,y,z ∈ R.Reflexivität: Wie wir wissen, gilt |x| = |x|, also gilt x ∼ x.Symmetrie: Wenn wir schon wissen, dass |x| = |y|, gilt natürlich auch |y| = |x|.Also gilt: x ∼ y ⇒ y ∼ xTransitivität: Ebenso gilt wenn |x| = |y| und |y| = |z| auch schon |x| = |z|.Damit gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ zAlle 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, somit ist die gegebene Relationalso eine Äquivalenzrelation.10.3.3 GegenbeispielSeien x,y ∈ Q und ∼⊆ Q 2 .Es sei x ∼ y ⇐⇒ 2x = y (vergleiche mit R 3 von oben).Behauptung: ∼ ist keine Äquivalenzrelation.Beweis: Um zu zeigen, dass ∼ keine Äquivalenzrelation ist, reicht es schon zu zeigen, dass dieRelation ∼ eines der drei Kriterien verletzt. Und dazu muss man für das entsprechendeKriterium geeignete Elemente angeben, für die das Kriterium nicht erfüllt ist.Für beispielsweise x = 1 ist 2·x = 2·1 = 2 ≠ 1 = x, also x ≁ x. Somit ist die Reflexivitätverletzt und damit ∼ keine Äquivalenzrelation.Übung: Finde einen Widerspruch zu einer anderen Eigenschaft der Äquivalenzrelation.10.3.4 ÄquivalenzklassenSei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M und x ∈ M ein beliebiges Element. Dann nennt man dieMenge [x] := {y ∈ M : x ∼ y} = {y ∈ M : y ∼ x} die Äquivalenzklasse von x.Beispiele von Äquivalenzklassen zu obiger Äquivalenzrelation x ∼ y ⇐⇒ |x| = |y|:• [1] = {1, −1}• [ ]73 = {73 , −7 3 }• [−23] = {23, −23}• [0] = {0}Diese Liste könnte man unendlich fortsetzen.10.3.5 Übungen1. Seien M := {1,2,3,4} und R 1 ,R 2 ⊆ M × M.• Ist R 1 := {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2, 3),(1,3), (3, 3),(4,4),(3, 2), (3,1)} eine Äquivalenzrelation?• Ist R 2 := {(1,1),(2,2),(2,1), (3, 3),(3,4), (4, 3),(4,4)} eine Äquivalenzrelation?2. Sei ∼⊆ Z 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x − y ist gerade.Ist ∼ eine Äquivalenzrelation? Wenn ja, bestimme die Äquivalenzklassen.

56 Vorkurs Mathematik10.4 Ordnungsrelation10.4.1 DefinitionSei M eine nichtleere Menge und ≼ ⊆ M 2 eine Relation, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:∀x ∈ M : x ≼ x∀x,y ∈ M : x ≼ y ∧ y ≼ x ⇒ x = y∀x,y,z ∈ M : (x ≼ y ∧ y ≼ z) ⇒ x ≼ z(Reflexivität)(Antisymmetrie)(Transitivität)Man spricht dann von einer Ordnungsrelation. Man sagt auch ≼ ist eine (partielle) Ordnungauf M oder (M, ≼) ist eine (partielle) Ordnung.Gilt zusätzlich:∀x,y ∈ M : (x ≼ y) ∨ (y ≼ x)dann heißt (M, ≼) lineare (oder vollständige) Ordnung.10.4.2 Beispiele1. Betrachte M := {1,2,3}, also P(M) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2, 3}, {1,2,3}}Behauptung: ⊆ auf P(M) ist eine partielle Ordnung, die nicht linear ist.Beweis: Seien X,Y,Z ∈ P(M) beliebig.Reflexivität: Es gilt immer X ⊆ X.Antisymmetrie: Wenn X ⊆ Y und Y ⊆ X, dann gilt nach (2.7.5) X = Y . ̌Transitivität: Wenn X ⊆ Y und Y ⊆ Z, dann ist auch X ⊆ Z.Linearität: Es ist {1} ⊈ {2} und {2} ⊈ {1}. Somit ist diese Bedingung nicht erfüllt.Betrachten wir die graphische Veranschaulichung der nicht linearen Ordnung. Ein Strichdeutet hierbei die Teilmengen-Relation an:∅{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}2. Betrachtet man die Relation (N, ≤), also das gewöhnliche ≤ auf den natürlichen Zahlen,ist direkt aus der Definition die lineare Ordnung abzulesen.Schauen wir uns auch hier einen Ausschnitt aus der graphischen Veranschaulichung derlinearen Ordnung an. Ein Strich deutet hierbei die ”kleiner gleich“-Relation an:1 2 3 4 5 ...3. Wird das gewöhnliche < auf den reellen Zahlen als Relation verwendet, so gilt die Reflexivitätnicht mehr, da für kein x ∈ R gilt x < x. Also ist < keine Ordnungsrelation.10.4.3 Einschub TeilbarkeitFür x,y ∈ Z schreiben wir x | y und sagen ”x teilt y“, wenn x ein Teiler von y ist, also fallsgilt:∃n ∈ Z : y = nxBeispiele: 3 | 6, 4 | 64, 3 ∤ 2, 9 ∤ 3

10 Relationen 5710.4.4 ÜbungenSei ∼⊆ N 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x | y.Zeige, dass mit ∼ eine Ordnungsrelation vorliegt, die nicht linear ist.

••58 Vorkurs Mathematik11 Komplexe Zahlen11.1 MotivationIn der Menge N der natürlichen Zahlen kann man nicht uneingeschränkt subtrahieren, unddaher hat z.B. eine Gleichung wie n + 2 = 1 keine Lösung n ∈ N.Dies wird möglich durch Erweiterung von N zur Menge Z der ganzen Zahlen.In der Menge Z kann man allerdings weiterhin nicht uneingeschränkt (durch Zahlen ≠ 0)dividieren, und daher hat z.B. eine Gleichung wie 2z = 1 keine Lösung z ∈ Z.Dies wird möglich durch Erweiterung von Z zur Menge Q der rationalen Zahlen.In der Menge Q kann man nicht uneingeschränkt Wurzeln aus nicht-negativen Zahlen ziehen,und daher hat z.B. die Gleichung q 2 = 2 keine Lösung q ∈ Q.Dies wird möglich in der Menge R der reellen Zahlen.Neue Problemstellung: Löse r 2 + 1 = 0Lösung: Die komplexen Zahlen C11.2 DefinitionEine komplexe Zahl z ∈ C wird durch z = a + ib mit a,b ∈ R definiert. Dabei ist i bestimmtdurch i 2 = −1. a heißt Realteil (abgekürzt mit Re(z) oder R(z)) und b Imaginärteil (Im(z)oder I(z)) von z.Mit ¯z bezeichnen wir die zu z konjugiert komplexe Zahl. Diese ist definiert durch ¯z = a − ib.Konvention: Wir schreiben a + ib für zwei Variablen a und b, aber mit Zahlen verdrehen wirdie Reihenfolge von i und b. Zum Beispiel 2 + 3i.11.3 Gaußsche ZahlenebeneDie komplexen Zahlen werden graphisch in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulicht. Diex-Koordinate bestimmt dabei den Realteil und die y-Koordinate den Imaginärteil.Re(z)3√22 + √ 3i21•5 + 2iIm(z)−3 −21 2 3 4 5 6 7−1,5 − i−1−111.4 RechenregelnSeien im Folgenden z 1 = a 1 + ib 1 , z 2 = a 2 + ib 2 ∈ C.11.4.1 Addition / Subtraktionz 1 ± z 2 = (a 1 + ib 1 ) ± (a 2 + ib 2 )= (a 1 ± a 2 ) + i(b 1 ± b 2 )

11 Komplexe Zahlen 5911.4.2 Multiplikation11.4.3 Divisionz 1 · z 2 = (a 1 + ib 1 ) · (a 2 + ib 2 )= a 1 a 2 + a 1 ib 2 + ib 1 a 2 + i 2 b 1 b 2= (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 )Wir versuchen wieder die Form x + iy mit x,y ∈ R zu erlangen und deswegen das i aus demNenner zu entfernen.z 1= a 1 + ib 1z 2 a 2 + ib 2= a 1 + ib 1a 2 + ib 2· a2 − ib 2a 2 − ib 2= (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + i(a 2 b 1 − a 1 b 2 )a 2 2 + b2 2= a 1a 2 + b 1 b 2a 2 2 + b2 2Damit gilt für a,b ∈ R also insbesondere11.5 Betrag1a + ib =+ i a 2b 1 − a 1 b 2a 2 2 + b2 2a − ib(a + ib)(a − ib) = aSei z = a + ib ∈ C. Dann ist der Betrag von z definiert als11.6 Fundamentalsatz der Algebra|z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2a 2 + b 2 − i ba 2 + b 2.Die komplexen Zahlen bieten uns den Vorteil, dass jedes Polynom n-ten Grades immer genaun (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen in C besitzt.11.7 ÜbungenSeien z 1 := 3 + 6i,z 2 := 10 − 5i. Berechne:1. ¯z 12. ¯z 23. z 1 + z 24. z 1 − z 25. z 1 · z 26.z 1z 27. |z 1 |8. |z 2 |9. Finde die Nullstellen von X 2 + 9.

60 Vorkurs Mathematik12 AlgebraEine algebraische Struktur besteht aus einer nichtleeren Grundmenge, auf der eine oder mehrereVerknüpfungen definiert sind, die bestimmte Bedingungen erfüllen müssen.Die Algebra erscheint am Anfang sehr abstrakt. Wir beschäftigen uns jedoch auch in derInformatik damit, da die gegebenen Strukturen immer wieder auftauchen.12.1 Halbgruppen12.1.1 DefinitionSei H ≠ ∅ eine Menge und◦ : H × H → H : (x,y) ↦→ ◦(x,y)eine Abbildung (in diesem Fall meist Verknüpfung genannt). Anstatt ◦(x,y) schreiben wireinfacher x ◦ y. Gilt für die Verknüpfung das Assoziativgesetz:dann heißt (H, ◦) Halbgruppe.∀x,y,z ∈ H : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)Bemerkung: Weil die Abbildung zwei Elemente aus H miteinander verknüpft und das Ergebniswieder in H liegt, ist sie abgeschlossen.12.1.2 Beispiele1. (N,+)Hier ist also H = N und ◦ = +. Wenn wir zwei natürliche Zahlen miteinander addieren(also verknüpfen), ist das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl. Damit ist die Additionabgeschlossen. Auch das Assoziativgesetz (k + m) + n = k + (m + n) ist für natürlicheZahlen aus der Schule schon bekannt.2. (N 0 ,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)3. (N, ·), (N 0 , ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·)4. Sei M eine beliebige Menge. Dann ist auch (P(M), ∪) eine Halbgruppe:Hier ist also H = P(M) und ◦ = ∪. Wenn wir zwei Teilmengen von M (also Elementeaus P(M)) vereinigen, entsteht wieder eine Teilmenge von M, wie wir in 2.8.2 gezeigthaben.Zur Verdeutlichung der Abgeschlossenheit schauen wir uns die Menge M = {1,2} alsBeispiel an (kein Beweis, nur ein Beispiel!).∪ ∅ {1} {2} {1,2}∅ ∅ {1} {2} {1,2}Verknüpfungstafel: {1} {1} {1} {1,2} {1,2}{2} {2} {1,2} {2} {1,2}{1,2} {1,2} {1,2} {1,2} {1,2}5. (P(M), ∩)Übung: Sei wieder M = {1,2}. Zeige die Abgeschlossenheit des Schnittes mithilfe einerVerknüpfungstafel.

12 Algebra 616. Sei M eine beliebige nichtleere Menge: (Abb(M,M), ◦)(Dabei bezeichnet für zwei Mengen M,N der Ausdruck Abb(M,N) die Menge allerAbbildungen von M nach N und ◦ wie in 6.6 die Hintereinanderausführung von Abbildungen.)Betrachten wir zwei beliebige Abbildungen f : M → M und g : M → M, so ist auch f ◦geine Abbildung von M nach M. Dadurch können also Abbildungen beliebig ineinanderverschachtelt werden. Das Assoziativgesetz haben wir in 6.6.1 schon gezeigt.Zur Verdeutlichung der Abgeschlossenheit schauen wir uns die Menge aller Abbildungenfür M = {1,2} an (wieder kein Beweis, sondern nur ein Beispiel!). Damit istAbb(M,M) ={( ) 1 2,1 1( ) 1 2,1 2Übung: Berechne hierzu die Verknüpfungstafel.12.1.3 Gegenbeispiele1. Behauptung: (N, −) ist keine Halbgruppe.( ) 1 2,2 1( )} 1 22 2Beweis: Zum Beispiel ist 5 ∈ N und 7 ∈ N, aber 5−7 = −2 ∉ N, somit ist N bezüglich −nicht abgeschlossen, also keine Halbgruppe. Ebenso könnten wir die Assoziativitätwiderlegen: 10 − (5 − 2) = 10 − 3 = 7 ≠ 3 = 5 − 2 = (10 − 5) − 2.2. Übung: Zeige, dass (Z, ÷) keine Halbgruppe ist.3. (Abb(M,N), ◦) mit N ⊈ M ist keine Halbgruppe.Hierzu schauen wir uns das Beispiel M = {1,2}, N = {3,4} an (Beispiel, kein Beweis):Abb(M,N) ={( ) 1 2,3 3( ) 1 2,3 4( ) 1 2,4 3( )} 1 2.4 4( )( )1 21 2Wählen wir dann f = ∈ Abb(M,N) und g = ∈ Abb(M,N) so sehen3 33 4wir sofort, dass es keinen Sinn macht über f ◦ g oder g ◦ f zu reden, da diese nichtdefiniert sind. Damit ist ◦ hier keine gültige Verknüpfung und somit (Abb(M,N), ◦)keine Halbgruppe.12.1.4 KommutativitätEine Halbgruppe (H, ◦) heißt kommutativ (also kommutative Halbgruppe), wenn die Verknüpfungkommutativ ist:∀x,y ∈ H : x ◦ y = y ◦ x12.1.5 Beispiele1. (N,+), (N 0 ,+), (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)2. (N, ·), (N 0 , ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·), (C, ·)3. (P(M), ∪), (P(M), ∩)4. (Abb(M,M), ◦) ist nicht kommutativ (siehe 6.6.2).

62 Vorkurs Mathematik12.1.6 HomomorphismusSeien (H, ◦ H ) und (K, ◦ K ) Halbgruppen.Eine Abbildung ϕ : H → K heißt Homomorphismus, wenn gilt:12.1.7 Beispiele∀x,y ∈ H : ϕ(x ◦ H y) = ϕ(x) ◦ K ϕ(y)1. Behauptung: ln : R + → R : x ↦→ ln(x) ist ein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen(R + , ·) und (R,+).Beweis: Seien x,y ∈ R + beliebig.Dann gilt: ln(x · y) = ln(x) + ln(y) (wie wir schon in 3.8.3 gesehen haben)2. Behauptung: f : R → R : x ↦→ 3x ist ein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen(R,+) und (R,+).Beweis: Seien x,y ∈ R beliebig.Es gilt: f(x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f(x) + f(y)3. Behauptung: g : R → R : x ↦→ 3x + 2 ist kein Homomorphismus zwischen den Halbgruppen(R,+) und (R,+).Beweis: Betrachte: g(2 + 3) = g(5) = 3 · 5 + 2 = 17Aber: g(2) + g(3) = (3 · 2 + 2) + (3 · 3 + 2) = 8 + 11 = 19Damit ist g(2 + 3) ≠ g(2) + g(3).12.2 Monoide12.2.1 DefinitionEine Halbgruppe (H, ◦) in der es ein Element e gibt, für das gilt:∀x ∈ H : e ◦ x = x = x ◦ eheißt Monoid. Das Element e wird neutrales Element oder Neutralelement genannt. Wir schreibendas Monoid als (H, ◦,e).12.2.2 Beispiele1. (N 0 ,+,0)In 12.1.2 haben wir schon gesehen, dass (N 0 ,+) eine Halbgruppe ist. Für jede Zahl n ∈ N 0gilt 0 + n = n. Da + in N 0 kommutativ ist, gilt auch n + 0 = n. Damit ist (N 0 ,+,0) ein(kommutatives) Monoid.2. (Z,+,0), (Q,+,0), (R,+,0), (C,+,0)3. (N, ·,1), (N 0 , ·,1), (Z, ·,1), (Q, ·,1), (R, ·,1), (C, ·,1)4. (P(M), ∪, ∅), (P(M), ∩,M)5. (Abb(M,M), ◦,id)In 12.1.2 haben wir schon gesehen, dass (Abb(M,M), ◦) eine Halbgruppe ist. Weil füralle f ∈ Abb(M,M) und ein beliebiges x ∈ M schon (id ◦f)(x) = id(f(x)) = f(x) und(f ◦ id)(x) = f(id(x)) = f(x) gilt, ist auch id ◦f = f = f ◦ id.6. (N,+) ist kein Monoid.Wir finden keine natürliche Zahl e ∈ N, so dass e + n = n = n + e für alle n ∈ N gilt.

12 Algebra 6312.2.3 Eindeutigkeit des NeutralelementsBehauptung: Das Neutralelement eines Monoids ist eindeutig.Beweis: Sei (H, ◦) eine Halbgruppe. Es gebe Elemente e 1 ,e 2 ∈ H mit∀x ∈ H : e 1 ◦ x = x = x ◦ e 1 und (1)∀x ∈ H : e 2 ◦ x = x = x ◦ e 2 (2)Dann folgt aus e 1(2)= e 1 ◦ e 2(1)= e 2 direkt die Eindeutigkeit. 12.3 Gruppen12.3.1 DefinitionEin Monoid (H, ◦,e), für das gilt:∀x ∈ H : ∃y ∈ H : x ◦ y = e = y ◦ xheißt Gruppe.Das zu x inverse Element y wird meist mit x −1 bezeichnet.12.3.2 Beispiele1. (Z,+,0)In 12.2.2 haben wir schon gesehen, dass (Z,+,0) ein Monoid ist. Betrachten wir einebeliebige Zahl n ∈ Z, so gilt n + (−n) = 0 = (−n) + n. Also ist −n das zu n inverseElement und damit (Z,+,0) eine Gruppe.2. (Q,+,0), (R,+,0), (C,+,0) sind Gruppen, jedoch ist (N 0 ,+,0) keine Gruppe.3. (Q \ {0}, ·,1)Wir müssen hier 0 aus Q herausnehmen, da kein y ∈ Q existiert, für das 0 · y = 1 undy · 0 = 1 gilt.Klar: (Q \ {0}, ·,1) ist ein Monoid. Für ein beliebiges x ∈ Q \ {0} ist x · 1x = 1 und1x · x = 1, also ist 1 xdas Inverse zu x. Damit ist (Q \ {0}, ·,1) eine Gruppe.4. (R \ {0}, ·,1), (C \ {0}, ·,1) sind Gruppen, jedoch sind (N, ·,1), (Z, ·,1), (Q, ·,1) keineGruppen und auch (Z \ {0}, ·,1) nicht (es gibt zum Beispiel kein inverses Element zu 2).5. (Bij(M,M), ◦,id)(Dabei bezeichnet Bij(M,N) die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach N.)In 12.2.2 haben wir schon gesehen, dass (Abb(M,M), ◦,id), also insbesondere auch(Bij(M,M), ◦,id) ein Monoid ist. In 6.7 haben wir gesehen, dass jede bijektive Abbildungf eine Umkehrabbildung f −1 besitzt, für die gilt: f ◦ f −1 = id = f −1 ◦ f. Damit ist dieUmkehrabbildung die inverse Abbildung. Also ist (Bij(M,M), ◦,id) eine Gruppe.Da nicht bijektive Abbildungen keine Umkehrabbildung besitzen, ist (Abb(M,M), ◦,id)jedoch keine Gruppe.6. Da bei (P(M), ∪, ∅) das neutrale Element die leere Menge ist und wir durch die Vereinigungdie Menge nur vergrößern können, ist (P(M), ∪, ∅) keine Gruppe. Umgekehrtverkleinert bei (P(M), ∩,M) der Schnitt immer die Menge, obwohl das neutrale Elementdie gesamte Menge M ist. Also ist auch (P(M), ∩,M) keine Gruppe.

64 Vorkurs Mathematik12.3.3 Eindeutigkeit des inversen ElementsSei (G, ◦,e) eine Gruppe und x ∈ G beliebig.Behauptung: Das zu x inverse Element ist eindeutig.Beweis: Es gebe Elemente x 1 ,x 2 ∈ G mitx ◦ x 1 = x 1 ◦ x = e und (1)x ◦ x 2 = x 2 ◦ x = e (2)Dann folgt aus x 1 = x 1 ◦ e (2)(1)= x 1 ◦ (x ◦ x 2 ) = (x 1 ◦ x) ◦ x 2 = e ◦ x 2 = x 2 direkt dieEindeutigkeit.Eben aus diesem Grund schreibt man für das zu x inverse Element meist x −1 .12.3.4 Abelsche GruppeEine Gruppe, in der die Verknüpfung kommutativ ist, heißt kommutative oder auch abelscheGruppe.12.3.5 Beispiele1. (Z,+,0), (Q,+,0), (R,+,0), (C,+,0)2. (Q \ {0}, ·,1), (R \ {0}, ·,1). (C \ {0}, ·,1)12.3.6 Eigenschaften des GruppenhomomorphismusBehauptung: Seien (H, ◦ H ,e H ) und (K, ◦ K ,e K ) Gruppen, ϕ : H → K ein Homomorphismusund x ∈ H beliebig. Dann gilt:1. ϕ(e H ) = e K2. ϕ(x −1 ) = (ϕ(x)) −1Beweis:1. Wir rechnen nach:ϕ(e H ) = ϕ(e H ) ◦ K e K= ϕ(e H ) ◦ K ϕ(e H ) ◦ K (ϕ(e H )) −1= ϕ(e H ◦ H e H ) ◦ K (ϕ(e H )) −1= ϕ(e H ) ◦ K (ϕ(e H )) −1= e K2. Um zu überprüfen, dass ein Element g einer beliebigen Gruppe (G, ◦,e) als inversesElement g −1 besitzt, muss g ◦ g −1 = e = g −1 ◦ g gelten:ϕ(x) ◦ K ϕ(x −1 ) = ϕ(x ◦ H x −1 ) = ϕ(e H ) = e Kϕ(x −1 ) ◦ K ϕ(x) = ϕ(x −1 ◦ H x) = ϕ(e H ) = e KWir haben also ein Element ϕ(x −1 ) gefunden, das wir sowohl von links, als auchvon rechts mit ϕ(x) verknüpfen können, so dass e K herauskommt.Damit gilt ϕ(x −1 ) = (ϕ(x)) −1 .

12 Algebra 6512.4 ÜbungenIst ({−1,+1}, ·,+1) eine abelsche Gruppe?

66 Vorkurs Mathematik13 Lineare Gleichungssysteme13.1 BeispieleBeispiel 15x 1 − 2x 2 + x 3 = 411x 2 − 13x 3 = −1725x 3 = 75Nun wollen wir x 1 ,x 2 und x 3 so bestimmen, dass das Gleichungssystem erfüllt ist.Dazu lösen wir von der dritten Zeile beginnend auf:25x 3 = 75 ⇐⇒ x 3 = 7525 = 3Dieses Ergebnis von x 3 setzen wir nun in der zweiten Zeile ein:11x 2 − 13x 3 = −17 ⇐⇒ 11x 2 − 13 · 3 = −17⇐⇒ 11x 2 − 39 = −17⇐⇒ 11x 2 = 22⇐⇒ x 2 = 2Und nun setzen wir x 2 und x 3 in der ersten Zeile ein:5x 1 − 2x 2 + x 3 = 4 ⇐⇒ 5x 1 − 2 · 2 + 3 = 4Wir erhalten als Lösungsmenge also L = {(1,2,3)}⇐⇒ 5x 1 − 1 = 4⇐⇒ 5x 1 = 5⇐⇒ x 1 = 1Um das Ergebnis zu überprüfen, machen wir immer die Probe!Beispiel 25 · 1 − 2 · 2 + 3 = 411 · 2 − 13 · 3 = −1725 · 3 = 755x 1 − 2x 2 + x 3 = 43x 1 + x 2 − 2x 3 = −1−2x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 10⎛5 −2 1⎞4Wir übersetzen dies nun in eine Matrix: ⎝ 3 1 −2 −1⎠−2 3 2 10Mit Matrizen lassen sich nun folgende Äquivalenzumformungen durchführen:1. Zeilen vertauschen2. Multiplizieren einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl

13 Lineare Gleichungssysteme 673. Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dieser und einer anderen ZeileWir versuchen nun eine Stufenform in die Matrix zu bekommen. Wir lassen also die erste Zeilestehen und versuchen in allen weiteren Zeilen eine 0 in der ersten Spalte zu bekommen.⎛5 −2 1⎞4⎝0 11 −13 −17⎠0 11 12 58Nun führen wir dieses Schema fort, lassen also die ersten zwei Zeilen unverändert und versuchenin allen weiteren Zeilen eine 0 in den ersten zwei Spalten zu bekommen, usw.⎛5 −2 1⎞4⎝0 11 −13 −17⎠0 0 25 75Wir haben also die Stufenform erreicht und schreiben die Matrix nun wieder als Gleichungssystem:5x 1 − 2x 2 + x 3 = 411x 2 − 13x 3 = −1725x 3 = 75Nun lösen wir dieses wie in Beispiel 1 durch Rückwärtseinsetzen.Beispiel 3x 1 − x 2 − 3x 3 = 1−2x 1 + 2x 2 + 7x 3 = 03x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 5⎛1 −1 −3⎞1⎝−2 2 7 0⎠3 2 2 5⎛1 −1 −3⎞1⎝0 0 1 2 ⎠0 −5 −11 −2Wir vertauschen die zweite und dritte Zeile und multiplizieren dann die dritte Zeile mit −1:⎛1 −1 −3⎞1⎝0 5 11 2⎠0 0 1 2⇒ L = {(3, −4,2)}Probe!1x 1 − x 2 − 3x 3 = 15x 2 + 11x 3 = 2x 3 = 2

68 Vorkurs MathematikBeispiel 4⎛⎞1 −1 2 9⎝0 −1 −1 25⎠0 1 1 15⎛⎞1 −1 2 9⎝0 −1 −1 25⎠0 0 0 40Weil 0x 3 = 40 für kein x 3 ∈ R erfüllt ist, ist die Lösungsmenge L = ∅.Beispiel 5⎛3 −1 1⎞1⎝0 −10 1 −4⎠0 10 −1 4⎛3 −1 1⎞1⎝0 −10 1 −4⎠0 0 0 0Wir können hier aufgrund der Nullzeile eine Variable frei wählen. Wir setzen: x 3 = t. Nunkönnen wir x 2 mithilfe von t ausdrücken:Ebenso drücken wir nun x 1 mit t aus:⇒ L = {( 7Probe!15 − 3−10x 2 + x 3 = −4 ⇐⇒ −10x 2 + t = −4⇐⇒ −10x 2 = −4 − t⇐⇒ x 2 = 2 5 + 110 t3x 1 − x 2 + x 3 = 1 ⇐⇒ 3x 1 − ( 2 5 + 110 t) + t = 110 t, 2 5 + 1 10t, t) : t ∈ R}⇐⇒ 3x 1 − 2 5 + 910 t = 1⇐⇒ 3x 1 = 7 5 − 910 t⇐⇒ x 1 = 715 − 310 t

13 Lineare Gleichungssysteme 6913.2 Zusammenfassung der drei möglichen FälleEin lineares Gleichungssystem ist also1. eindeutig lösbar.Beispiel:2. nicht lösbar.Beispiel:⎛1 −1 −3⎞1⎝0 5 11 2⎠0 0 1 2⎛1 −1 2⎞9⎝0 1 1 −21⎠0 0 0 363. lösbar mit unendlich vielen Lösungen.Beispiel:⎛⎞3 −1 1 1⎝0 −10 1 −4⎠0 0 0 0

70 Vorkurs Mathematik14 Lösungen der Übungsaufgaben1.5 Lösung1.5.1 DeMorgan’sche RegelnIst ¬(A ∨ B) logisch äquivalent zu ¬A ∧ ¬B?Ja, dennA B A ∨ B ¬(A ∨ B) ¬A ¬B ¬A ∧ ¬B0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0Analog zeigt man auch, dass ¬(A ∧ B) logisch äquivalent ist zu ¬A ∨ ¬B.1.5.2 DistributivgesetzeIst A ∧ (B ∨ C) logisch äquivalent zu (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)?A B C B ∨ C A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) (A ∧ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1Analog zeigt man auch, dass A ∨ (B ∧ C) logisch äquivalent ist zu (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).2.9 LösungAufgabe 1Betrachte:M 1 := {1,2}M 2 := {2,3}M 3 := {X,y,3}M 4 := {x,y,z}M 5 := {2,4,6}Bestimme:1. M 1 ∩ M 2 = {2}2. M 2 ∩ M 3 = {3}3. M 3 ∪ M 4 = {X,y,3,x,z}4. M 1 ∪ M 2 ∪ M 3 ∪ M 4 ∪ M 5 = {1,2,3,X,y,x,z,4,6}5. M 1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ∩ M 5 = ∅6. P(M 3 ) = {∅, {X}, {y}, {3}, {X, y}, {X,3}, {y,3}, {X,y,3}}

3. (a + b)(a − b) = a · a + a · (−b) + a · (−b) + b · (−b) = a 2 − b 2 14 Lösungen der Übungsaufgaben 717. P(∅) = {∅}8. M 1 × M 2 × M 3 = { (1,2,X),(1,2,y),(1, 2, 3),(1,3,X),(1,3,y), (1,3,3),(2,2,X),(2,2,y),(2, 2, 3),(2,3,X),(2,3,y), (2,3,3)}9. Bestimme alle Paare disjunkter Mengen:{{M 1 ,M 3 }, {M 1 ,M 4 }, {M 2 ,M 4 }, {M 3 ,M 5 }, {M 4 ,M 5 }}10. M 1 \ M 2 = {1}11. M 3 \ M 4 = {X,3}12. Gilt (M 1 ∩ M 2 ) ⊆ M 5 ? Ja, weil M 1 ∩ M 2 = {2} und 2 ∈ {2,4,6}, also {2} ⊆ {2,4,6}Aufgabe 2Gib die Elemente der folgenden Mengen an:1. {x ∈ N : x < 4} = {1,2,3}2. {x ∈ R : x 2 = 1} = {1, −1}3. {x ∈ Z : ∃y ∈ Z : xy = 1} = {1, −1}4. {x ∈ Z : x < 100 ∧ ∃y ∈ Z : y 2 = x} = {0,1,4,9,16,25, 36,49,64, 81}3.2.4 LösungFinde die Nullstellen von x 3 − 2x 2 − 29x − 42. Hinweis: Eine Nullstelle ist 7.(x 3 − 2x 2 − 29x − 42 ) : ( x − 7 ) = x 2 + 5x + 6− x 3 + 7x 25x 2 − 29x− 5x 2 + 35x6x − 42− 6x + 420Also ist die Menge der Nullstellen: {−3, −2,7}, da x 2 +5x+6, wie schon bei der Mitternachtsformel(in 3.2.2) gesehen, die Nullstellen −3 und −2 hat.3.3 LösungBehauptung: Für zwei Zahlen a,b ∈ R gilt:1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 22. (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 23. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2Beweis: Seien a,b ∈ R. Dann rechnen wir einfach nach:1. (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a · a + b · a + a · b + b · b = a 2 + 2ab + b 22. (a − b) 2 = (a − b) · (a − b) = a · a + (−b) · a + a · (−b) + (−b) · (−b) = a 2 − 2ab + b 2

72 Vorkurs Mathematik3.5.6 LösungBetrachte die auftretenden Variablen stets so, dass der Nenner ≠ 0 ist.1. Kürze:a) 64x12y = 16x3yb) 12xy+5y4xy−8xy = (12x+5)y−4xy= − 12x+54xc) 56x2 y−16xy 224yz+40y 2d) a2 −b 25a+5b = a−b52. Berechne:a) 5 7 + 4 7 = 9 7b)= 7x2 −2xy3z+5y( )= 127x 2 + y 2 + 3xy5x − 5y−xyx − y = x2 + y 2 + 3xy 5xy−5 · (x − y) 5 · (x − y)= x2 + y 2 + 3xy − 5xy5 · (x − y)= x2 + y 2 − 2xy5 · (x − y)(x − y)2=5 · (x − y)= x − y54c)7x · 21x8= 4·21x7x·8 = 3 2d) 1 7 + 1 8 = 8 56 + 756 = 1556e) 5a2a−b : 357a−7b = 5a2a−b · 7a−7bf) ( 4a3b : 7a9ab ) : 42ab5= ( 4a3b · 9ab7a3. Löse die Gleichungen:a) 3z−83z+8 = 1 2b)35= 5a2·7(a−b)(a−b)·35= a 2):42ab5= 4a·9ab3b·7a : 42ab5= 4a·3 57·42ab = 12a·57·42ab = 2·57·7b = 1049b⇐⇒ (3z −8)·2 = 3z+8 ⇐⇒ 6z −16 = 3z+8 ⇐⇒ 3z = 24 ⇐⇒ z = 82x + 1x + 5 = 2x − 1x + 2⇐⇒ (2x + 1) · (x + 2) = (2x − 1) · (x + 5)⇐⇒ 2x 2 + 4x + x + 2 = 2x 2 + 10x − x − 5⇐⇒ 5x + 2 = 9x − 5⇐⇒ 7 = 4x⇐⇒ x = 7 4

14 Lösungen der Übungsaufgaben 733.6.3 Lösung1. Berechne:a) 2 10 = 1024b) (−2) 3 = −8c) 2 −3 = 1 82. Fasse zusammen:3.7.5 Lösunga) 5 2 3x 3 y 3 z 2 · 5 2 3 3 xyz 2 = 5 4 3 4 x 4 y 4 z 4 = (5 · 3xyz) 4 = (15xyz) 4b) 3 2 a −2 b 5 · 3 −1 a 2 b −3 = 3 2−1 · a −2+2 · b 5−3 = 3 1 · a 0 · b 2 = 3 · 1 · b 2 = 3b 2c) Achtung: Potenz vor Punkt vor Strich!−63ab 3 − (4ab) 3 · 2 −1 · (−2a −2 ) = −63ab 3 − 64a 3 b 3 · 12 · (−2a−2 )d)x 10 x ny 7 y −m x 3 = x 10+n−3 y m−7 = x n+7 y m−7e)1. Berechne:= −63ab 3 − 32a 3 b 3 · (−2a −2 )= −63ab 3 + 64a 3−2 b 3= −63ab 3 + 64ab 3= ab 3( a2b n : a3b 2 ) −2: a2b 4 = ( a2b n · b2a 3 ) −2· b4a 2= ( a 2 b −n · b 2 a −3) −2· b 4 a −2= ( a −1 b −n+2) −2b 4 a −2= a 2 b 2n−4 · b 4 a −2= b 2na) 7 √ x − √ 25x − √ 2x = 7 √ x − 5 √ x − √ 2x = 2 √ x − √ 2xb) √ 140 · √7· √20= √ 140 · 7 · 20 = 140√ √c) a− b√ √a+ b · a+2√ ab+ba−b= (√ a− √ b)·(a+2 √ ab+b)( √ a+ √ ( √ a− √ b)·( √ a+ √ b)=2b)·(a−b) ( √ a+ √ b)·( √ a+ √ b)( √ a− √ = 1 b)d) 7√ 9 √ x = 63√ xe)4√x· 7√ x 3√ 47√y2·√y = x·x73 q7y 2·y 21=4√x 10 7q7y 25= x10 28y 145= x 514y 5 142. Erweitere so, dass der Nenner rational wird:7 7·√aba) √ab= √ab·√ab= 7√ ababb)63√4= 6 3√ 23√4· 3 √ 2 = 6 3√ 22= 3 3√ 2=(xyc)283+ √ 2 = 28·(3−√ 2)(3+ √ 2)·(3− √ 2) = 28·(3−√ 2)9−2= 28·(3−√ 2)7= 4 · (3 − √ 2) = 12 − 4 √ 2) 514

74 Vorkurs Mathematik3. Löse die Gleichung:√3x − 21 = x − 7⇒ 3x − 21 = x 2 − 14x + 49⇒ 0 = x 2 − 17x + 70MNF⇒ x 1 = 10, x 2 = 73.8.4 Lösung1. Berechne:a) log 4 64 = 3b) log 2116 = −4c) log 3√3 =12Fasse zusammen:a) ln 2 + ln5 = ln 10b) 1 5 ln x − 110 ln x2 + 3ln x − 1 2 ln x2 = 1 5 ln x − 210 ln x + 3ln x − 2 2ln x = 2ln x2. Forme √ so um, dass nur Vielfache von ln 5 verwendet werden:1ln5 = 1 2 ln 1 5 = 1 2 (ln 1 − ln 5) = −1 2 ln 53. Löse die Gleichungen:a) log 3 (x − 1) = 2 ⇐⇒ x − 1 = 3 2 ⇐⇒ x = 10b) log 2 x = log 3 x ⇐⇒ x = 1c)lg(5x) + lg 2 = 3 − lg(4x)⇐⇒ lg(5x) + lg(2) + lg(4x) = 3⇐⇒ lg(5x · 2 · 4x) = 3⇐⇒ lg(40x 2 ) = 3⇐⇒ 40x 2 = 10 3⇐⇒ x 2 = 25⇒x = +5 (negative Lösung fällt weg, wegen lg)d)(7x−1 ) x+2=(7x+2 ) x+5⇐⇒ 7 (x−1)(x+2) = 7 (x+2)(x+5)⇐⇒ (x − 1)(x + 2) = (x + 2)(x + 5)Fall 1: x ≠ −2 :⇐⇒ x − 1 = x + 5⇐⇒ − 1 = 5EFall 2: x = −2 ̌

14 Lösungen der Übungsaufgaben 75e)4.2.2 Lösung1. Schreibe mit Summenzeichen:a)3√3 x+6 = 4√ 3 2x−2⇐⇒ 3 1 3 (x+6) = 3 1 4 (2x−2)⇐⇒ 1 3 (x + 6) = 1 (2x − 2)4⇐⇒ 4 · (x + 6) = 3 · (2x − 2)⇐⇒ 4x + 24 = 6x − 6⇐⇒ 30 = 2x⇐⇒ x = 15−1 + 4 + 9 + 14 + 19 = −1 + (5 − 1) + (10 − 1) + (15 − 1) + (20 − 1)= (5 · 0 − 1) + (5 · 1 − 1) + (5 · 2 − 1) + (5 · 3 − 1) + (5 · 4 − 1)4∑= (5i − 1)i=1b) 1 4 + 1 2 + 1 + 2 + 4 = 2−2 + 2 −1 + 2 0 + 2 1 + 2 2 = 2 ∑2. Berechne für c ∈ R:4∑ ∑a) 3i = 3 4 i = 3 · (1 + 2 + 3 + 4) = 3 · 10 = 30b)c)d)i=1i=1i=1m∑c =}c + ...{{+}c = mcm−mal4∏2 k = 2 1 · 2 2 · 2 3 · 2 4 = 2 1+2+3+4 = 2 10 = 1024k=14∑i=1 j=14∑ij ==4∑ii=14∑jj=12 ii=−24∑i · (1 + 2 + 3 + 4)i=1= 104∑ii=1= 10 · (1 + 2 + 3 + 4)= 10 · 10= 100

76 Vorkurs Mathematike)10∑(2i − 3) − 28∑i − 8 = 210∑i −10∑i=3i=1 i=3 i=310−2= 2= 2= 23 − 2∑(i + 2) −i=3−28∑i + 2i=18∑2 −8∑2 −i=110∑i=1 i=33 − 8= 2 · 8 · 2 − 8 · 3 − 8= 32 − 24 − 8= 08∑i − 8i=110∑i=310∑3 − 23 − 28∑i − 8i=1i=3 i=18∑i − 8f)1∏i = 1i=35.11 Lösung1. Behauptung:n∑∀n ∈ N 0 : k 2 =k=0n(n + 1)(2n + 1)6Beweis: IA (n = 0):(Wir müssen hier bei 0 anfangen, da die Aussage für alle n ∈ N 0 gelten soll!)0∑k=0k 2 = 0 2 = 0 = 0 · 1 · 16=0 · (0 + 1) · (2 · 0 + 1)6IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N 0 .

14 Lösungen der Übungsaufgaben 77IS (n → n + 1):2. Behauptung:Beweis: IA (n = 1):n+1∑k 2 =k=0n∑k 2 + (n + 1) 2k=0IV =n(n + 1)(2n + 1)6= (n2 + n)(2n + 1)6+ (n 2 + 2n + 1)+ 6n2 + 12n + 66= 2n3 + 3n 2 + n + 6n 2 + 12n + 66= 2n3 + 9n 2 + 13n + 66= (n2 + 3n + 2)(2n + 3)6(n + 1)(n + 2)(2n + 3)=6(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)=6∀n ∈ N :n∑(2k − 1) = n 2k=11∑(2k − 1) = 2 · 1 − 1 = 1 = 1 2k=1IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N.IS (n → n + 1):n+1∑n∑(2k − 1) = (2k − 1) + (2(n + 1) − 1)k=1k=1IV = n 2 + (2n + 2 − 1)= n 2 + 2n + 1= (n + 1) 2 3. Behauptung: Geometrische ReiheFür 1 ≠ q ∈ R gilt:k=0∀n ∈ N 0 :n∑k=0q k = 1 − qn+11 − qBeweis: Sei 1 ≠ q ∈ R beliebig.IA (n = 0):0∑q k = q 0 = 1 = 1 − q1 − q = 1 − q0+11 − q

78 Vorkurs MathematikIV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes n ∈ N 0 .IS (n → n + 1):n+1∑q k =k=0n∑q k + q n+1k=0IV 1 − q n+1= + q n+11 − q= 1 − qn+11 − q+ qn+1 · (1 − q)1 − q= 1 − qn+1 + q n+1 − q n+21 − q= 1 − qn+21 − q= 1 − q(n+1)+11 − q6.5 Lösung1. f : M → N mit( ) 1 2 3 4a c b c• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektivEEs ist f(2) = f(4), aber 2 ≠ 4.• surjektiv ̌ Alle Elemente aus N werden getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist nicht injektiv, also auch nicht bijektiv.( ) 1 3 42. g : M → N mit g =b a c• AbbildungEDa 2 kein Bild zugeordnet bekommt, ist g keine Abbildung. Also sindInjektivität, Surjektivität und Bijektivität ausgeschlossen.3. id : R → R : x ↦→ x• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektiv ̌ Alle Elemente aus N werden getroffen.• bijektiv ̌ Die Abbildung ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.4. id : N → Z : x ↦→ x• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektivEDas Element −1 ∈ Z wird nicht getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv.

14 Lösungen der Übungsaufgaben 795. | · | : Q → Q : x ↦→ |x|• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektivEEs ist zum Beispiel | − 1| = 1 = |1|, aber −1 ≠ 1.• surjektivEDas Element −1 ∈ Q wird nicht getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist weder injektiv noch surjektiv, also auch nicht bijektiv.6. succ : N → N : x ↦→ x + 1• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektivEDas Element 1 wird nicht getroffen.• bijektivEDie Abbildung ist nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv.7. succ : N 0 → N : x ↦→ x + 18.6 Lösung• Abbildung ̌ Jedem Element des Definitionsbereichs wird eindeutig ein Wert desWertebereichs zugeordnet.• injektiv ̌ Kein Element des Wertebereichs wird doppelt getroffen.• surjektiv ̌ Nun wird jedes Element des Wertebereichs getroffen.• bijektiv ̌ Die Abbildung ist sowohl injektiv, als auch surjektiv, also bijektiv.Ist die Funktion g : R → R : x ↦→ x 3 − 3 bijektiv? Wenn ja, berechne die Umkehrfunktion.• injektiv: Seien x 1 ,x 2 ∈ R.g(x 1 ) = g(x 2 ) ⇐⇒ x 3 1 − 3 = x 3 2 − 3⇐⇒ x 3 1 = x3 2⇐⇒ x 1 = x 2• surjektiv: Sei y ∈ R beliebig. Setze x := 3√ y + 3. Dann gilt( √ ) 33g(x) = y + 3 − 3 = y + 3 − 3 = y.Also ist die Funktion g bijektiv. Wir berechnen daher die Umkehrfunktion:x 3 − 3 = y ⇐⇒ x 3 = y + 3⇐⇒ x = 3√ y + 3Somit ist die Abbildung g −1 : R → R : x ↦→ 3√ x + 3 die Umkehrfunktion zu g.

80 Vorkurs Mathematik9.7 LösungBerechne für a,b,t ∈ R folgende Ableitungen:1.ddx 5 = 02.ddx 7x = 73.ddx 3t = 04.ddt 3t = 35.ddx (x + 2)2 = 2x + 4 (entweder über Kettenregel, oder Produktregel, oder nach ausmultiplizierenüber Linearität)6.ddx e5x = 5e 5x7.ddx e−x2 = −2xe −x28.ddx 7x · 2x2 = 42x 2d9.dx5x · cos(x) = 5 · cos(x) + 5x · (− sin(x)) = 5cos(x) − 5xsin(x)10.ddx sin2 (x) = 2sin(x)cos(x)11.12.d13.d14.d1dx 3x = − 13x 2x 4 −1dxx 2 +1 = 2xe xdx x= ex·x2 −e x·2x2 x 4ddx (sin4 (x) − cos 4 (x)) = 4sin 3 (x)cos(x) + 4cos 3 (x)sin(x)= xex −2e xx 315.ddx eax · cos(bx) = e ax · (acos(bx) − bsin(bx))d16.dx tan(x) = ddx17.sin(x)cos(x)d(lndx xcos ( 4x 3) + π )310.3.3 Lösung= 4sin(x)cos(x) · (sin 2 (x) + cos 2 (x))= 4sin(x)cos(x)=cos(x)cos(x)−sin(x)·(− sin(x))cos 2 (x)(= 1 · cos= cosln ( 4x 3) + π(3ln ( 4x 3) + π 3)= cos2 (x)+sin 2 (x)cos 2 (x)(+ x ·)− 3sin= 1 + tan 2 (x)− sin ( ln(4x 3) + π(3ln ( 4x 3) + π )3Finde einen Widerspruch zu einer anderen Eigenschaft der Äquivalenzrelation.Hier sind sogar beide weiteren Eigenschaften der Äquivalenzrelation verletzt:)·14x 3 · 12x2• Symmetrie: Zum Beispiel für x = 1, y = 2 ist zwar x ∼ y, aber wegen 2 · y = 4 ≠ 1 = xgilt y ≁ x.• Transitivität: Zum Beispiel für x = 1, y = 2, z = 4 ist zwar x ∼ y und y ∼ z, aberwegen 2 · x = 2 · 1 = 2 ≠ 4 = z gilt x ≁ z.

14 Lösungen der Übungsaufgaben 8110.3.5 Lösung1. Seien M := {1,2,3,4} und R 1 ,R 2 ⊆ M × M.• Ist R 1 := {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2, 3),(1,3), (3, 3),(4,4),(3, 2), (3,1)} eine Äquivalenzrelation?Ja, R 1 ist eine Äquivalenzrelation, da die Relation reflexiv, symmetrisch und transitivist.• Ist R 2 := {(1,1),(2,2),(2,1), (3, 3),(3,4), (4, 3),(4,4)} eine Äquivalenzrelation?Nein, R 2 ist keine Äquivalenzrelation, da zum Beispiel (2,1) ∈ R 2 , aber (1,2) ∉ R 2und die Relation damit nicht symmetrisch ist.2. Sei ∼⊆ Z 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x − y ist gerade.Behauptung: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.Beweis: Seien x,y,z ∈ Z.Reflexivität: Da x − x = 0 und 0 gerade ist, gilt x ∼ x.Symmetrie: Wenn x − y gerade ist, ist auch −(x − y) = y − x gerade und somitgilt: x ∼ y ⇒ y ∼ x.Transitivität: Wenn x − y und y − z gerade sind, dann auch x − z, da gilt x − z =(x − y) + (y − z) und die Summe zweier gerader Zahlen nach (5.1) wieder einegerade Zahl ergibt. Damit gilt: (x ∼ y ∧ y ∼ z) ⇒ x ∼ zDie Äquivalenzklassen dieser Relation sind:[0] = {0,2, −2,4, −4,...} = {x ∈ Z : x ist gerade}[1] = {1, −1,3, −3,...} = {x ∈ Z : x ist ungerade}10.4.4 LösungSei ∼⊆ N 2 mit x ∼ y ⇐⇒ x | y.Behauptung: ∼ ist eine Ordnungsrelation, die nicht linear ist.Beweis: Seien x,y,z ∈ N.Reflexivität: Da x = 1 · x gilt x | x.Antisymmetrie: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 ·x. (Wichtig: Hier reichtn 1 ∈ N anstatt n 1 ∈ Z, da x und y natürliche Zahlen sind.)Analog gibt es für y | x ein n 2 ∈ N mit x = n 2 · y. (∗)Wir können also schreiben y = n 1 · x = n 1 · n 2 · y.Damit muss n 1 · n 2 = 1 sein. Wegen n 1 ,n 2 ∈ N muss also n 1 = 1 = n 2 gelten.Also gilt x (∗)= 1 · y = y.Transitivität: Wenn x | y, dann gibt es ein n 1 ∈ N mit y = n 1 · x.Analog gibt es für y | z ein n 2 ∈ N mit z = n 2 · y.Also ist z = n 2 · y = n 2 · n 1 · x.Da n 1 und n 2 natürliche Zahlen sind, ist es auch n 2 · n 1 .Somit gilt also x | z.Linearität: Es gilt zum Beispiel 2 ∤ 3 und 3 ∤ 2.

82 Vorkurs Mathematik11.7 LösungSeien z 1 := 3 + 6i,z 2 := 10 − 5i. Berechne:1. ¯z 1 = 3 − 6i2. ¯z 2 = 10 + 5i3. z 1 + z 2 = 13 + i4. z 1 − z 2 = −7 + 11i5. z 1 · z 2 = (30 − (−30)) + (−15 + 60)i = 60 + 45i6.z 1z 2= 3+6i10−5i · 10+5i10+5i = (30−30)+(15+60)i100+25= 75125 i = 3 5 i7. |z 1 | = √ 9 + 36 = √ 45 = 3 √ 58. |z 2 | = √ 100 + 25 = √ 125 = 5 √ 59. Finde die Nullstellen von X 2 + 9.Es ist X 2 + 9 = (X + 3i)(X − 3i), also sind die Nullstellen {−3i,3i}.12.1.2, 5. LösungSei M = {1,2}. Zeige die Abgeschlossenheit des Schnittes mithilfe einer Verknüpfungstafel:∩ ∅ {1} {2} {1,2}∅ ∅ ∅ ∅ ∅{1} ∅ {1} ∅ {1}{2} ∅ ∅ {2} {2}{1,2} ∅ {1} {2} {1,2}12.1.2, 6. LösungVerknüpfungstafel:( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2◦( ) (1 1) (1 2) (2 1) (2 2)1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 2) (1 1) (1 2) (2 1) (2 2)1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(2 1) (2 2) (2 1) (1 2) (1 1)1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 212.1.3, 2. LösungBehauptung: (Z, ÷) ist keine Halbgruppe.Beweis: Zum Beispiel ist 5 ∈ Z und 7 ∈ Z, aber 5 7 ∉ Z, somit ist Z bezüglich ÷ nichtabgeschlossen, also keine Halbgruppe. Ebenso könnten wir die Assoziativität widerlegen:10 ÷ (5 ÷ 2) = 10 ÷ 5 2= 4 ≠ 1 = 2 ÷ 2 = (10 ÷ 5) ÷ 2.

14 Lösungen der Übungsaufgaben 8312.4 LösungIst ({−1,+1}, ·,+1) eine abelsche Gruppe?Da (R\{0}, ·,+1) eine abelsche Gruppe ist und {−1,+1} ⊆ R\{0} gilt, ”erbt“ ({−1,+1}, ·,+1)schon das Assoziativ- und Kommutativgesetz.1. Zeige ({−1,+1}, ·,+1) ist abgeschlossen:· −1 +1−1 +1 −1+1 −1 +12. Zeige, dass +1 das neutrale Element ist: Wir sehen in der Verknüpfungstafel, dass dieMultiplikation mit +1 den Wert nicht verändert.3. Wir sehen in der Verküpfungstafel, dass (−1) −1 = −1 und (+1) −1 = +1 gilt, da:Also ist ({−1,+1}, ·,+1) eine abelsche Gruppe.(−1) · (−1) = +1(+1) · (+1) = +1