Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik

Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax undSemantik1 Mathematische Strukturen und deren TypenDefinition 1.1 Eine Struktur A ist ein 4-TupelA = (A; (R A i |i ∈ I); (f A j |j ∈ J); (c A k |k ∈ K))wobei I, J, K beliebige (möglicherweise leere oder unendliche) Mengen sind undfolgendes gilt:• A ist eine nichtleere Menge.A wird als das Universum oder der Träger oder der Individuenbereich derStruktur A bezeichnet. Die Elemente von A sind die Individuen von A. StattA schreibt man auch |A|.• Für jedes i ∈ I ist RiA eine n i -stellige Relation auf A (für n i ≥ 1 geeignet),d.h. Ri A ⊆ A ni .Die Relationen RiA sind die Grundrelationen oder ausgezeichneten Relationenenvon A.• Für jedes j ∈ J ist fjA eine m j -stellige Funktion auf A (für m j ≥ 1 geeignet),d.h. fj A : A mj → A.Die Funktionen fjA sind die Grundfunktionen oder ausgezeichneten Funktionenvon A.• Für jedes k ∈ K ist c A kein Element von A.Die Individuen c A ksind die (Grund-)Konstanten oder ausgezeichneten Individuenvon A.Die Anzahl der ausgezeichneten Relationen und Funktionen zusammen mit derenStelligkeiten sowie die Anzahl der Konstanten bestimmen den Typ einer Struktur:Definition 1.2 Die Struktur A = (A; (Ri A|i ∈ I); (f j A|j ∈ J); (cA k|k ∈ K)) ist vomTyp (oder der Signatur)falls R A i n i -stellig und f A j m j -stellig ist.σ(A) = ((n i |i ∈ I); (m j |j ∈ J); K),1

2 Die Prädikatenlogik 1. Stufe: Grundzeichen derSprachenUm über Strukturen eines gegebenen Typs σ Aussagen machen zu können, führenwir nun die zugehörige Sprache L(σ) ein.Definition 2.1 Sei σ = ((n i |i ∈ I); (m j |j ∈ J); K) ein Typ. Das Alphabet (d.h.die Menge der Grundzeichen) der Sprache L(σ) der Prädikatenlogik vom Typ(von der Signatur) σ besteht aus den folgenden logischen Zeichen (die nicht vonσ abhängen) und nichtlogischen Zeichen (die von σ abhängen):• Logische Zeichen von L(σ):– Abzählbar unendlich viele Individuenvariablen (kurz: Variablen):v 0 , v 1 , v 2 , . . .(Wir bezeichnen Variablen im Folgenden mit x, y, z, x i , . . . .)– Die Junktoren ¬ und ∨.– Der Existenzquantor ∃.– Das Gleichheitszeichen =.– Die Klammern ( und ).• Nichtlogische Zeichen von L(σ):– Für jedes i ∈ I das n i -stellige Relationszeichen R i .– Für jedes j ∈ J das m j -stellige Funktionszeichen f j .– Für jedes k ∈ K die Konstante c k .Den Typ einer Sprache L der Prädikatenlogik bezeichnen wir mit σ(L). Giltσ(A) = σ(L), so heißt L die Sprache von A und A eine L-Struktur.3 Die Prädikatenlogik 1. Stufe: TermeIm Folgenden sei L = L(σ) die Sprache der Prädikatenlogik der Signatur σ =((n i |i ∈ I); (m j |j ∈ J); K) und A = (A; (Ri A|i ∈ I); (f j A|j ∈ J); (cA k|k ∈ K)) eineL-Struktur.3.1 Syntax der TermeDefinition 3.1 (Terme) Die Menge der (L-)Terme ist induktiv definiert durch:(T1) Jede Variable v i und jede Konstante c k ist ein Term.(T2) Sind t 1 , . . . , t mjTerme, so ist auch f j (t 1 , . . . , t mj ) ein Term (j ∈ J).Wir bezeichnen mit V (t) die Menge der im Term t vorkommenden Variablen.Ist V (t) leer, so ist t ein konstanter Term. Gilt V (t) ⊆ {x 1 , . . . , x n }, so schreibenwir statt t auch t(x 1 , . . . , x n ).2

3.2 Semantik der TermeKonstante L-Terme werden in der L-Struktur A als Individuen interpretiert:Definition 3.2 (Interpretation konstanter Terme) Für einen konstanten L-Term t ist t A ∈ A wie folgt durch Ind(t) definiert:1. (c k ) A := c A k2. (f j (t 1 , . . . , t mj )) A := f A j (tA 1 , . . . , t A m j)Für beliebige L-Terme hängt deren Wert in einer L-Struktur A i.a. von derInterpretation (Belegung) der vorkommenden Variablen durch Individuen von Aab:Definition 3.3 (Variablenbelegungen) Sei V = {x 1 , . . . , x n } eine Menge vonVariablen. Eine (Variablen-)Belegung B von V in A ist eine Abbildung B : V → A.Definition 3.4 (Interpretation beliebiger Terme) Sei t ≡ t(⃗x) (⃗x = (x 1 , . . . , x n ))ein L-Term, in dem höchstens die Variablen x 1 , . . . , x n vorkommen, und sei B :{x 1 , . . . , x n } → A eine Belegung dieser Variablen in der L-Struktur A. Der Wertt A B ∈ A von t in A bzgl. der Belegung B ist durch Ind(t) wie folgt definiert:1. (x i ) A B := B(x i) und (c k ) A B := cA k2. (f j (t 1 , . . . , t mj )) A B := f A j ((t 1) A B , . . . , (t m j) A B )Lemma 3.5 (Koinzidenzlemma für Terme) Sei A eine L-Struktur, t ein L-Term, V = {x 1 , . . . , x m } und V ′ = {x ′ 1, . . . , x ′ n} Variablenmengen mit V (t) ⊆ V, V ′und B und B ′ Belegungen von V bzw. V ′ in A, sodass B ↾ V (t) = B ′ ↾ V (t). Danngilt t A B = tA B ′.Bemerkung 3.6 (Von Termen definierte Funktionen) Ein Term t(x 1 , . . . , x n )definiert folgende n-stellige Funktion f A t(x 1,...,x n) : An → A in der L-Struktur A:f A t(x 1,...,x n) (a 1, . . . , a n ) := t A [a 1 , . . . , a n ] (a 1 , . . . , a n ∈ A)wobei t A [a 1 , . . . , a n ] := t A B(i = 1, . . . , n).für die Belegung B von {x 1, . . . , x n } mit B(x i ) = a i4 Die Prädikatenlogik 1. Stufe: Formeln und SätzeIm Folgenden sei weiterhin L = L(σ) die Sprache der Prädikatenlogik der Signaturσ = ((n i |i ∈ I); (m j |j ∈ J); K) und A = (A; (Ri A|i ∈ I); (f j A|j ∈ J); (cA k|k ∈ K))eine L-Struktur.4.1 Formeln und Sätze: SyntaxDefinition 4.1 (Formeln) Die Menge der (L-)Formeln ist induktiv definiert durch:(F1) (a) Sind t 1 , t 2 Terme, so ist t 1 = t 2 eine Formel.(b) Sind t 1 , . . . , t ni Terme, so ist R i (t 1 , . . . , t ni ) eine Formel (i ∈ I).3

(F2) Ist ϕ eine Formel, so ist auch ¬ϕ eine Formel.(F3) Sind ϕ 1 und ϕ 2 Formeln, so ist auch (ϕ 1 ∨ ϕ 2 ) eine Formel.(F4) Ist ϕ eine Formel und x eine Variable, so ist auch ∃xϕ eine Formel.Im Folgenden bezeichnen ϕ, ψ, γ, δ, ϕ i , . . . (L-)Formeln. Die gemäß (F1) definiertenFormeln heißen Primformeln oder atomare Formeln.Eine in einer Formel ϕ vorkommende Variable x kann frei oder (durch einenExistenzquantor ∃) gebunden auftreten (wobei x in einer Formel ϕ an einer Stellefrei und an einer anderen Stelle gebunden auftreten kann).Formal definiert man das Vorkommen einer Variablen x und die freien und gebundenenVorkommen von x in einer Formel ϕ durch Ind(ϕ):1. Die Variable x kommt in der Primformel t 1 = t 2 bzw. R i(t 1, . . . , t ni ) vor, falls x ineinem der Terme t 1, t 2 bzw. t 1, . . . , t ni vorkommt. Alle Vorkommen von x sind frei.2. Die Variable x kommt in ¬ϕ vor, wenn sie in der Formel ϕ vorkommt. Ein Vorkommenvon x in ¬ϕ ist frei (gebunden), wenn das entsprechende Vorkommen von x inϕ frei (gebunden) ist.3. Die Variable x kommt in der Formel (ϕ 1 ∨ ϕ 2) vor, wenn sie in der Formel ϕ 1 oderin der Formel ϕ 2 vorkommt. Ein Vorkommen von x in (ϕ 1 ∨ ϕ 2) ist frei (gebunden),wenn das entsprechende Vorkommen von x in ϕ 1 bzw. ϕ 2 frei (gebunden) ist.4. Die Variable x kommt in der Formel ∃yϕ vor, wenn x = y oder x in der Formelϕ vorkommt. Ist x = y, so sind alle Vorkommen von x in ∃yϕ gebunden. Sonst istein Vorkommen von x in ∃yϕ frei (gebunden), wenn das entsprechende Vorkommenvon x in ϕ frei (gebunden) ist.Wir bezeichnen mit V (ϕ), F V (ϕ) und GV (ϕ) die Mengen der in ϕ vorkommendenbzw. frei vorkommenden bzw. gebunden vorkommenden Variablen. GiltF V (ϕ) ⊆ {x 1 , . . . , x n }, so schreiben wir auch ϕ(x 1 , . . . , x n ) statt ϕ.Definition 4.2 Kommt in ϕ keine Variable frei vor (d.h. gilt F V (ϕ) = ∅), so istϕ ein (L-)Satz.Im Folgenden bezeichnen σ, τ, σ n etc. Sätze.Bemerkung 4.3 (Uneigentliche Formeln) Zur Verbesserung der Lesbarkeit derFormeln benutzen wir die schon im Teil über die Aussagenlogik eingeführten Regelnzur Klammerersparnis. Zusätzlich erlauben wir für ¬ϕ und ∃xϕ auch die Schreibweise¬(ϕ) bzw. ∃x(ϕ). Weiter definieren wir die Junktoren ∧, → und ↔ wie früherund führen den Allquantor ∀ durch∀xϕ :≡ ¬∃x¬ϕein. Statt ¬t 1 = t 2 schreiben wir auch t 1 ≠ t 2 . Wo üblich benutzen wir für Funktionszeichen(wie + und ·) und Relationszeichen (wie ≤) auch die Infixschreibweise. 11 NB: Die derart verallgemeinerten Formeln sind keine eigentlichen Formeln und sind daherbei formaler Sichtweise (z.B. in Beweisen durch Ind(ϕ)) immer durch die eigentlichen Formeln zuersetzen, die sie abkürzend beschreiben.4

4.2 Formeln und Sätze: SemantikEin (L-)Satz σ lässt sich als eine Aussage über die (L-)Struktur A interpretieren.Allgemeiner kann eine Formel ϕ ≡ ϕ(x 1 , . . . , x n ) (in der höchstens die Variablenx 1 , . . . , x n frei vorkommen) als Aussagenform betrachtet werden, die für jedegewählte Belegung B der Variablen x 1 , . . . , x n in A zu einer Aussage über A wird.Wir legen zunächst den Wahrheitswert WB A (ϕ) dieser von B abhängenden von ϕüber A gemachten Aussage fest.Definition 4.4 (Wahrheit einer Formel in einer Struktur bzgl. einer Belegung)Sei ϕ ≡ ϕ(x 1 , . . . , x n ) eine L-Formel mit F V (ϕ) ⊆ {x 1 , . . . , x n } und B eine Belegungvon {x 1 , . . . , x n } in A. Dann ist der WahrheitswertW A B (ϕ) ∈ {0, 1}von ϕ in A bzgl. der Variablenbelegung B durch Ind(ϕ) wie folgt definiert:gemäß Defini-1. ϕ ≡ t 1 = t 2 : WB A(t 1 = t 2 ) = 1, g.d.w. (t 1 ) A B = (t 2) A B (wobei tA Btion ?? definiert ist).2. ϕ ≡ R i (t 1 , . . . , t ni ): W A B (R i(t 1 , . . . , t ni )) = 1, g.d.w. ((t 1 ) A B , . . . , (t n i) A B ) ∈ RA i .3. ϕ ≡ ¬ψ: WB A(¬ψ) = 1, g.d.w. W B A (ψ) = 0.4. ϕ ≡ ϕ 1 ∨ ϕ 2 : W A B (ϕ 1 ∨ ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = 1 oder W A B (ϕ 2) = 1 (oderbeides).5. ϕ ≡ ∃xψ: W A B (∃xψ) = 1, g.d.w. es eine Belegung B′ von {x 1 , . . . , x n } ∪ {x}gibt, die mit B auf {x 1 , . . . , x n } \ {x} übereinstimmt und für die W A B ′(ψ) = 1gilt.Man beachte, dass sich aus der Definition der oben eingeführten abkürzendenSchreibweisen die folgenden Wahrheitswerte für uneigentliche Formeln ϕ ≡ϕ(x 1 , . . . , x n ) und Belegungen B : {x 1 , . . . , x n } → A ergeben (Übung):• W A B (ϕ 1 ∧ ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = 1 und W A B (ϕ 2) = 1.• W A B (ϕ 1 → ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = 0 oder W A B (ϕ 2) = 1 (oder beides).• W A B (ϕ 1 ↔ ϕ 2 ) = 1, g.d.w. W A B (ϕ 1) = W A B (ϕ 2).• WB A(∀xψ) = 1, g.d.w. für alle Belegungen B′ von {x 1 , . . . , x n } ∪ {x}, die mitB auf {x 1 , . . . , x n } \ {x} übereinstimmen, WB A ′(ψ) = 1 gilt.Ordnet die Belegung B den Variablen ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) die Individuen ⃗a =(a 1 , . . . , a n ) zu, so schreibt man statt WB A (ϕ) = 1 auchA ϕ[⃗a]und sagt, dass A die Formel ϕ ≡ ϕ(x 1 , . . . , x n ) bzgl. der Belegung ⃗a wahr macht(oder ϕ in A bzgl. ⃗a gilt). Entsprechend schreibt man dann A ̸ ϕ[⃗a], falls WB A(ϕ) =0 gilt. (Diese Schreibweise wird im Skript verwendet! Im Folgenden werden wir dieSchreibweise A ϕ[⃗a] neben der ursprünglichen Schreibweise WB A (ϕ) ebenfallsverwenden.)5

Lemma 4.5 (Koinzidenzlemma) Sei A eine L-Struktur, ϕ eine L-Formel, V ={x 1 , . . . , x m } und V ′ = {x ′ 1, . . . , x ′ n} Variablenmengen mit V (ϕ) ⊆ V, V ′ und B undB ′ Belegungen von V bzw. V ′ in A, sodass B ↾ F V (ϕ) = B ′ ↾ F V (ϕ). Dann giltW A B (ϕ) = W A B ′(ϕ).Beweis. Induktion nach dem Aufbau von ϕ (wobei man für Primformeln ϕnatürlich das Koinzidenzlemma für Terme verwendet). Übung!✷Definition 4.6 (Wahrheit eines Satzes in einer Struktur) Ein L-Satz σ istin einer L-Struktur A wahr, wenn WB A (σ) = 1 für die leere Variablenbelegung gilt(d.h. für die eindeutig bestimmte Belegung B der leeren Menge ∅).Ist σ in A wahr, so sagen wir auch, dass A ein Modell von σ ist, und schreibenA σ.NB: Nach dem Koinzidenzlemma hängt der Wahrheitswert eines Satzes σ ineiner Struktur A nicht von der gewählten Variablenbelegung ab: Da σ keine freienVariablen enthält (d.h. F V (σ) = ∅), gilt für alle Variablenbelegungen B und B ′beliebiger Variablenmengen V und V ′ in A: W A B (σ) = W A B ′(σ).Bei einer Formel ϕ mit freien Variablen x 1 , . . . , x n geht man manchmal davonaus, dass die freien Variablen implizit allquantifiziert sind. Man verallgemeinertdaher Definition ?? auch auf Formeln wie folgt.Definition 4.7 (Wahrheit einer Formel in einer Struktur) Eine L-Formel ϕist in einer L-Struktur A wahr, wenn WB A (ϕ) = 1 für alle Variablenbelegungen Bvon F V (ϕ) in A gilt.Lemma 4.8 Es giltA ϕ ⇔ A ∀ϕwobei ∀ϕ der durch ∀ϕ :≡ ∀x 1 . . . ∀x n ϕ definierte Allabschluss von ϕ ist, wobeix 1 , . . . , x n die in ϕ frei vorkommenden Variablen in der kanonischen Reihenfolgebzgl. der Aufzählung aller Variablen sind.Wir beenden die Diskussion der semantischen Grundbegriffe der Prädikatenlogikmit der Beobachtung, dass L-Formeln Relationen auf den L-Strukturen Adefinieren:Definition 4.9 (Von einer Formel definierte Relationen) Sei ϕ ≡ ϕ(x 1 , . . . , x n )eine L-Formel mit F V (ϕ) ⊆ {x 1 , . . . , x n }. Die von ϕ auf der L-Struktur A definierten-stellige Relation RϕA ist durchbestimmt.(a 1 , . . . , a n ) ∈ R A ϕ ⇔ A ϕ[a 1 , . . . , a n ]5 Zentrale semantische BegriffeIm letzten Abschnitt haben wir definiert, wann eine Formel oder ein Satz in einerStruktur wahr ist. Hieraus lassen sich die zentralen logischen Grundbegriffe wie Allgemeingültigkeitund Erfüllbarkeit von Formeln, sowie der logische Folgerungs- und6

Äquivalenzbegriff ableiten. (Hierzu geht man wie in der Aussagenlogik vor, wobeinun Wahrheit in einer Struktur an die Stelle der Wahrheit bzgl. einer Belegung derAussagenvariablen tritt.)Im Folgenden sei wiederum L = L(σ) die Sprache der Prädikatenlogik derSignatur σ = ((n i |i ∈ I); (m j |j ∈ J); K).Definition 5.1 (Allgemeingültigkeit) Eine (L-)Formel ϕ ist (logisch) wahr oderallgemeingültig, wenn alle L-Strukturen Modell von ϕ sind, d.h. wenngilt.Für alle L-Strukturen A: A ϕDefinition 5.2 (Erfüllbarkeit) Eine (L-)Formel ϕ ist erfüllbar, wenn ϕ ein Modellbesitzt, d.h. wenngilt. Andernfalls ist ϕ unerfüllbar.Es gibt eine L-Struktur A mit A ϕOffensichtlich ist jede allgemeingültige Formel auch erfüllbar (aber i.a. nichtumgekehrt). Für Sätze lässt sich folgender weiterer Zusammenhang zwischen Allgemeingültigkeitund Erfüllbarkeit beobachten:Lemma 5.3 Ein L-Satz σ (¬σ) ist genau dann allgemeingültig, wenn ¬σ (σ) unerfüllbarist.Definition 5.4 (Folgerung und Äquivalenz) Eine (L-)Formel ϕ folgt aus einer(L-)Formel ψ (ψ ϕ), wenn jedes Modell von ψ auch ein Modell von ϕ ist,d.h. wennFür alle L-Strukturen A: A ψ ⇒ A ϕgilt.ϕ und ψ sind äquivalent (ϕ äq ψ), falls ϕ aus ψ und ψ aus ϕ folgt (also ϕ undψ dieselben Modelle besitzen).Erfüllbarkeitsbegriff und Folgerungsbegriff lassen sich wie in der Aussagenlogikauf Formelmengen fortsetzen:Definition 5.5 (Erfüllbarkeit von Formelmengen) Eine Menge Φ von L-Formelnist erfüllbar, wenn es eine L-Struktur A gibt, die Modell aller Formeln in Φist, d.h. für die A Φ gilt.Man beachte, dass die leere Menge von Formeln erfüllbar ist und dass für einenichtleere erfüllbare Formelmenge Φ jede Formel in Φ erfüllbar ist, daA Φ ⇒ ∀ ϕ ∈ Φ : A ϕgilt. Die Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht: Eine Menge erfüllbarer Formeln mussnicht notwendigerweise erfüllbar sein.7

Definition 5.6 (Folgerungen aus Formelmengen) Eine (L-)Formel ϕ folgt auseiner Menge Φ von (L-)Formeln (Φ ϕ), wenn jedes Modell von Φ auch ein Modellvon ϕ ist, d.h. wenngilt.Für alle L-Strukturen A: A Φ ⇒ A ϕIst Φ endlich, etwa Φ = {ψ 1 , . . . , ψ n }, so schreiben wir ψ 1 , . . . , ψ n ϕ statt{ψ 1 , . . . , ψ n } ϕ. Entsprechend schreiben wir für leeres Φ kurz ϕ statt Φ ϕ.(Dies ist konsistent mit der in Definition ?? eingeführten Notation, da jede L-Struktur A ein Modell der leeren Formelmenge ist, weshalb ϕ genau dann aus derleeren Formelmenge folgt, wenn ϕ allgemeingültig ist.)Unmittelbar aus den Definitionen ergibt sich folgende Monotonieeigenschaft desFolgerungsbegriffs.Lemma 5.7 (Monotonie des Folgerungsbegriffs)Φ ⊆ Ψ & Φ ϕ ⇒ Ψ ϕWeiter lassen sich folgende Zusammenhänge zwischen Erfüllbarkeit, Folgerungsbegriffund Allgemeingültigkeit feststellen.Lemma 5.8 Eine L-Formelmenge Φ ist genau dann erfüllbar, wenn es keinen L-Satz σ mit Φ σ und Φ ¬σ gibt.Lemma 5.9 (Zusammenhang zwischen Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff)Für jede L-Formelmenge Φ und jeden L-Satz σ gilt:Φ σ ⇔ Φ ∪ {¬σ} unerfüllbarLemma 5.10 (Verträglichkeit von und →) Seien ϕ 1 , . . . , ϕ n L-Formeln undσ ein L-Satz. Dann gilt:ϕ 1 , . . . , ϕ n σ ⇔ (ϕ 1 ∧ · · · ∧ ϕ n ) → σ8