MATLAB in der Ingenieurpraxis

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in MATLAB 1
1.1 Einige Bemerkungen zur Arbeitsweise von MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Basis-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3.1 Vektor-, Matrizen-Operationen und -Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Datentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4.1 Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4.2 Zeichenketten (Character, String) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4.3 Zellen (Cell-Array) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4.4 Strukturen, (Structure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 Vergleichsoperatoren und logische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 Verzweigungen und Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.7 MATLAB-Skript und MATLAB-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.7.1 MATLAB-Skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.7.2 MATLAB-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 2D-Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1.1 Grafikfenster (figure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1.2 Plot-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.1.3 Achsen und Beschriftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.1.4 Ergänzende Grafik-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1.5 Interaktive Plot-Erstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.2 3D-Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Animation von 2D- und 3D-Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4.1 Modellerstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4.2 Animations-Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.3 2D-Animation einfacher Linien-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.3.1 Erstellung komplexerer Linien-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.4 3D-Animation eines Rotorelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.4.1 Mantelfläche des Zylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.4.2 Stirnflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.4.3 Kennzeichnung der Null-Marke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4.4.4 Animation von Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5 Code-Beschleunigung ab MATLAB 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6 Computeralgebra unter MATLAB, die Symbolic Math Toolbox . . . . . . . . . . . 57
1.6.1 Online-Hilfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

VIII Inhaltsverzeichnis
1.6.2 Symbolische Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.6.3 Vereinbarung symbolischer Variable und Ausdrücke (Objekte) . . . . . . . . . 59
1.6.4 Substitution symbolischer und numerischer Größen, der subs Befehl . . . . . . 61
1.6.5 Beispiele aus der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.6.6 Algebraische Gleichungssysteme, der solve Befehl . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.6.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen, der dsolve Befehl . . . . . . . . . . . . 64
1.6.8 Beispiel zur linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.6.9 Übergang zur Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Modellbildung 71
2.1 Strukturen der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1 Kinematik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1.1 Drehmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.1.2 Geschwindigkeiten und Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.2 Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.2.1 Der Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.2.2 Der Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3 Newton-Euler-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3.1 Rechnerorientierte Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4 Lagrange’sche Gleichung 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Simulation unter Simulink 99
3.1 Zur Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.1 Block-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.2 Simulationsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2 Die Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1 Methoden und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.2 Steifigkeit der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.3 Bemerkungen zur Wahl der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3 Simulink-Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.1 Die Modell-Library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.2 Einstellung des Integrators und des Datentransfers . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.3 Datentransfer über den Workspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.4 Simulationsaufruf aus der MATLAB-Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.5 Hilfsmittel zur Modellerstellung und Datenauswertung . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.5.1 Zur Erstellung eines Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.5.2 Maskierung der Blöcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.5.3 Zur Bearbeitung der Scope-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Simulink-Modellierung eines einfachen Projektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.1 1/4-Fahrzeugmodell und die Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.2 Aufbereitung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4.2.1 Fahrzeugmodell ohne Reibelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4.2.2 Fahrzeugmodell mit Reibelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Inhaltsverzeichnis IX
3.4.3 Das Fahrbahnprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.3.1 Modellierung der Fahrbahnunebenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.3.2 Modellierung der ebenen Fahrbahnstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4.4 Formulierung des Zustandsmodells mit dem State Space Block . . . . . . . . . 124
3.4.5 Modellierung der Reibelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.5.1 Coulomb-Reibkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.5.2 Abschnittsweise stetige Reibfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.5.3 Statischer Test der Reibmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4.6 Die Startroutine für die MATLAB-Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4.7 Simulink-Modelle und Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.7.1 Das reibungsfreie Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.7.2 Das reibungsbehaftete Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5 Modellierung mit Hilfe einer S-Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.5.1 M-File S-Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.5.2 C-MEX S-Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4 Simulation unter MATLAB 145
4.1 Struktur der Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.1.1 Beispiele für eine explizite Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.1.1.1 Lineare mechanische, elektrische und regelungstechnische Systeme . . . . 148
4.1.1.2 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Der grundsätzliche Aufbau eines Simulationsprogrammes . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2.1 Möglichkeiten zum Integratoraufruf unter MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3 Integration von Systemen in Standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3.1 Unwuchtiger Motor auf elastischem Fundamentblock . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3.1.1 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3.1.2 Aufbereitung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3.1.3 Programmausschnitte und numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . 163
4.3.1.4 Formulierung mit zustandsabhängiger Massenmatrix . . . . . . . . . . . . 165
4.4 Differential-algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4.1 Mathematische Hintergründe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4.2 Möglichkeiten unter MATLAB und Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4.3 Bewegungsgleichungen mit algebraischen Bindungsgleichungen . . . . . . . . 171
4.4.3.1 Lagrange’sche Gleichung 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.4.3.2 Erläuterung der Vorgehensweise am Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4.4 Zweckmäßige Umformungen von DAEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5 Implizite Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.6 Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Unstetigkeiten . . . . . . . . 184
4.6.1 Beispiele für Unstetigkeiten in den Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . 184
4.6.2 Formulierung von Schaltfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.6.3 Lokalisierung der Schaltpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.6.4 Beispiele zur Zwei-Punkt-Schaltlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.6.4.1 Der springende Ball im umgebenen Medium . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.6.4.2 Unstetige Kennlinie und das Stoßproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.6.5 Dreipunkt-Schaltlogik am Beispiel eines Zwei-Massen-Schwingers mit Reibung197

X Inhaltsverzeichnis
4.6.5.1 Zur Modellierung der Reibkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.6.5.2 Reibmodell mit einem Reibkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.6.5.3 Reibschwinger mit zwei Reibkontakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5 Simulation mit Simulink und Stateflow 211
5.1 Stateflow-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.1 Das Chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.1.2 Zustand und Zustand-Label . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.1.3 Transitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.1.4 Default Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.1.5 Verbindungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.1.6 Der Stateflow-Explorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.1.7 Erweiterte Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2 Beispiel: Schwinger mit Coulomb-Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2.1 Bewegungsgleichungen und Schaltbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2.2 Simulink-Modell mit Stateflow-Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.2.2.1 Datenfile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.2.2.2 Simulink-Subsystem des Fahrzeugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.2.2.3 Das übergeordnete Simulink-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.2.2.4 Das Stateflow-Diagramm und Testmöglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . 220
5.2.2.5 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.3 Beispiel: Springender Ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6 Physikalische Modelle unter Simulink 227
6.1 SimMechanics Tool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.1.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.1.2 Untersuchungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.3 SimMechanics-Modell eines Einmasseschwingers . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.1.4 Arbeitsweise des Joint Stiction Actuators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.1.5 Visualisierung und Animation der Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.6 Einige mathematische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.2 Anwendungen und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7 Projekte 245
7.1 Permanentmagnet gelagerter Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.1.1 Systembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.1.2 Rotor- und Magnetmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.3 Die aktive Stabilisierung, Reglerstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.1.4 Das kontinuierliche Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.1.5 Reglerentwürfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1.5.1 Zustandsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1.5.2 Regler mit Integralanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.1.6 Parametrierung und Reglerkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.1.7 Simulink-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.1.8 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Inhaltsverzeichnis XI
7.2 Störgrößenkompensation harmonischer und konstanter Störungen . . . . . . . . . 254
7.2.1 Grundlagen zur Strecke und zum Beobachterentwurf . . . . . . . . . . . . . . 257
7.2.2 Parameterfile und Simulink-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.2.3 Beobachter über S-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.2.4 Analytische Ermittlung der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.2.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.3 Schwingungstilger mit viskoelastischem Anschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.3.1 Das stationäre System ohne Anschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.3.2 Entwurf des Simulink-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.3.2.1 Sweep-Generator, Anregungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.3.2.2 Modell des mechanischen Schwingers und der Stoßkraft . . . . . . . . . . 271
7.3.2.3 Auswertemodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.3.3 Schwingungsantwort mit einem Sinus-Sweep des Systems ohne/mit Anschlag . 273
7.3.3.1 Stationäre Schwingungen zur Tilgungsfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.4 Axialkolbenverdichter einer Pkw-Klimaanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.4.1 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.4.2 Der Hebelmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.4.3 Bewegungsgleichungen nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.4.4 Das M-File, erste Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.4.5 Modellbasierter Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.4.6 Vergleich der Ergebnisse bezüglich der Gelenkkräfte . . . . . . . . . . . . . . 283
7.4.7 Stationäre Lage, die Trimming-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.5 Dreifachpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.5.1 Lagrange’sche Gleichung 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.5.2 Newton-Euler-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.5.3 Übergang zur Numerik und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.5.4 Animationsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.5.5 Schwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.5.6 Vorwärtsdynamik mit SimMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.5.7 Inverse Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.6 Hubschwingungen eines Viertelfahrzeugs mit nichtlinearem Stoßdämpfer . . . . . 301
7.6.1 Bewegungsgleichungen und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.6.2 Programmierhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.6.3 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Literaturverzeichnis 313